Gema Lomba Matematika adalah lomba matematika yang diselenggarakan oleh jurusan pendidikan matematika undiksha yang pesertanya berasal dari sekolah dasar hingga sekolah menengah. Lomba ini diselenggarakan setiap tahun yang melalui beberapa tahapan untuk bisa sampai di babak puncak yaitu babak final yang biasanya akan diadakan di kampus tengah Undiksha. Untuk dapat tampil di babak final tentu kita harus menyisihkan pesaing dari babak penyisihan hingga babak semi final melalui beberapa tes yang telah disiapkan, tentu ini bukanlah hal yang mudah untuk bisa kita lakukan namun bukan sesuatu hal yang tidak mungkin jika kita terus berusaha dan berlatih sejak dini. Untuk itu berikut ini disajikan soal dan pembahasan Gema lomba Matematika SMA tahun 2023 babak penyisihan.
--- Soal No 1 ---
Diketahui $x$ dan $y$ bilangan bulat positif berurutan dengan $x < y$ dan $x^3+y^3+691=33y^2-363y+2022$. Nilai dari $x^2+y$ adalah... .
A. 30
B. 31
C. 32
D. 33
E. 34
A. 30
B. 31
C. 32
D. 33
E. 34
Kunci : B. 31
Petunjuk !
1. Operasikan bentuk aljabar pada soal dan faktorkan sehingga menemukan bentuk pangkat 3.
2. ubah bentuk pangkat 3 yang diperoleh ke dalam bentuk $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, kemudian ingatlah sifat faktor dimana jika $a.b=0$ maka akan berlaku $a=0$ atau $b=0$.
3. dengan langkah kedua tersebut maka soal bisa diselesaikan. ingat juga sifat diskriminan pada persamaan kuadrat
Petunjuk !
1. Operasikan bentuk aljabar pada soal dan faktorkan sehingga menemukan bentuk pangkat 3.
2. ubah bentuk pangkat 3 yang diperoleh ke dalam bentuk $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, kemudian ingatlah sifat faktor dimana jika $a.b=0$ maka akan berlaku $a=0$ atau $b=0$.
3. dengan langkah kedua tersebut maka soal bisa diselesaikan. ingat juga sifat diskriminan pada persamaan kuadrat
--- Soal No 2 ---
Misalkan $p=2\sqrt{6}-\sqrt{24-12\sqrt{3}}$ dan $q=2\sqrt{6}+\sqrt{24-12\sqrt{3}}$. Jika $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=x\sqrt{3}+y$, dengan $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka nilai dari $3x+y$ adalah ... .
A. 10
B. 8
C. 4
D. 5
E. 6
A. 10
B. 8
C. 4
D. 5
E. 6
Kunci : E. 6
Petunjuk !
1. ubahlah bentuk $p$ dan $q$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. operasikan nilai $p$ dan $q$ ke bentuk $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=x\sqrt{3}+y$ kemudian temukan nilai $x$ dan $y$
Petunjuk !
1. ubahlah bentuk $p$ dan $q$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. operasikan nilai $p$ dan $q$ ke bentuk $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=x\sqrt{3}+y$ kemudian temukan nilai $x$ dan $y$
--- Soal No 3 ---
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $|x|+2x+y=-15$ dan $3x+|y|-y=25$ maka tentukanlah nilai dari $x^{-y}$... .
A. -1
B. 0
C. 1
D. -2
E. 2
A. -1
B. 0
C. 1
D. -2
E. 2
Kunci : C. 1
Petunjuk !
1. Sesuai definisi nilai mutlak ubahlah bentuk mutlak dalam soal ke dalam 4 batas yaitu untuk
a. $x \geq 0$ dan $y\geq0$
b. $x \geq 0$ dan $y < 0$
c. $x < 0$ dan $y < 0$
d. $x < 0$ dan $y \geq 0$
2. pada setiap batas tersebut akan ditemukan dua buah persamaan yang kemudian di eliminasi dan substitusi untuk menemukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kondisi pada soal.
Petunjuk !
1. Sesuai definisi nilai mutlak ubahlah bentuk mutlak dalam soal ke dalam 4 batas yaitu untuk
a. $x \geq 0$ dan $y\geq0$
b. $x \geq 0$ dan $y < 0$
c. $x < 0$ dan $y < 0$
d. $x < 0$ dan $y \geq 0$
2. pada setiap batas tersebut akan ditemukan dua buah persamaan yang kemudian di eliminasi dan substitusi untuk menemukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kondisi pada soal.
--- Soal No 4 ---
Diberikan $f(x) =\frac{2.16^x}{16^x+4}$ jika $f\left ( \frac{1}{5006} \right ) + f\left ( \frac{2}{5006} \right )+ ... +\left ( \frac{5005}{5006} \right )=\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima, maka nilai dari $b^{ab}+^alog(ab)+^2log (\sqrt{ab-a+32})$ adalah ... .
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{6}{5}$
E. $\frac{7}{3}$
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{6}{5}$
E. $\frac{7}{3}$
Kunci : B. $\frac{9}{2}$
Petunjuk !
1. cobalah berfikir untuk menemukan bentuk sederhana dari fungsi $f(x)$ yang mengakibatkab bentuk fungsi di soal akan memiliki sifat saling menghilangkan $($ teleskoping $)$. Hal ini dapat dilakukan dengan mengambil nilai $f(x)+f(1+x)$
2. melalui bentuk yang ada disoal, maka bentuk $f\left ( \frac{1}{5006} \right ) + f\left ( \frac{2}{5006} \right )+ ... +\left ( \frac{5005}{5006} \right )$ dapat dipasangkan antara barisan di awal dengan yang paling belakang dan seterusnya
3. ingat juga akan ada bentuk $f\left ( \frac{2503}{5006} \right )$ yang tidak memperoleh pasangan sehingga nilainya perlu disubstitusikan ke bentuk di soal.
4. karena $a$ dan $b$ relatif prima, maka nilainya bisa ditemukan.
Petunjuk !
1. cobalah berfikir untuk menemukan bentuk sederhana dari fungsi $f(x)$ yang mengakibatkab bentuk fungsi di soal akan memiliki sifat saling menghilangkan $($ teleskoping $)$. Hal ini dapat dilakukan dengan mengambil nilai $f(x)+f(1+x)$
2. melalui bentuk yang ada disoal, maka bentuk $f\left ( \frac{1}{5006} \right ) + f\left ( \frac{2}{5006} \right )+ ... +\left ( \frac{5005}{5006} \right )$ dapat dipasangkan antara barisan di awal dengan yang paling belakang dan seterusnya
3. ingat juga akan ada bentuk $f\left ( \frac{2503}{5006} \right )$ yang tidak memperoleh pasangan sehingga nilainya perlu disubstitusikan ke bentuk di soal.
4. karena $a$ dan $b$ relatif prima, maka nilainya bisa ditemukan.
--- Soal No 5 ---
the root of the quadratic equation $x^2-9x+18=0$ are $a$ and $t$. If the new quadratic equation whose roots are $\frac{t}{s+3}$ dan $\frac{s}{3+t}$ is $px^2+qx+r=0$ then the value of $p+q+r$ adalah ...
A. 2
B. -1
C. 1
D. 2
E. 0
A. 2
B. -1
C. 1
D. 2
E. 0
Kunci : E. 0
Petunjuk !
1. ingatlah sifat jika ada bentuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ maka berlaku $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. melalui langkah 1 maka temukan nilai jumlahan dan hasil kali akar-akar barunya yaitu $\frac{t}{s+3} + \frac{s}{3+t}$ dan $\frac{t}{s+3} . \frac{s}{3+t}$
3. kemudian ingat membuat PK baru yang akar-akarnya $m$ dan $n$ adalah $x^2-(m+n)x+m.n=0$
4. melalui langkah 1,2,3 maka soal dapat diselesaikan
Petunjuk !
1. ingatlah sifat jika ada bentuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ maka berlaku $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. melalui langkah 1 maka temukan nilai jumlahan dan hasil kali akar-akar barunya yaitu $\frac{t}{s+3} + \frac{s}{3+t}$ dan $\frac{t}{s+3} . \frac{s}{3+t}$
3. kemudian ingat membuat PK baru yang akar-akarnya $m$ dan $n$ adalah $x^2-(m+n)x+m.n=0$
4. melalui langkah 1,2,3 maka soal dapat diselesaikan
--- Soal No 6 ---
Diketahui tiga buah fungsi membentuk sebuah fungsi baru sebagai berikut.
$p(x)=\sqrt{x+19-8\sqrt{x+3}}$
$q(x)=\sqrt{x+14-6\sqrt{x+5}}$
$r(x)= \sqrt{ \left ( 2x+8-3 \sqrt{\frac{4}{9}x^2+\frac{32}{9}+\frac{20}{9}} \right )}$
$f(x)=[p(x)+q(x)+r(x)]^{2023}$ untuk $12 \geq x \geq 10$. jika $f(\sqrt{125})=a^b$, dengan $a$ dan $b$ relatif prima. Sisa pembagian $b$ oleh $a$ adalah ...
A. 5
B. 0
C. 1
D. 6
E. 3
$p(x)=\sqrt{x+19-8\sqrt{x+3}}$
$q(x)=\sqrt{x+14-6\sqrt{x+5}}$
$r(x)= \sqrt{ \left ( 2x+8-3 \sqrt{\frac{4}{9}x^2+\frac{32}{9}+\frac{20}{9}} \right )}$
$f(x)=[p(x)+q(x)+r(x)]^{2023}$ untuk $12 \geq x \geq 10$. jika $f(\sqrt{125})=a^b$, dengan $a$ dan $b$ relatif prima. Sisa pembagian $b$ oleh $a$ adalah ...
A. 5
B. 0
C. 1
D. 6
E. 3
Kunci : E. 3
Petunjuk !
1. sederhanakan bentuk $p(x), q(x), r(x)$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. jika nilai yang paling sederhana dari $p(x), q(x), r(x)$, kemudian substitusikan ke persamaan $f(x)$, maka dari langkah ini akan ditemukan sebuah bilangan berpangkat. Jika dilihat dari $a$ dan $b$ yang saling relatif prima maka nikau $a$ dan $b$ sudah ada.
3. jangan hiraukan bentuk $f(\sqrt{25})$ karena nilai $f(x)$ adalah bilangan berpangjkat.
4. melalui ketiga langkah tersebut maka soal dapat diselesaikan.
Petunjuk !
1. sederhanakan bentuk $p(x), q(x), r(x)$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. jika nilai yang paling sederhana dari $p(x), q(x), r(x)$, kemudian substitusikan ke persamaan $f(x)$, maka dari langkah ini akan ditemukan sebuah bilangan berpangkat. Jika dilihat dari $a$ dan $b$ yang saling relatif prima maka nikau $a$ dan $b$ sudah ada.
3. jangan hiraukan bentuk $f(\sqrt{25})$ karena nilai $f(x)$ adalah bilangan berpangjkat.
4. melalui ketiga langkah tersebut maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 7 ---
Nilai dari $ cot\left [ \sum_{n=1}^{23} cot^{-1}\left ( 1+\sum_{k-1}^{n}2k \right ) \right ]$ adalah ...
A. $\frac{25}{23}$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{23}{25}$
E. $1$
A. $\frac{25}{23}$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{23}{25}$
E. $1$
Kunci : A. $\frac{25}{23}$
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk penjumlahan deret $2+4+6+...+2n=n(n+1)$
2. jIngat juga beberapa sifat inverse trigonometri diantaranya
a. $cot^{-1}x=tan^{-1}\frac{1}{x}$
b. $tan^{-1} a \pm tan^{-1} b = \frac{a \pm b}{1 \mp a.b}$
c. $cot(cot^{-1} x) =x$
3. melalui langhkah 1 dan 2, bentuk pada soal dapat disederhanakan ke dalam bentuk yang paling sederhana. jangan lupa bentuk soal bisa ditambahkan dengan nol agar bentuk sifat pada soal nomor 2 bisa terpakai, terutama sifat a,b,c
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk penjumlahan deret $2+4+6+...+2n=n(n+1)$
2. jIngat juga beberapa sifat inverse trigonometri diantaranya
a. $cot^{-1}x=tan^{-1}\frac{1}{x}$
b. $tan^{-1} a \pm tan^{-1} b = \frac{a \pm b}{1 \mp a.b}$
c. $cot(cot^{-1} x) =x$
3. melalui langhkah 1 dan 2, bentuk pada soal dapat disederhanakan ke dalam bentuk yang paling sederhana. jangan lupa bentuk soal bisa ditambahkan dengan nol agar bentuk sifat pada soal nomor 2 bisa terpakai, terutama sifat a,b,c
--- Soal No 8 ---
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $5x^2y^2+6y^2+50-12xy^2+9x^2+8y=\left ( 9-\frac{4}{x}-\frac{2}{xy} \right )-4x^2y^2+y^2-2$. Jika $P=max(x-y)$ dan $p=min(x-y)$ maka nilai dari $P-p$ adalah ...
A. $6$
B. $7$
C. $1$
D. $4$
E. $9$
A. $6$
B. $7$
C. $1$
D. $4$
E. $9$
Kunci : D. $9$
Petunjuk !
1. operasikan bentuk dalam soal, kemudian fokus untuk memfaktorkan bentuk yang diperoleh misal ada bentuk $9x^2-6xy+y^2$ yang bisa difaktorkan.
2. selain bentuk pada point 1, cobalah mengumpulkan variabel $y^2$ kemudian faktorkan/keluarkan bentuk $y^2$, maka akan ditemukan bentuk $9x^2-12x+4$ yang bisa difaktorkan menjadi $(3x-2y)^2$. Kemudian ubah bentuk lain agar ada bentuk $(3x-2y)$
3. maka dari kedua langkah diatas akan ditemukan bentuk $(3xy-2y-8)^2+(3x-2y)^2=0$, sehinggabentuk dari penjumlahannya pasti sama dengan nol.
4. temukan nilai yang diminta oleh soalnya.
Petunjuk !
1. operasikan bentuk dalam soal, kemudian fokus untuk memfaktorkan bentuk yang diperoleh misal ada bentuk $9x^2-6xy+y^2$ yang bisa difaktorkan.
2. selain bentuk pada point 1, cobalah mengumpulkan variabel $y^2$ kemudian faktorkan/keluarkan bentuk $y^2$, maka akan ditemukan bentuk $9x^2-12x+4$ yang bisa difaktorkan menjadi $(3x-2y)^2$. Kemudian ubah bentuk lain agar ada bentuk $(3x-2y)$
3. maka dari kedua langkah diatas akan ditemukan bentuk $(3xy-2y-8)^2+(3x-2y)^2=0$, sehinggabentuk dari penjumlahannya pasti sama dengan nol.
4. temukan nilai yang diminta oleh soalnya.
--- Soal No 9 ---
Sebuah pola bilangan yang terdiri dari 2317 digit, dengan digit pertama berupa angka 6. Dua angka yang bersebelahan pada pola bilangan tersebut habis dibagi 17 atau 23. jumlah semua angka terakhir yang mungkin adalah ...
A. $9$
B. $18$
C. $12$
D. $14$
E. $17$
A. $9$
B. $18$
C. $12$
D. $14$
E. $17$
Kunci : E. $17$
Petunjuk !
1. ingatlah bilangan yang habis dibagi 17 diawali angka 6 adalah 68 sedangkan yang habis dibagi 23 diawali angka 6 adalah 69. oleh sebab itu ini akan dibagi menjadi 2 kasus
2. kasus pertama menggunakan angka 68....., hal ini akan tidak memenuhi 2317 digit angka karena akan berhenti di angka 68517 dan tidak ada lagi bilangan selanjutnya yang memenuhi kondidi disoal
3. kasus kedua gunakan angka awalan 6 dan diikuti angka 9. Maka pada kasus ini akan ditemukan angka berulang setiap 5 digit, maka bilangan terakhir dapat ditemukan.
4. digit terakhir juga memungkinan kembali menggunakan kasus kedua, dimana ketika bilangan 6 terulang lagi $($ pada digit ke 2315 $)$ maka mungkin dikuti angka 68517.
5. jumlahkan kedua bilangan pada langkah 4 dan 5
Petunjuk !
1. ingatlah bilangan yang habis dibagi 17 diawali angka 6 adalah 68 sedangkan yang habis dibagi 23 diawali angka 6 adalah 69. oleh sebab itu ini akan dibagi menjadi 2 kasus
2. kasus pertama menggunakan angka 68....., hal ini akan tidak memenuhi 2317 digit angka karena akan berhenti di angka 68517 dan tidak ada lagi bilangan selanjutnya yang memenuhi kondidi disoal
3. kasus kedua gunakan angka awalan 6 dan diikuti angka 9. Maka pada kasus ini akan ditemukan angka berulang setiap 5 digit, maka bilangan terakhir dapat ditemukan.
4. digit terakhir juga memungkinan kembali menggunakan kasus kedua, dimana ketika bilangan 6 terulang lagi $($ pada digit ke 2315 $)$ maka mungkin dikuti angka 68517.
5. jumlahkan kedua bilangan pada langkah 4 dan 5
Tidak ada komentar:
Posting Komentar