Soal dan Pembahasan Gema Lomba Matematika $($ GLM $)$ SMA Tahun 2023 Babak Penyisihan SMA

Gema Lomba Matematika adalah lomba matematika yang diselenggarakan oleh jurusan pendidikan matematika undiksha yang pesertanya berasal dari sekolah dasar hingga sekolah menengah. Lomba ini diselenggarakan setiap tahun yang melalui beberapa tahapan untuk bisa sampai di babak puncak yaitu babak final yang biasanya akan diadakan di kampus tengah Undiksha. Untuk dapat tampil di babak final tentu kita harus menyisihkan pesaing dari babak penyisihan hingga babak semi final melalui beberapa tes yang telah disiapkan, tentu ini bukanlah hal yang mudah untuk bisa kita lakukan namun bukan sesuatu hal yang tidak mungkin jika kita terus berusaha dan berlatih sejak dini. Untuk itu berikut ini disajikan soal dan pembahasan Gema lomba Matematika SMA tahun 2023 babak penyisihan.

--- Soal No 1 ---

Diketahui $x$ dan $y$ bilangan bulat positif berurutan dengan $x < y$ dan $x^3+y^3+691=33y^2-363y+2022$. Nilai dari $x^2+y$ adalah... .
A. 30
B. 31
C. 32
D. 33
E. 34

Kunci : B. 31
Petunjuk !
1. Operasikan bentuk aljabar pada soal dan faktorkan sehingga menemukan bentuk pangkat 3, dimana bentuknya adalah $x^3+(y-11)^3=0$
2. ubah bentuk pangkat 3 yang diperoleh ke dalam bentuk $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, kemudian ingatlah sifat faktor dimana jika $a.b=0$ maka akan berlaku $a=0$ atau $b=0$.
3. dengan langkah kedua tersebut maka soal bisa diselesaikan. ingat juga sifat diskriminan pada persamaan kuadrat, karena mungkin saja suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar

Jika tidak kelihatan, silahkan klik link LIHAT VIDEO

--- Soal No 2 ---

Misalkan $p=2\sqrt{6}-\sqrt{24-12\sqrt{3}}$ dan $q=2\sqrt{6}+\sqrt{24-12\sqrt{3}}$. Jika $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=x\sqrt{3}+y$, dengan $x$ dan $y$ bilangan rasional, maka nilai dari $3x+y$ adalah ... .
A. 10
B. 8
C. 4
D. 5
E. 6

Kunci : E. 6
Petunjuk !
1. ubahlah bentuk $p$ dan $q$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. operasikan nilai $p$ dan $q$ ke bentuk $\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=x\sqrt{3}+y$ kemudian temukan nilai $x$ dan $y$

--- Soal No 3 ---

Jika $x$ dan $y$ memenuhi $|x|+2x+y=-15$ dan $3x+|y|-y=25$ maka tentukanlah nilai dari $x^{-y}$... .
A. -1
B. 0
C. 1
D. -2
E. 2

Kunci : C. 1
Petunjuk !
1. Sesuai definisi nilai mutlak ubahlah bentuk mutlak dalam soal ke dalam 4 batas yaitu untuk
a. $x \geq 0$ dan $y\geq0$
b. $x \geq 0$ dan $y < 0$
c. $x < 0$ dan $y < 0$
d. $x < 0$ dan $y \geq 0$
2. pada setiap batas tersebut akan ditemukan dua buah persamaan yang kemudian di eliminasi dan substitusi untuk menemukan nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kondisi pada soal.

--- Soal No 4 ---

Diberikan $f(x) =\frac{2.16^x}{16^x+4}$ jika $f\left ( \frac{1}{5006} \right ) + f\left ( \frac{2}{5006} \right )+ ... +\left ( \frac{5005}{5006} \right )=\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima, maka nilai dari $b^{ab}+^alog(ab)+^2log (\sqrt{ab-a+32})$ adalah ... .
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{7}{4}$
D. $\frac{6}{5}$
E. $\frac{7}{3}$

Kunci : B. $\frac{9}{2}$
Petunjuk !
1. cobalah berfikir untuk menemukan bentuk sederhana dari fungsi $f(x)$ yang mengakibatkab bentuk fungsi di soal akan memiliki sifat saling menghilangkan $($ teleskoping $)$. Hal ini dapat dilakukan dengan mengambil nilai $f(x)+f(1+x)$
2. melalui bentuk yang ada disoal, maka bentuk $f\left ( \frac{1}{5006} \right ) + f\left ( \frac{2}{5006} \right )+ ... +\left ( \frac{5005}{5006} \right )$ dapat dipasangkan antara barisan di awal dengan yang paling belakang dan seterusnya
3. ingat juga akan ada bentuk $f\left ( \frac{2503}{5006} \right )$ yang tidak memperoleh pasangan sehingga nilainya perlu disubstitusikan ke bentuk di soal.
4. karena $a$ dan $b$ relatif prima, maka nilainya bisa ditemukan.

--- Soal No 5 ---

the root of the quadratic equation $x^2-9x+18=0$ are $a$ and $t$. If the new quadratic equation whose roots are $\frac{t}{s+3}$ dan $\frac{s}{3+t}$ is $px^2+qx+r=0$ then the value of $p+q+r$ adalah ...
A. 2
B. -1
C. 1
D. 2
E. 0

Kunci : E. 0
Petunjuk !
1. ingatlah sifat jika ada bentuk persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$ maka berlaku $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. melalui langkah 1 maka temukan nilai jumlahan dan hasil kali akar-akar barunya yaitu $\frac{t}{s+3} + \frac{s}{3+t}$ dan $\frac{t}{s+3} . \frac{s}{3+t}$
3. kemudian ingat membuat PK baru yang akar-akarnya $m$ dan $n$ adalah $x^2-(m+n)x+m.n=0$
4. melalui langkah 1,2,3 maka soal dapat diselesaikan

--- Soal No 6 ---

Diketahui tiga buah fungsi membentuk sebuah fungsi baru sebagai berikut.
$p(x)=\sqrt{x+19-8\sqrt{x+3}}$
$q(x)=\sqrt{x+14-6\sqrt{x+5}}$
$r(x)= \sqrt{ \left ( 2x+8-3 \sqrt{\frac{4}{9}x^2+\frac{32}{9}+\frac{20}{9}} \right )}$
$f(x)=[p(x)+q(x)+r(x)]^{2023}$ untuk $12 \geq x \geq 10$. jika $f(\sqrt{125})=a^b$, dengan $a$ dan $b$ relatif prima. Sisa pembagian $b$ oleh $a$ adalah ...
A. 5
B. 0
C. 1
D. 6
E. 3

Kunci : E. 3
Petunjuk !
1. sederhanakan bentuk $p(x), q(x), r(x)$ menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan sifat $\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$
2. jika nilai yang paling sederhana dari $p(x), q(x), r(x)$, kemudian substitusikan ke persamaan $f(x)$, maka dari langkah ini akan ditemukan sebuah bilangan berpangkat. Jika dilihat dari $a$ dan $b$ yang saling relatif prima maka nikau $a$ dan $b$ sudah ada.
3. jangan hiraukan bentuk $f(\sqrt{25})$ karena nilai $f(x)$ adalah bilangan berpangjkat.
4. melalui ketiga langkah tersebut maka soal dapat diselesaikan.

--- Soal No 7 ---

Nilai dari $cot\left [ \sum_{n=1}^{23} cot^{-1}\left ( 1+\sum_{k-1}^{n}2k \right ) \right ]$ adalah ...
A. $\frac{25}{23}$
B. $2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{23}{25}$
E. $1$

Kunci : A. $\frac{25}{23}$
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk penjumlahan deret $2+4+6+...+2n=n(n+1)$
2. jIngat juga beberapa sifat inverse trigonometri diantaranya
a. $cot^{-1}x=tan^{-1}\frac{1}{x}$
b. $tan^{-1} a \pm tan^{-1} b = \frac{a \pm b}{1 \mp a.b}$
c. $cot(cot^{-1} x) =x$
3. melalui langhkah 1 dan 2, bentuk pada soal dapat disederhanakan ke dalam bentuk yang paling sederhana. jangan lupa bentuk soal bisa ditambahkan dengan nol agar bentuk sifat pada soal nomor 2 bisa terpakai, terutama sifat a,b,c

--- Soal No 8 ---

Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real yang memenuhi persamaan $5x^2y^2+6y^2+50-12xy^2+9x^2+8y=\left ( 9-\frac{4}{x}-\frac{2}{xy} \right )-4x^2y^2+y^2-2$. Jika $P=max(x-y)$ dan $p=min(x-y)$ maka nilai dari $P-p$ adalah ...
A. $6$
B. $7$
C. $1$
D. $4$
E. $9$

Kunci : D. $9$
Petunjuk !
1. operasikan bentuk dalam soal, kemudian fokus untuk memfaktorkan bentuk yang diperoleh misal ada bentuk $9x^2-6xy+y^2$ yang bisa difaktorkan.
2. selain bentuk pada point 1, cobalah mengumpulkan variabel $y^2$ kemudian faktorkan/keluarkan bentuk $y^2$, maka akan ditemukan bentuk $9x^2-12x+4$ yang bisa difaktorkan menjadi $(3x-2y)^2$. Kemudian ubah bentuk lain agar ada bentuk $(3x-2y)$
3. maka dari kedua langkah diatas akan ditemukan bentuk $(3xy-2y-8)^2+(3x-2y)^2=0$, sehinggabentuk dari penjumlahannya pasti sama dengan nol.
4. temukan nilai yang diminta oleh soalnya.

--- Soal No 9 ---

Sebuah pola bilangan yang terdiri dari 2317 digit, dengan digit pertama berupa angka 6. Dua angka yang bersebelahan pada pola bilangan tersebut habis dibagi 17 atau 23. jumlah semua angka terakhir yang mungkin adalah ...
A. $9$
B. $18$
C. $12$
D. $14$
E. $17$

Kunci : E. $17$
Petunjuk !
1. ingatlah bilangan yang habis dibagi 17 diawali angka 6 adalah 68 sedangkan yang habis dibagi 23 diawali angka 6 adalah 69. oleh sebab itu ini akan dibagi menjadi 2 kasus
2. kasus pertama menggunakan angka 68....., hal ini akan tidak memenuhi 2317 digit angka karena akan berhenti di angka 68517 dan tidak ada lagi bilangan selanjutnya yang memenuhi kondidi disoal
3. kasus kedua gunakan angka awalan 6 dan diikuti angka 9. Maka pada kasus ini akan ditemukan angka berulang setiap 5 digit, maka bilangan terakhir dapat ditemukan.
4. digit terakhir juga memungkinan kembali menggunakan kasus kedua, dimana ketika bilangan 6 terulang lagi $($ pada digit ke 2315 $)$ maka mungkin dikuti angka 68517.
5. jumlahkan kedua bilangan pada langkah 4 dan 5

--- Soal No 10 ---

Terdapat bilangan Prima $p$ dimana $16+1$ adalah bilangan kubik positif. Jika $y$ adalah bilangan bulat terkecil sehingga $y +1 \equiv p (mod 10)$, maka bilangan prima terbesar yang dapat membagi $2^{2y}-2^y+1$ adalah … .
A. 149
B. 139
C. 107
D. 127
E. 109

Kunci : E. 109
Petunjuk !
1. Misalkan bilangan kubiknya adalah $x$ maka diperoleh $16p+1=x^3$
2. Dari persamaan pertama akan diperoleh persamaan lain yaitu $16p=x^3-1$ coba faktorkan bentuk kubik di sebelah kanan tanda sama dengan.
3. Ambil nilai $16p$ memiliki nilai yang sama dengan
a. $16.p$
b. $8.2p$
c. $4.4p$
d. $2.8p$
e. $1.16p$
f. Dan kebalikannya, sehingga ditemukan 10 kemungkinan.
4.Dengan kemungkinan yang diperoleh di langkah 3, serta samadengankan dengan faktor pada langkah kedua, maka akan ditemukan 10 buah kemungkinan nilai p yang mungkin memeunhi atau tidak memenihi sama sekali sesuai kondisi pada soal.
5.Masukan nilai $p$ ke persamaan $y +1 \equiv p (mod 10)$, maka akan ditemukan nilai $y$
6.Masukan nilai $y$ ke bentuk yang diminta, kemudian temukan bilangan prima terbesarnya dengan konsep Sophie-Germain.

--- Soal No 11 ---

Jika $n$ merupakan bilangan bulat positif terkecil sehingga nilai $27n$ hanya memuat digit $1$ dan $6$, maka banyak faktor $n$ adalah … .
A. 4
B. 5
C. 6
D. 2
E. 3

Kunci : D. 2
1.Perhatikan bilangan $27n$ dengan $n$ bilangan bulat terkecil, sehingga nilai tidak mungkin 2 digit atau 3 digit karena bilangannya tidak habis dibagi 27, maka kemungkinan yang mungkin adalah bilangan 4 digit.
2.Temukan semua 4 digit bilangan itu, dimana agar menjadi bilangan yang paling kecil ambil digit 1 sebanyak 3 buah dan digit 6 satu buah. Temukan semua bilangan dan pilih bilangan yang paling kecil.
3.Jika nilai $27n$ sudah ada, maka nilai $n$ pasti ada, jika nilai $n$ ada maka faktornya pun bis dicari.

--- Soal No 12 ---

If tehe two digits of the number $3^{2023}$ are a and b, the value of $4a+b$ adalah … .
A. 15
B. 33
C. 19
D. 17
E. 25

Kunci : D. 2
1. Masalah ini bisa diselesaikan dengan konsep bilangan modulo, dimana karena diminta 2 digitbilangan maka temukan nilai mod 100
2. Untuksifat-sifat bilangan modulu silahkan PAHAMI DI LINK INI
3. silahkan pahami penjelasan di link pada langkah kedua

--- Soal No 13 ---

Banyak faktor dari 5.600 yang merupakan bilangan genap positif adalah … .
A. 30
B. 32
C. 34
D. 36
E. 38

Kunci : A. 30
1. Temukan faktorisasi prima dari 5.600, misal faktorisasinya adalah $a^n.b^m.c^o$
2. Untuk menemukan banyak faktornya kalikan nilai $m.n.o$
3. Untuk lebih jelas mengenai teorema banyak faktor bisa dilihat dari link berikut.

--- Soal No 14 ---

Agar bentuk $\frac{8n+6}{2n-3}$ merupakn bilangan bulat, maka banyak nilai $n$ bilangan bulat yang memenuhi adalah … .
A. 10
B. 7
C. 6
D. 9
E. 8

Kunci : C.6
1. Ubahlah bentuk soal $\frac{8n+6}{2n-3}$ agar menjadi $\frac{8n+6}{2n-3}=a+\frac{b}{2n-3}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat.
2. Maka agar bentuk di soal bilangan bulat maka haruslah $2n-3$ adala faktor dari $b$
3. Temukan semua kemungkinan nilai $n$ yang mungkin

--- Soal No 15 ---

Diketahui $n^3=171.666^6$. Berapa banyak pembagi positif dari $n^2$ yang kurang dari $n^2$ tapi tidak habis membagi $n$.
A. 1144
B. 1145
C. 1146
D. 1147
E. 1148

Kunci : C.6
1. Gunakan konsep yang sama dengan soal no 14.
2. Temukan terlebih dahulu nilai $n$ dan $n^2$ dengan cara mengakarkan kedua ruas, kemudian temukan banyak faktor positif dari $n^2$ dan $n$
3. Maka banyak pembagi $n^2$ yang kurang dari $n^2$ dan tidak habis membagi $n$ adalah selisih dari jumlah faktor positif dari $n^2$ dengan jumlah faktor dari $n$

--- Soal No 16 ---

Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan AC=BC. Misalkan titik I adalah titik tengah sisi AB, F titik tengah ruas IH, N merupakan titik potong perpanjangan garis MF pada lingkaran dan titik C, E, A berada pda lingkaran. Diketahui bahwa IH tegak lurus dengan sisi BC, MF tegak lurus dengan IH, IH sejajar AE. Jika luas segitiga ABC adala $\frac{32\sqrt{13}}{3}$ dan IH=4, panjang garis CN adalah … .

A. $\sqrt{13}$
B. $\frac{2\sqrt{13}}{3}$
C. $2\sqrt{13}$
D. $\frac{4\sqrt{13}}{3}$
E. $\frac{8\sqrt{13}}{3}$

Kunci : C. A
1. sesuai info pada soal maka panjang IF=FH=2, dan AI=IB atau BI : BA = 1 :2, kemudian sesuai dengan sifat kesebangunan maka segitiga BIH sebangun dengan segitiga ABD dimana D adalah perpanjangan AE yang memotong BC. dari langkah ini maka panjang AC dapat diketahui
2. kemudian Misalkan panjang AC=BC=$x$, maka nilai $x$ dapat ditemukan.
3. dari soal juga diketahui bahwa FN sejajar dengan BC, maka dengan kesebangunan segitiga APC dan AEM panjang MC dapat ditemukan.
4. perhatikan pula segitiga AEH sebangun dengan segitiga MCN $($ gunakan sudut tali busur untuk menunjukan besar sudutnya sama $)$
5. maka melalui langkah 4 nilai NC dapat ditemukan

--- Soal No 17 ---

ABCD.EFGH is a cube with $AB=20$ cm. The points P and Q are respectively the middle points of $FG$ and $HG$. Calculate the distance of the $PQ$ to the $BD$.
A. $5\sqrt{18}$
B. $20\sqrt{18}$
C. $20\sqrt{12}$
D. $10\sqrt{12}$
E. $10\sqrt{18}$

Kunci : A. $5\sqrt{18}$
1. ilustrasikan informasi pada soal ke dalam sebuah gambar
2. kemudian jarak $PQ$ ke $BD$ diperoleh dengan cara membuat garis bantu yang melalui tegak lurus HF, misalkan titik potongnya di M. dengan hal yang sama buat rais bantu yang melalui G dan tegak lurus HF, maka akan ada dua buah segitiga yang sebangun. coba temukan panjang PM. kemudian melalui M tarik garis yang tegak lurus garis BD misal di titik N, maka PN adalah jarak kedua garis yang kita cari
3. jika panjang PM ada, maka panjang PN diperoleh dengan konsep pytagoras.

--- Soal No 18 ---

Jika suatu garis $y=x^2-3x+6$ ditranslasikan oleh $(s,-4)$ menghasilkan bayangan $y=x^2-7x+12$, dan jika ditranslasikan oleh $(3,t)$ menghasilkan bayangan $y=x^2-9x+25$, maka nilai dari $\frac{3s}{2t}$
A. 2
B. 3
C. 1
D. 5
E. 4

Kunci : B. 3
1. ingatlah bahwa jika suatu objek ditranslasikan oleh suatu besaran $(a,b)$, maka bayangannya diperoleh dengan cara $\begin{pmatrix} x' \\ y '\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\ y+b\end{pmatrix}$, maka temukan bayangan objeknya dengan konsep ini
2. melalui langkah 1, temukan hubungan kurva awal dan bayangan kurva setelah ditranslasikan, maka nilai $s$ dan $t$ dapat ditemukan.

--- Soal No 19 ---

Agus sedang belajar materi matematika untuk persiapan GLM tahun 2023. setelah beberapa jam belajar iapun istirahat dan terlitas suatu persamaan garis yang mana persamaan itu adalah $2x+3y=7$. Aguspun mencoba mengembangkan persamaan tersebut menjadi soal matematika yang juga akan ia pecahkan sendiri nantinya. Persamaan $2x+3y=7$ dirotasikan terhadap titik asal sejauh 180 derajat lalu dicerminkan terhadap titik asal. Setelah mengerjakannya ia merasa soal yang ia buat kurang menantang dan memutuskan untuk mentranslasikan ke kanan sejauh a satuan dan ke bawah sejauh b satuan. kemudian bayanganya menjadi $2x+6ay=b$ dan ingin ditentukan nilai dari $2023^{4b-a}$ namun ia sendiri kebingungan. Bantulah agus menyelesaikan soal yang ia buat sendiri yaitu menemukan nilai dari $2023^{4b-a}$
A. $\frac{1}{2023}$
B. $1$
C. $\sqrt{2023}$
D. $2022$
E. $2023$

Kunci : B. $1$
1. ingatlah bahwa jika suatu objek ditranslasikan oleh suatu besaran $(a,b)$, maka bayangannya diperoleh dengan cara $\begin{pmatrix} x' \\ y '\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a \\ y+b\end{pmatrix}$,
2. jika objek dicerminkan dengan titik asal maka bayanganya adalah $\begin{pmatrix} x' \\ y '\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0&-1 \\\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
3. jika objek dirotasi dengan pusat di titik asal sebesar $\alpha$ maka bayanganya adalah $\begin{pmatrix} x' \\ y '\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha& cos\alpha \\\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$
4. melalui ketiga sifat transformasi geometri diatas, coba temukan bayangan objek sesuai sifat yang diberikan oleh agus. kemudian temukan nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi.

--- Soal No 20 ---

Diketahui segitiga $\bigtriangleup ABC$ dengan panjang sisi-sisinya adalah $AB=4, BC=9$ dan $AC=8$. titik $D$ berada pada sisi $BC$ dengan panjang $BD=4$ dan titik $E$ terletak pada sisi $AC$ dengan panjang $AE=AB$. Maka tentukanlah panjang $DE$ ....
A. $\sqrt{\frac{31}{6}}$
B. $\frac{38}{6}$
C. $\sqrt{\frac{38}{6}}$
D. $\frac{31}{8}$
E. $\frac{31}{6}$

Kunci : A. $\sqrt{\frac{31}{6}}$
1. Untuk menjawab soal ini cobalah pahami dulu theorema stewart pada link berikut. setelah memahami theorema tersebut cobalah gambar sesuai dengan ilustrasi yang diberikan.
2. temukan panjang $AD$ dengan menggunakan theorema stewart
3. jika panjang $AD$ ada, maka dengan kkonsep yang sama panjang sisi $DE$ juga dapat ditemukan.

--- Soal No 21 ---

Aril menyimpan selembar uang seratusribu di dompetnya, saat mengeluarkan uang tersebut ternyata uang tersebut terlipat sehingga berbentuk seperti pada gambar dibawah ini. Jika besar sudut $EGC$ adalah $110^o$ dan titik $B'$ dan $C'$ merupakan pencerminan dari pelipatan uang kertas tersebut maka besar sudut $DFE$ adalah ....

A. $130^o$
B. $90^o$
C. $110^o$
D. $140^o$
E. $165^o$

Kunci :D. $140^o$
1. perpanjanglah garis $EG$ maka besar sudut $FGE$ dapat dicari dan besar sudut $EGC'$ juga dapat ditemukan dengan kosep sudut bertolak belakang, dimana besar sudut $EGC'=EGC$.
2. jika besar sudut $EGC'$ ada maka dengan memanfaatkan besar sudut pada segiempat $B'C'GE$ maka besar sudut $B'EG$ juga dapat ditemukan.
3. jika besar sudut $B'EG$ maka dengan besar sudut pada segitiga maka besar sudut $EFG$ juga dapat dicari
4. jika besar sudut $EFG$ ada, maka besar sudut $DEF$ juga dapat dicari.

--- Soal No 22 ---

diberikan suatu lingkaran berdiameter 9 cm, dengan $AD$ dan $BE$ adalah tali busur lingkaran. Jika sinar $AD$ dan $BE$ berpotongan di titik $C$ dengan $AC=2AD, BC=3BE$ dan $AB=9cm$, maka luas segitiga $ABC$ adalah...
A. $27$
B. $27\sqrt{2}$
C. $9\sqrt{2}$
D. $9$
E. $18$

Kunci :B. $27\sqrt{2}$
1. Ilustrasikan soal pada sebuah gambar kemudian misalkan panjang $AD=x$ dan $BE=y$
2. dengan perbandingan yang diberikan pada soal, maka panjang $DC$ dan $EC$ dapat ditemukan dalam variabel $x$ dan $y$
3. dengan theorema pytagoras temukan panjang $AD$ dengan memanfaatkan segitiga $ABD$ dan $BDC$ kemudian samakan persamaan $AD$ yang diperoleh dalam variabel $x$ dan $y$
4. melalui langkah 3 maka nilai $x$ dan $y$ dapat ditemukan. dan jika nilai $x$ dan $y$ ada maka luas segitiga $ABC$ dapat ditemukan juga

--- Soal No 23 ---

Pada Gema Lomba Matematika $(GLM)$ Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika Undiksha terdapat empat tingkatan yaitu SD, SMP, SMA dan SMK. peserta yang loloa ke babak final hadir ke Undiksha. Ketika menunggu acara pembukaan terdapat 3 orang dari SDN 2 Banyuning, 2 orang SMPN 4 Singaraja, 5 orang dari SMAN 1 Singaraja dan 1 orang dari SMKN 2 singaraja yang tidak sengaja berdiri sejajar. Jika setiap siswa dari sekolah yang sama berdiri berdampingan, maka banyak cara berdiri yang dapat dibentuk adalah ... .
A. 36.249
B. 32.144
C. 34.560
D. 32.244
E. 34.180

Kunci : C. 34.560
1. masalah ini dapat diselesaikan dengan konsep kaidah cacah, dimana kita temukan banyak cara menyusun siswa SD, SMP, SMA dan SMK dan cara menyusun 4 kelompok yang terdiri dari empat tingkat tersebut.
2. dari langkah 1 akan ditemukan lima buah nilai yang menyatakan banyak susunan yang mungkin. maka total kemungkinan yang mungkin terjadi adalah hasil kali dari semua hasil yang diperoleh.

--- Soal No 24 ---

Sebelum babak penyisihan, peserta diberikan sebuah password untuk dapat mengikuti babak penyisihan GLM. password tersebut diawali dengan sebuah huruf alfabet $($ bisa menggunakan huruf kapitan dan huruf krcil $)$ yang diikuti oleh tiga atau empat buah angka. Banyaknya password yang dapat dibuat apabila tidak ada digit yang berulang atau sama adalah ... .
A. 299.520
B. 452.323
C. 222.222
D. 232.232
E. 453.754

Kunci : A. 299.520
1. masalah ini dapat diselesaikan dengan konsep kaidah cacah, dimana kita temukan banyak angka yang bisa digunakan dan banyak huruf yang digunakan dimana huruf kecil dan huruf kapital dalam hal ini dipandang berbeda $($ sesuai informasi di soal $)$
2. Temukan dua kemungkinan yang diberikan disoal yaitu sebuah password huruf yang diikuti oleh 3 angka atau 4 angka
3. jumlahkan kedua nilai yang diperoleh pada langkah kedua.

--- Soal No 25 ---

Ayu mengadakan pesta ulang tahun yang ke-17 di rumahnya. untuk itu Ayu menyiapkan tiga meja bundar yang diletakan berjajar dan akan ditempati oleh teman-temannya. Jika teman ayu yang datang sebanyak 8 orang dan tidak boleh ada meja yang kosong, maka banyak cara duduk kedelapan orang tersebut adalah ... cara.
A. 78.729
B. 63.322
C. 86.422
D. 89.523
E. 72.549

Kunci : A. 299.520
1. temukan 5 kemungkinan jumlah orang yang duduk di setiap meja yang disediakan, salah satu banyak kemungkinannya adalah di meja 1 ada 1 orang di meja 2 ada 1 orang dan di meja 3 ada 6 orang. Kemungkinan ini juga bisa diacak. Nantinya akan ditemukan 5 kemungkinan banyak orang disetiap meja
2. hitung jumlah setiap kemungkinan dengan cara konsep kombinasi, permutasi siklik dan permutasi berulang. Misalnya kita ambil kemungkinan yang dipoint 1, maka dengan konsep kombinasi pilih banyak orang disetiap meja. kemudian di meja 3 karena ada 6 orang maka kemungkinannya bisa dicari dengan permutasi sikliks dan kemungkinan banyak orang disetiap meja dengan kasus pada point pertama ada sebanyak 3 $((1,1,6),(1,6,1),(6,1,1))
3. kalikan semua hasil pada kemunginan pertama. kemudian lakukan hal yang sama untuk semua kemungkinan jumlahnya
4. jumlahkan semua nilai yang diperoleh

--- Soal No 26 ---

The results of $2022.2022!+2023.2023!+...+5009.5009!$ is ... .
A. $2023!+2022!$
B. $5010!+2022!$
C. $5010!-2022!$
D. $2023!-2022!$
E. $2023!+2024!$

Kunci : C. $5010!-2022!$
1. misalkan nilai dari $2022.2022!+2023.2023!+...+5009.5009!=x$
2. diruas kiri dan ruas kanan persamaan pada point 1 tambahkan dengan $2022!+2023!+...+5009!$
3. kumpulkan dan faktorkan bentuk di sebelah kiri persamaan sehingga akan ada bentuk yang saling menghilangkan diantara ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh.
4. setelah semua hilang, maka buatlah persamaan menjadi $x=...$ maka nilai $x$ inilah jawaban yang diminta.

--- Soal No 27 ---

Di suatu Sekolah Menengah Atas akan diadakan pemilihan ketua osis dan jajaranya. Adapun OSIS yang akan dibentuk akan diambil sebanyak 3 orang dari kelas XII, 7 orang dari kelas XI dan 5 orang dari kelas X. Kemudian akan ditentukan ketua OSIS, Sekretaris dan bendahara. Jika kelas asal ketua OSIS lebih tinggi dari kelas asal sekretaris dan bendahara, maka kemungkinan banyak susunan jajaran OSIS yang terbentuk adalah ... cara.
A. 224
B. 356
C. 456
D. 422
E. 536

Kunci : E. 536
1. kemungkinan pertama adalah ketua osis dari kelas 12, maka sekre dan bendahara boleh-boleh saja dari kelas XI atau kelas X. Dengan konsep kaidah cacah banyaknya kemungkinannya dapat ditemukan
2. kemungkinan kedua adalah ketua osis dari kelas 11, maka sekre dan bendahara harus dari kelas X. Dengan konsep kaidah cacah banyaknya kemungkinannya dapat ditemukan
3. jumlahkan kemungkinan pada point 1 dan point 2

--- Soal No 28 ---

Jika sebuah dadu di tos enam kali, probabilitas mata dadu yang muncul berjumlah 10 adalah ... .
A. $\frac{116}{6^6}$
B. $\frac{126}{6^6}$
C. $\frac{136}{6^6}$
D. $\frac{146}{6^6}$
E. $\frac{156}{6^6}$

Kunci : E. 536
1. Temukan semua jumlah kemungkinan mata dadu yang muncul, misal dari pelemparan pertama hingga keenam muncul mata dadu $(1,1,1,1,1,5)$, maka kemungkian jumlah ini yang muncul lagi namun dengan kombinasi yang berbeda misal $(5,1,1,1,1)$ dapat dicari dengan konsep permutasi berulang.
2. temukan semua kemungkinan lain seperti pada point pertama kemudian jumlahkan semuanya
3. dengan konsep peluang maka soal dapat diselesaikan

--- Soal No 29 ---

Jika $\frac{(n+3)!}{(n-4)!}=an^7+bn^5+cn^3+dn$ maka nilai dari $5ac+b-d$ adalah ... .
A. 235
B. 244
C. 267
D. 282
E. 212

Kunci : C. 267
1. dengan konsep faktorial sederhanakan bentuk di ruas kiri.
2. jabarkan bentuk diruas kiri sehingga bentuk polinomnya sama.
3. samakan koefisien yang bersesuaian sehingga nilai $a,b,c,d$ dapat ditemukan

--- Soal No 30 ---

Diberikan bangun segi-k beraturan dimana akan diambil tiga titik pada bangun tersebut untuk membentuk sebuah segitiga. total peluang tiga titik berbeda yang diambil membentuk segitiga siku-siku atau tumpul adalaj $\frac{71}{95}$, Jumlah dari semua nilai k yang mungkin adalah
A. 287
B. 288
C. 144
D. 145
E. 431

Kunci :

Silahkan pelajari dengan baik soal penyisihan GLM SMA tahun 2023 diatas, jika ada yang keliru mohon tinggalkan informasi di dalam kolom komentar. Dan jika ini membantu silahkan share dengan klik tombol share berikut.