Definisi Limit

jika kita membahas mengenai grafik fungsi aljabar atapun trigonometri maka akan selalu ada hal menarik yang bisa kita bahas dan turunkan sifat-sifat khususnya, salah satu hal menarik itu adalah menemukan nilai limit fungsi. Limit adalah suatu nilai pendekatan suatu titik oleh sebuah fungsi $f(x)$ yang kemudian bisa dituliskan dalam bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ yang dapat dibaca "Limit fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$".

Limit fungsi

Suatu nilai limit ada saat fungsi didekati dari kiri dan kanan titik yang didekati akan menghasilkan nilai yang sama atau secara metamatika dapat dituliskan seperti $\displaystyle \lim_{x \to a^{+}}f(x)=\displaystyle \lim_{a \to a^{-}}f(x)$.

Misalkan akan diambil nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} 2x+3$, maka jika didekati dari kanan dan kiri akan diperoleh seperti tabel berikut.

dari tabel diatas terlihat nilai bahwa  untuk nilai $x=2,0001$ dan $x=1,999$ memiliki nilai yang hampir sama yaitu mendekati 7, maka disimpulkan bahwa  $\displaystyle \lim_{x \to 2} 2x+3$ limitnya ada yang bernilai 7.
Apabila susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasanyapada video berikut ini

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi frekuensi Definisi limit, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi Definisi limit.

--- Soal No 1 ---

Cobalah uji apakah nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} x-2$ memiliki limit ? jika ada berapakah nilainya ?

perhatikan nilai limit $x$ yang mendekati nilai limitnya, di soal nilai $x$ mendekati 1, maka kita bisa ambil nilai yang mendekati $x$ dari kiri dan kanan dan jika disajikan dalam tabel akan diperoleh data sebagai berikut.

maka terlihat jelas nilai limitnya ada karena jika didekati dari kiri $(x=0,0001)$ dan dari kanan $(x=1,0001)$ nilainya akan mendekati bilangan yang sama yaitu -1. maka dapat disimpulkan limitnya ada dan nilainya adalah -1

--- Soal No 2 ---

Diketahui $f(x)=5x^2+3$, hasil dari limit $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah ... .

perhatikan bahwa limit dengan turunan merupakan hal yang sangat berkaitan, dimana turnan pertama dari suatu fungsi merupakan limit dari fungsi tersebut. Selain itu bentuk $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ merupakan definisi dari turunan fungsi sehingga nilai limitnya diperoleh dengan cara menemukan turuannya yaitu $f(x)=2.5x^{2-1}+0=10x$

--- Soal No 3 ---

Diketahui $f(x)\left\{\begin{matrix} x+2, x \leq -3 \\ 2-x, x > -3 \end{matrix}\right.$, maka coba temukan apakah nilai limitnya ada untuk $\displaystyle \lim_{x \to -3} f(x)$ ... .

Pada soal ini kita diminta untuk melihat nilai limit kiri dan limit kanan untuk nilainya saat mendekati $-3$, tentunya kita harus mengecek nilai limit kiri dan kanannya.

Kita cek limit mendekati 3 dari kiri, maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kiri $-3$ atau lebih kecil, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to -3^{-}} f(x) &= \displaystyle \lim_{x \to -3^{-}} x + 2 \\ &= -3 +2 \\ &= -1 \end{align*}$
Sedangkan Kita cek limit mendekati 3 dari kanan maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kanan $-3$ atau lebih besar, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to -3^{+}} f(x) &= \displaystyle \lim_{x \to -3^{+}} 2 - x \\ &= 2 - (-3) \\ &= 5 \end{align*}$

Karena Limit kiri dan limit kananya berbeda, maka nilai limitnya TIDAK ADA.

--- Soal No 4 ---

Perhatikan gambar dibawah ini

kemudian coba temnukan nilai limit berikut ini.
a. $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$
b. $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$

Menjawab soal ini kita harus bisa mencermati maksud daru grafik, dimana nilai dari $f(0)=0$, hal ini terlihat jelas pada grafiknya, sehingga Untuk jawaban soal No a

Kita cek limit mendekati 2 dari kiri, maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kiri $2$ atau lebih kecil, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 2^{-}} f(x) &= 2 \\ \end{align*}$
Sedangkan Kita cek limit mendekati 2 dari kanan maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kanan $2$ atau lebih besar, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 2^{+}} f(x) &= 2 \end{align*}$

Karena Limit kiri dan limit kananya SAMA, maka nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2^{-}} f(x)=2$

Untuk Soal No b

Kita cek limit mendekati 1 dari kiri, maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kiri $1$ atau lebih kecil, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) &= -\infty \\ \end{align*}$
Sedangkan Kita cek limit mendekati 1 dari kanan maka ambil $f(x)$ yang terdefinisi di kanan $1$ atau lebih besar, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x) &= \infty \\ \end{align*}$

Karena Limit kiri dan limit kananya berbeda, maka nilai Limintnya tidak ada

--- Soal No 5 ---

Diketahui suatu fungsi $f(x)$ terdefinisi dalam bentuk $f(x)\left\{\begin{matrix} 2x-p, x \leq 1\\ 5x-4, x > 1 \end{matrix}\right.$, maka nilai $p$ yang memenuhi agar $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ nilainya ada ... .

Untuk menjawab soal ini kita ingat definisi limit, dimana "limit akan ada jika limit kiri sama dengan limit kanan", sehingga nilai limitnya harus ada dan nilainya sama untuk $x$ mendekati 1 sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1^{-}} f(x) &= \displaystyle \lim_{x \to 1^{+}} f(x)\\ \displaystyle \lim_{x \to 1} 2x-p &= \displaystyle \lim_{x \to 1} 5x-4\\ 2.1 - p &= 5.1-4 \\ p &= 2 - 1 \\ p &= 1 \\ \end{align*}$

Untuk lebih memahami konsep Definisi Limit, cobalah selesaikan beberpa permasalahan berikut ini

LATIHAN SOAL

1	Dengan menggunakan pendekatan nilai tabel, coba temukan apakah nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x+1}{x^2-1}$ ada atau tidak ?
2	Dengan menggunakan pendekatan nilai tabel, coba temukan apakah nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} 2x -5 $ ada atau tidak ?
3	Coba temukan apakah limitnya ada atau tidak jika Diketahui $f(x)\left\{\begin{matrix} 2x-3, x \leq -1 \\ 3x-2, x > -1 \end{matrix}\right.$, maka coba temukan apakah nilai limitnya ada untuk $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$ ... .
4	Coba perhatikan gambar berikut ini coba temukan a. $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$ b. $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$