Sifat - Sifat Limit

jika kita membahas mengenai grafik fungsi aljabar atapun trigonometri maka akan selalu ada hal menarik yang bisa kita bahas dan turunkan sifat-sifat khususnya, salah satu hal menarik itu adalah menemukan nilai limit fungsi. Limit adalah suatu nilai pendekatan suatu titik oleh sebuah fungsi $f(x)$ yang kemudian bisa dituliskan dalam bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$ yang dapat dibaca "Limit fungsi $f(x)$ untuk $x$ mendekati $a$".

Sifat-Sifat Limit fungsi

Jika diketahui $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi dan $k$ adalah konstanta, maka dapat diturunkan beberapa sifat yaitu sebagai berikut.
1. $ \displaystyle \lim_{x \to a}(f(x) \pm g(x))= \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) \pm \displaystyle \lim_{x \to a}g(x)$
2. $ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x).g(x) = \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) . \displaystyle \lim_{x \to a} g(x)$
3. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{ \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}$, dengan syarat $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$
4. $ \displaystyle \lim_{x \to a} k.f(x) = k. \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$
5. $ \displaystyle \lim_{x \to a}(f(x))^n= (\displaystyle \lim_{x \to a}f(x))^n$
6. $ \displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{f(x)}=\sqrt{ \displaystyle \lim_{x \to a}f(x)}$

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi sifat-sifat limit, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi sifat-sifat limit.

--- Soal No 1 ---

Temukanlah nilai limit $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{2x+2}$.

Sesuai dengan sifat limit maka diperoleh.
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{2x+2} &= \sqrt{\displaystyle \lim_{x \to 1} {2x+2}}\\ &= \sqrt{2.(1)+2}\\ &= 2 \end{align*}$

--- Soal No 2 ---

Temukanlah nilai limit $ \displaystyle \lim_{x \to 1} (2x^2-4x-6)$.

Sesuai dengan sifat limit maka diperoleh.
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1} (2x^2-4x-6) &= \displaystyle \lim_{x \to 1} 2x^2 -\displaystyle \lim_{x \to 1} 4x -\displaystyle \lim_{x \to 1}6\\ &= 2(1^2)-4.1-6\\ &= -8 \end{align*}$

--- Soal No 3 ---

Temukanlah nilai limit $\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{2x^2-4}{x+3}$.

Sesuai dengan sifat limit maka diperoleh.
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{2x^2-4}{x+3} &= \frac {\displaystyle \lim_{x \to -2} (2x^2-4)}{\displaystyle \lim_{x \to -2} (x+3)}\\ &= \frac {\displaystyle \lim_{x \to -2} 2x^2- \displaystyle \lim_{x \to -2} 4)}{\displaystyle \lim_{x \to -2} x+\displaystyle \lim_{x \to -2}3}\\ &= \frac{2.(-2)^2-4}{(-2)+3}\\ &=\frac{4}{1} \\ &= 4 \end{align*}$

Sebelum memahami dengan baik contoh soal diaats, cobalah pahami lebih dulu cara menemukan nilai limit fungsi aljabar pada link berikut. Jika sudah memahami keempat metode penyelesaian limit tersebut cobalah untuk menyelesaikan beberapa contoh soal berikut dengan menerapkan sifat-sifat limit diatas.

LATIHAN SOAL

1

Temukanlah nilai limit berikut dengan menerapkan sifat-sifat limit diatas ... a. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{5x^3-x+7}{2x+3}=...$ b. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{\frac{-x-2}{x+2}}=...$ c. $\displaystyle \lim_{x \to 3} (2x-5)^4=...$ d. $\displaystyle \lim_{x \to 0} 5(x^2-x-1)=...$ e. $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^2-4}{x-2}=...$