Limit Fungsi Aljabar

di Pembelajaran sebelumnya kita telah memahami apa itu definisi limit, maka setelah itu kita harus memahami juga bagaimana cara menemukan nilai limit secara langsung tanpa mengecek nilai limit kiri dan limit kanannya. Secara umum akan ada 4 metode yang akan dipelajari dalam menemukan nilai limit ini, yaitu metode substitusi, faktor, kali sekawan dan Dalil L'Hopital. Semua metode tersebut akan gagal pada kasus tertentu dan sangat efektif untuk menyelesaikan kasus tertentu, sehingga penting untuk memahami keempat metode secara konseptual, untuk itu silahkan pahami penjelasan singkat berikut ini.

Secara Umum penyelesaian nilai limit ada 4 cara yaitu.
Cara Substitusi

Cara ini dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai $x$ dengan nilai $x$ yang di dekati oleh limitnya. Namun cara ini akan gagal saat menemukan bentuk tek tentu yaitu $\frac{0}{0}$

 
Cara Faktor

Jika cara substitusi gagal, maka silahkan faktorkan bentuk aljabar di soal sehingga bentuknya dapat di sederhanakan dan bentuk tak tentu dapat dihindari, namun cara ini gagal jika menemukan bentuk yang susah untuk difaktorkan.

 
Cara Mengalikan Sekawan

cara ini dilakukan dengan cara mengalikan kawan penyebut sehingga bentuk tak tentu bisa di hilangkan, cara ini juga terbatas untuk beberapa jenis soal saja.

 
Dalil L'Hopital

Cara ini dilakukan jika menemukan bentuk tak tentu, sehingga pandanglah soal menjadi bentuk $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ sehingga nilai limitnya bisa dilakukan dengan menemukan tutunan penyebut dan pembilangnya $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Apabila susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasanyapada video berikut ini

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Limit Fungsi Aljabar, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi Limit Fungsi Aljabar.

--- Soal No 1 ---

Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^2-2x+1)$ = ... .

Cara pertama yang kita Uji adalah cara substitusi, dan ternyata cara ini tidak menimbulkan bentuk tak tentu, maka hasil limitnya bisa dicari dengan cara
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1} (x^-2x+1) &= (1)^2-2.(1)+1\\ &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 0

--- Soal No 2 ---

Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1}$ = ... .

Cara pertama yang kita Uji adalah cara substitusi, dan ternyata cara ini menimbulkan bentuk tak tentu, maka akan diselesaikan dengan cara faktor sehingga.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} &= \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ..... \text{coret (x+1)}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to -1} (x-1) \\ &= -1-1\\ &= -2 \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah -2

--- Soal No 3 ---

Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}$ = ... .

Cara pertama yang kita Uji adalah cara substitusi, dan ternyata cara ini menimbulkan bentuk tak tentu, maka akan diselesaikan dengan cara kali sekawan sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49} &= \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}.\frac{2+\sqrt{x-3}}{2+\sqrt{x-3}}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{4-(x-3)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{7-x}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{-1}{(x+7)(2+\sqrt{x-3})}\\ &= \frac{-1}{(7+7)(2+\sqrt{7-3})}\\ &= \frac{-1}{56}\\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah $-\frac{1}{56}$

untuk lebih memahami materi limit fungsi aljabar, silahkan selesaikan soal berikut.

LATIHAN SOAL

1

Temukanlah nilai limit berikut dengan menerapkan metode diatas ... a. $\displaystyle \lim_{x \to 0} (x^2-x^3-20) =...$ b. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(2(x-2)+(5-3x)}{x-1}=...$ c. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+3x-10)}{x-2}=...$ d. $\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{7}(x-7)}{\sqrt{x}-\sqrt{7}}=...$ e. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}=...$ f. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x-4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=...$

2

Jika dketahui $\displaystyle \lim_{x \to 1} (ax^2-2ax+1) =0$, maka berapakah nilai $a$ yang memenuhi ... .