Limit Fungsi Trigonometri

di Pembelajaran sebelumnya kita telah mempelajari konsep limit fungsi aljabar, sehingga jika fungsi aljabar diganti dengan fungsi trigonometri maka penyelesaianya akan sama saja, hanya saja kita harus mengingat beberapa identitas trigonometri. Berikut adalah beberapa identitas trigonometri yang akan sering digunakan dalam penyelesaian limit, diantaranya.
$1. sin^2x+cos^x=1$
$\begin{align*} 2. Sin2x &= 2.sinx.cosx\\ &= \frac{2.tanx}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
$\begin{align*} 3. cos2x &= cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x\\ &= \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
4. $sin \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$
5. $cos \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$
6. $sinx+siny=2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
7. $sinx-siny=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
8. $cosx+cosy=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
9. $cosx-cosy=-2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
Dengan beberapa identitas diatas maka kita dapat menyelesaikan beberapa masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri yang tentunya di kombinasikan beberapa theorema dalam limit trigonometri yaitu sebagai berikut.

Limit Fungsi Trigonometri

Dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri maka ubahlah bentuk di dalam soal menjadi beberapa sifat berikut.
1. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{sinbx}=\frac{a}{b}$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{tanax}{bx}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ax}{tanbx}=\frac{a}{b}$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sinax}{tanbx}=\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{tanax}{sinbx}=\frac{a}{b}$
4. $\displaystyle \lim_{x \to p} \frac{sina(x-p)}{b(x-p)}=\displaystyle \lim_{x \to p} \frac{a(x-p)}{sinb(x-p)}=\frac{a}{b}$
5. $\displaystyle \lim_{x \to p} \frac{tana(x-p)}{b(x-p)}=\displaystyle \lim_{x \to p} \frac{a(x-p)}{tanb(x-p)}=\frac{a}{b}$
6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sina(x-p)}{tanb(x-p)}=\displaystyle \lim_{x \to p} \frac{tana(x-p)}{sinb(x-p)}=\frac{a}{b}$
Berusahalah mengubah bentuk soal menjadi theorema diatas jika soal menghasilkan bentuk tak tentu.

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Limit Fungsi Trigonometri, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi Limit Fungsi Trigonometri.

--- Soal No 1 ---

Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to o} \frac{sin2x}{sinx}$ = ... .

jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga bentuk $sin2x$ perlu diubah ke bentuk seperti penjelasan diatas, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{sinx} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2.sinx.cosx}{sinx}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} 2.cosx \\ &= 2. cos0 \\ &= 2.1 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 2