di Pembelajaran sebelumnya kita telah mempelajari konsep limit fungsi aljabar, sehingga jika fungsi aljabar diganti dengan fungsi trigonometri maka penyelesaianya akan sama saja, hanya saja kita harus mengingat beberapa identitas trigonometri. Berikut adalah beberapa identitas trigonometri yang akan sering digunakan dalam penyelesaian limit, diantaranya.
$1. sin^2x+cos^x=1$
$\begin{align*} 2. Sin2x &= 2.sinx.cosx\\ &= \frac{2.tanx}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
$\begin{align*} 3. cos2x &= cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x\\ &= \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
4. $sin \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$
5. $cos \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$
6. $sinx+siny=2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
7. $sinx-siny=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
8. $cosx+cosy=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
9. $cosx-cosy=-2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
Dengan beberapa identitas diatas maka kita dapat menyelesaikan beberapa masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri yang tentunya di kombinasikan beberapa theorema dalam limit trigonometri yaitu sebagai berikut.
$1. sin^2x+cos^x=1$
$\begin{align*} 2. Sin2x &= 2.sinx.cosx\\ &= \frac{2.tanx}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
$\begin{align*} 3. cos2x &= cos^2x-sin^2x\\ &= 2cos^2x-1\\ &= 1-2sin^2x\\ &= \frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}\\ \end{align*}$
4. $sin \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}$
5. $cos \frac{1}{2}x=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}$
6. $sinx+siny=2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
7. $sinx-siny=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
8. $cosx+cosy=2. cos \left (\frac{x+y}{2}. \right ).cos \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
9. $cosx-cosy=-2. sin \left (\frac{x+y}{2}. \right ).sin \left (\frac{x-y}{2}. \right )$
Dengan beberapa identitas diatas maka kita dapat menyelesaikan beberapa masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri yang tentunya di kombinasikan beberapa theorema dalam limit trigonometri yaitu sebagai berikut.
Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Limit Fungsi Trigonometri, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi Limit Fungsi Trigonometri.
--- Soal No 1 ---
Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{sinx}$ = ... .
jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga bentuk $sin2x$ perlu diubah ke bentuk seperti penjelasan diatas, sehingga
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{sinx} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2.sinx.cosx}{sinx}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} 2.cosx \\ &= 2. cos0 \\ &= 2.1 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 2
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{sinx} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2.sinx.cosx}{sinx}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} 2.cosx \\ &= 2. cos0 \\ &= 2.1 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 2
--- Soal No 2 ---
Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2sinx+3sin2x}$ = ... .
jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga bentuk limit dapat dipisahkan sesuai dengan sifat-sifat limit sehingga diperoleh
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2sinx+3sin2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left ( \frac{2x}{2sinx} + \frac{2x}{3sin2x} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2sinx} + \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3sin2x} \\ &= \frac{2.1}{2.1} + \frac{2.1}{3.2}\\ &= 1 + \frac{2}{6} \\ &= \frac{6}{6}+\frac{2}{6} \\ &= \frac{8}{6} \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah $\frac{8}{6}$
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2sinx+3sin2x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left ( \frac{2x}{2sinx} + \frac{2x}{3sin2x} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2sinx} + \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3sin2x} \\ &= \frac{2.1}{2.1} + \frac{2.1}{3.2}\\ &= 1 + \frac{2}{6} \\ &= \frac{6}{6}+\frac{2}{6} \\ &= \frac{8}{6} \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah $\frac{8}{6}$
--- Soal No 3 ---
Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}$ = ... .
jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga untuk menyelesaikan soal ini dapat dilakukan dengan cara mengalikan silang, sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}.\frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x (3+\sqrt{2x+9})}{9-2x+9} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x (3+\sqrt{2x+9})}{-2x}\\ &= \frac{2(3+\sqrt{2.0+9}}{-2} \\ &= \frac{2(3+\sqrt{9}}{-2} \\ &= \frac{2(3+3)}{-2} \\ &= \frac{12}{-2} \\ &= -6 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah -6
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{3-\sqrt{2x+9}}.\frac{3+\sqrt{2x+9}}{3+\sqrt{2x+9}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x (3+\sqrt{2x+9})}{9-2x+9} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin2x (3+\sqrt{2x+9})}{-2x}\\ &= \frac{2(3+\sqrt{2.0+9}}{-2} \\ &= \frac{2(3+\sqrt{9}}{-2} \\ &= \frac{2(3+3)}{-2} \\ &= \frac{12}{-2} \\ &= -6 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah -6
--- Soal No 4 ---
Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+x-2)(sin(x-1))}{x^2-2x+1}$ = ... .
jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga untuk menyelesaikan soal ini dapat dilakukan dengan cara pemfaktoran, sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+x-2)(sin(x-1))}{x^2-2x+1} &=\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)(sin(x-1))}{(x-1)(x-1)} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 1} (x+2). \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)}{(x-1)}. \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(sin(x-1))}{(x-1)} \\ &=(1+2).1.1\\ &= 3 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 3
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+x-2)(sin(x-1))}{x^2-2x+1} &=\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)(sin(x-1))}{(x-1)(x-1)} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 1} (x+2). \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)}{(x-1)}. \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(sin(x-1))}{(x-1)} \\ &=(1+2).1.1\\ &= 3 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 3
--- Soal No 5 ---
Cobalah temukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-cosx} $ = ... .
jika disubstitusikan secara langsung nilai $x=0$ maka akan menghasilkan bentuk tak tentu sehingga untuk menyelesaikan soal ini dapat dilakukan dengan cara mengingat sifat trigonometroi dimana
$1-cosx=2 sin^2 \left ( \frac{1}{2} x \right )$
Sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-cosx} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2 sin^2 \left ( \frac{1}{2} x \right )} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{2 sin \left ( \frac{1}{2} x \right )}. \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{ sin \left ( \frac{1}{2} x \right )} \\ &=\frac{1}{2.\frac{1}{2}}.\frac{1}{\frac{1}{2}}\\ &= 1.2 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 2
$1-cosx=2 sin^2 \left ( \frac{1}{2} x \right )$
Sehingga diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-cosx} &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2 sin^2 \left ( \frac{1}{2} x \right )} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{2 sin \left ( \frac{1}{2} x \right )}. \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{ sin \left ( \frac{1}{2} x \right )} \\ &=\frac{1}{2.\frac{1}{2}}.\frac{1}{\frac{1}{2}}\\ &= 1.2 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
maka nilai limitnya adalah 2
Untuk lebih memahami tentang materi s Limit Fungsi Trigonometri, maka cobalah selesaikan beberapa latihan soal berikut. Ingatlah selalu konsep dasar dari materi yang disampaikan diatas.
LATIHAN SOAL
| 1 | Temukanlah nilai limit berikut dengan menerapkan sifat-sifat limit dan sufat-sifat pada limit trigonometri diatas ...
a. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{6x}=...$ b. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{sin(2x-6)}{x^2-2x-3}=...$ c. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(-x^2)}{1-cosx} =...$ |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar