Limit Tak berhingga Fungsi Aljabar

Pada pembelajaran sebelumnya kita telah belajar mengenai konsep limit yang mana nilai limit didekati oleh sebuah bilangan real, namum apa jadinya jika suatu limit mendekati nilai tak hingga. Nah secara umum yang akan kita pelajari dalam limit tak berhingga berikut ini adalah nilai limit untuk fungsi pecah dan fungsi selisih akar, kedua bentuk limit tak berhingga ini dapat diturunkan dengan memanfaatkan konsep limit yang telah dipelajari sebelumnya. Untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasan berikut ini.  

Limit Tak Hingga Pecahan

Jika diketahui bentuk limit tak hingga bentuk
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{a_1x^m+a_2x^{m-1}+a_3x^{m-2}+...+a_m}{b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+...+b_n}$,
maka nilainya dapat ditentukan dengan cara melihat nilai $m$ dan $n$ jika.
1. $m > n$ maka hasilnya adalah $\infty$
2. $m = n$ maka hasilnya adalah $\frac{a_1}{b_1}$
3. $m < n$ maka hasilnya adalah $0$

 

Limit Tak Hingga Bentuk Akar

Jika diketahui limit berbentuk
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r})$,
maka nilainya dapat ditentukan dengan cara melihat nilai $a$ dan $p$ jika.
1. $a > p$ maka hasilnya adalah $\infty$
2. $a = p$ maka hasilnya adalah $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$
3. $a < p$ maka hasilnya adalah $-\infty $


Apabila susah dalam memahami penjelasan diatas, dan ingin tahu pembuktian kebenaran rumusnya silahkan simak penjelasanyapada video berikut ini

Limit Fungsi Aljabar Bentuk Pecahan - Penjelasan dan latuhan soal
$($ LINK ALTERNATIF JIKA VIDEO TIDAK KELIHATAN $)$

Pembuktian Rumus Limit Fungsi Aljabar Bentuk Pecahan
$($ LINK ALTERNATIF JIKA VIDEO TIDAK KELIHATAN $)$

Untuk lebih memahami materi limit Tak Berhingga maka cobalah perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Coba temukanlah nilai limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{3x^4-2x^6-3x+2}{x^6+4x^3-2x-6}$ ...

untuk menyelesaikan soal ini kita hanya perlu melihat pangkat tertingginya dimana, pangkat tertinggi di pembilang adalah 6 dan di pembilang juga 6, sehingga sesuai sifat limitnya akan diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{3x^4-2x^6-3x+2}{x^6+4x^3-2x-6} &= \frac{a_1}{b_1} \\ &= \frac{-2}{1} \\ &= -2\\ \end{align*}$
Jadi nilai limitnya adalah $-2$

--- Soal No 2 ---

Coba temukanlah nilai limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{x^2-x-1})$ ...

sesuai dengan bentuk rumus diatas akan diperoleh bahwa nilai $a=p$, sehingga nilai limitnya diperoleh dengan cara
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{x^2-x-1}) &= \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ &= \frac{-3-(-1)}{2.\sqrt{1}} \\ &= \frac {-2}{2}\\\ &=-1\\ \end{align*}$
Jadi nilai limitnya adalah $-1$

--- Soal No 3 ---

Coba temukanlah nilai limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac {x^3-x^2-5}{x^4-x^3-5}$ ...

sesuai dengan bentuk rumus diatas maka diketahui di dalam soal diatas bahwa pangkat tertinggi dipenyebut lebih besar daripada pangkat di pembilangnya maka hasilnya adalah $\infty $, atau dengan cara aljabar akan diperoleh.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac {x^3-x^2-5}{x^4-x^3-5} &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac {\frac{x^3}{x^4}-\frac{x^2}{x^4}-\frac{5}{x^4}}{\frac{x^4}{x^4}-\frac{x^3}{x^4}-\frac{5}{x^4}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac {\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{5}{x^4}}{\frac{1}{1}-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^4}} \\ &= \frac {0+0+0}{1+0+0} \\ &= \infty \\ \end{align*}$
Jadi nilai limitnya adalah $\infty $

--- Soal No 4 ---

Coba temukan solusi dari bentuk limit $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( x-1 -\frac {x^2-x}{x-1} \right )$ ... .

Sebelum menerapkan syarat-syrat diatas, perlu kita operasikan bentuk limitnya sehingga berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$, sehingga akan diperoleh,
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( x-1 +\frac {x^2-x}{x-1} \right ) &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac{(x-1)(x-1)}{x-1} -\frac {x^2-x}{x-1} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac{x^2-2x+1}{x-1} - \frac {x^2-x}{x-1} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {x^2-2x+1-x^2+x}{x-1} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {-x+1}{x-1} \right ) \\ &= \frac{-1}{1} \\ &= -1 \end{align*}$
Jadi nilai limitnya adalah $-1 $

--- Soal No 5 ---

Coba temukan solusi dari bentuk limit $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}} \right )$ ... .

Sebelum menerapkan syarat-syrat diatas, perlu kita ingat bawah nilai dari $x=\sqrt{x^2}$, maka dengan konsep tersebut akan kita peroleh penyelesaian sebagai berikut.
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {\sqrt{x^2-1}-x}{\sqrt{x^2-1}} \right ) &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}-\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left ( \frac {\sqrt{\frac{1}{1}-\frac{1}{x^2}}-\frac{1}{1}}{\sqrt{\frac{1}{1}-\frac{1}{x^2}}} \right ) \\ &= \left ( \frac {\sqrt{1-0}-1}{\sqrt{1-0}} \right ) \\ &= \frac{1-1}{1} \\ &= 0 \end{align*}$
Jadi nilai limitnya adalah $0 $

untuk lebih memahami materi limit fungsi aljabar, silahkan selesaikan soal berikut.

LATIHAN SOAL

1

Temukanlah nilai limit berikut dengan menerapkan metode diatas ... a. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^5-x^2}{x^2-x^5} =...$ b. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-5x-7}{x^2-2x}=...$ c. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \frac {\sqrt{x^4-2x^2-5}-x^2}{\sqrt{x^4-5x^3}} \right ) =...$ d. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( x-2 - \frac{x^2-1}{x-3} \right ) =...$ e. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt {3x-2}-\sqrt{9x^2-x-5} =...$ f. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2-4}-\sqrt{x^2-6x-7}=...$