Soal OSN-K SMA Tahun 2023

--- Soal No 1 ---

Hasil penjumlahan semua solusi persamaan $|x-|2x+3||=99$ adalah ... .

Kunci : 62
Petunjuk !

• selesaikan bentuk nilai mutlak $|2x+3|$ pada soal diatas sehingga akan ditemukan 2 bentuk nilai mutlak yang lainnya
• selesaikan kembali dua persamaan mutlak yang diperoleh pada langkah 1, kemudian pilih nilai $x$ yang memenuhi
• jumlahkan semua nilai $x$ yang memenuhi. Hati-hatilah memilih nilai $x$ yang memenuhi pada batas batas yang di uji

--- Soal No 2 ---

Di dalam sebuah laci terdapat 7 pasang kaos kaki yang setiap pasanganya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil 5 kaos kaki sekaligus secara acak . Banyaknya cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang cocok $($ Berpasangan $)$ adalah ... .

Kunci : 1120
Petunjuk !

• pilihlah banyak kaos kaki dengan konsep kombinasi, dimana ada 7 kaos kaki akan dipilih 1 pasang kaos kaki
• karena sudah terambil 1 pasang maka akan tersisa 6 pasang kaos kaki, maka kita akan mengambil lagi 3 kaos dengan catatan tidak ada kaos kaki yang sepasang. Hal ini bisa disiasati dengan mengambil masing-masing 1 kaos kaki di setiap 6 pasang kaos yang tersedia.
• kemudian dari langkah 2 jika diambil 1 kaos kaki di pasangan kaos kaki pertama maka akan ada dua kemungkinan yaitu mungkin kaos kaki kiri atau kaos kanan. Dilangkah ini juga akan ada $2^3$ kombinasi kemungkinan
• kalikan nilai pada langkah 1,2,3.

--- Soal No 3 ---

Diberikan trapesium $ABCD$ dengan dengan $AB=14, CD=19$, dimana $AB$ sejajar $CD$ dan kedua sudut $\angle ADC$ dan $\angle BDC$ lancip. Misalkan $p$ dan $Q$ terletak pada sisi $CD$, sehingga $AD=AP$ dan $BC=BQ$

maka panjang $PQ$ adalah ... .

Kunci : 9
Petunjuk !

• Buatlah garis bantu dari titik A dan titik B yang tegak lurus dengan garis CD, misal memtotong di titip X dan Y
• Perhatikan pula kenyataan bahwa $AD=AP$ dan $BC=BQ$ sehingga akan terbentuk segitiga sama kaki. Sehingga garis AX dan BY juga akan membagi alas segitiga sama kaki $($ misalkan dengan sebuah variabel $)$
• Buatlah persamaan yang memuat sisi alas trapesium, sehingga sisi PQ dapat ditemukan

--- Soal No 4 ---

Suatu bilangan $4$ digit $7ab9$ yang merupakan suatu bilangan kuadrat, maka berapakah nilai $a+b$ ...

Kunci : 11
Petunjuk !

• coba temukan bilangan kuadrat yang membuat satuan bilangannya ada direntangan 7000an, kemudian temukan pula bilangan yang satuanya yang membuat 9
• kalikan dan temukan bilangan yang cocok, maka nilai a + b dapat ditemukan

--- Soal No 5 ---

Diberikan suatu fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ yang memenuhi $f(5)=25$ dan $f(6)=36$ jika $a \neq 1$ maka nilai dari $\frac{c-b}{a-1}$

Kunci : 41
Petunjuk !

• temukan dua persamaan dari soal dengan cara mengganti nilai $x$ sesuai apa yang diketahui di soal yaitu $f(5)=25$ dan $f(6)=36$
• eliminasi kedua persamaan yang diperoleh sehingga menemukan bentuk $b=a-1$
• substitusi nilai $b$ ke salah satu persamaan yang ada sehingga akan ditemukan nilai $c$ dalam bentuk $a$
• dari langkah 1,2,3 maka soal dapat diselesaikan dengan cara mengganti nilai $a,b,c$ sesuai apa yang diperoleh kemudian sederhanakan

--- Soal No 6 ---

Dua tim A dan B bertanding sepakbola sebanyak 15 kali. Pada setiap pertandingan, tim yang berhasil mencetak 4 gol pertama menjadi pemenang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Selama 15 pertandingan tersebut, tim A memenangkan pertandingan lebih banyak dibandingkan tim B, namun banyak gol yang dicetak tim B lebih banyak dibandingkan tim A. Selisih total gol terbesar yang mungkin dicetak kedua tim tersebut adalah …

Kunci : 20
Petunjuk !

• agar selisih gol menjadi besar maka saat tim A menang maka asumsikan tim B kalah dan mendapatkan 3 gol, dan sebaliknya saat tim A kalah dan tim B menang maka kita buat tim A kalah dengan tanpa mencetak gol atau gol paling sedikit
• dengan langkah 1, coba asumsikan tim A menang sebanyak 8 kali dan tim B menang sebanyak 7 kali dan coba temukan berapa selisih golnya
• jika masih ragu cobalah menaikan kemenangan tim A dan menurunkan kemenangan tim B sesuai dengan sifat disoalnya

--- Soal No 7 ---

Diberikan segitiga lancip $𝐴𝐵𝐶$ dengan $𝐴𝐵 = 12$ dan $𝐴𝐶 = 10$ dan $𝐷$ suatu titik pada sisi $𝐵𝐶$. Misalkan $𝐸$ dan $𝐹$ menyatakan titik-titik berat segitiga $𝐴𝐵𝐷$ dan $𝐴𝐶𝐷$. Jika luas segitiga $𝐷𝐸𝐹$ adalah $4$, maka panjang sisi $𝐵𝐶$ adalah $\sqrt{6}$ dengan $𝑛$ = ….

Kunci : 52
Petunjuk !
Ilustrasikan soal seperti gambar berikut ini

• Perhatikan Segitiga AER yang sebangun dengan segitiga APD, maka akan diperoleh perbandingan luas AER:APD = 4:9.
• perhatikan segitiga AED yang dapat dibagi menjadi dua segitiga yaitu segitiga EDR dan segitiga AER. kedua segitiga ini dapat dihitung luasnya dengan membandingkan alas segitiganya yaitu DR:RA maka diperoleh perbandingan luas EDR:AER=1:2
• substitusikan kedua perbandingan yang diperoleh di persamaan pertama dan kedua yang mana akan diperoleh perbandingan luas segitiga EDR:ADP = 2:9
• perhatikan pula dengan perbandingan alas segitiga ABP memiliki luas yang sama dengan segitiga APD, sehingga dengan mengubah Luas ADP menjadi setengah luas ABD akan diperoleh perbandingan yang baru yaitu luas EDR dengan luas EBD adalah 1:9
• ulangi langkah 1-4 pada segitiga ADC sehingga diperoleh perbandingan luas segitiga DRF adengan ADC adalah 1 : 9
• jumlahkan hasil persamaan pada langkah 4 dan 5, sehingga perbandingan luas ABC dan ADF diketahui sehingga dengan mengubah luas ADF = 4 maka luas ABC juga akan diketahui
• Dengan konsep luas segitiga temukan dulu nilai sinus BAC kemudian temukan juga nilai cosinusnya.
• Dengan menerapkan aturan cosinus maka panjang BC dapat dicari

--- Soal No 8 ---

Sisa pembagian bilangan $5^{2022}+11^{2022}$ oleh $64$ adalah ... .

Kunci : 50
Petunjuk !
Soal ini dapat diselesaikan dengan beberapa konsep moulu dianataranya adalah

• $a^b mod n= (a mod n)^b mod n$
• $(a+b)mod n = ( a mod n + b mod n) mod n$

Kombinasikan sifat modulu diatas dengan theorema eluer yang melibatkan nilai FPBnya.

--- Soal No 9 ---

Diberikan suku banyak $P(x)$ dengan koefisien bulat , jika $P(r_1)=P(r_2)=200$, dengan $r_1,r_2$ merupakan akar-akar persamaan $x^2+x-23=0$ maka sisa pembagian $P(1)$ oleh $21$ adalah ... .

Kunci : 11
Petunjuk !

• dengan theorema sisa maka diperoleh bentuk $P(x)=(x^2+x-23).H(x)+(ax+b)$
• karena $r_1$ dan $r_2$ adalah akar-akar $x^2+x-23$ maka akan diperoleh persamaan untuk $P(r_1)$ dan $P(r_2)$. kemudian kita cek diskriminan persamaan $x^2+x-23$ yang maka dapat disimpulkan bahwa adalah nilai yang berbeda atau akarnya berlainan
• dari langkah 2, cobalah menyamakan nilai $P(r_1)=P(r_2)$ sesuai dengan bentuk disoal sehingga akan ditemukan nilai $b$.
• jika nilai $b$ ada, maka gantilah nilai $x$ dan $b$ pada persamaan $P(x)=(x^2+x-23).H(x)+(ax+b)$ sehingga akan diperoleh nilai $P(1)$
• jika nilai $P(1)$ ada maka sisa pembagiannya dengan 21 juga ada

--- Soal No 10 ---

Banyaknya bilangan 4 digit yang habis dibagi 3 dan memuat angka 6 adalah ...

Kunci : 1056
Petunjuk !

• dengan menggunakan deret aritmatika cobalah temukan banyak bilangan yang habis dibagi 3
• temukan bilangan yang habis dibagi 3 yang tidak memuat angka 6 dengan dengan cara mengambil angka ribuan dari pilihan angka 1,2,3,4,5,7,8,9 angka ratusan 0,1,2,3,4,5,7,8,9 angka puluhan 0,1,2,3,4,5,7,8,9 dan angka satuanya adalah salah satu dari kombinasi angka 1,4,7 atau 2,5,8 atau 0,3,9
• Gunakan konsep kaidah cacah perkalian untuk menemukan totalnya
• maka banyak bilangannya adalah selisih hasil langkah 1 dan langkah 3

untuk memperjelas langkah 2 kita bisa temukan dengan cara mancacah semua kemungkinan yang ada dengan memanfaatkan kosen sisa bagi, misalnya kita menaruh angka ribuan bilangan yang habis dibagi 3, ratusan habis dibagi 3, puluhan habis dibagi 3 maka satuan harus habis dibagi 3 juga. Atau jika kita menaruh angka ribuan yang bagis dibagi 3, ratusan habis dibagi 3, satuan haris dibagi 2 maka haruslah satuannya habis dibagi 1. Temukan semua kemungkinan kemudian terapkan kaidah cacah perkalian untuk menemukan semuanya.

--- Soal No 11 ---

Misalkan $𝐴𝐵𝐶𝐷$ segiempat tali busur dengan lingkaran luar $x$ dan $𝐵𝐶 = 𝐶𝐷$. Diagonal $𝐴𝐶$ dan $𝐵𝐷$ berpotongan di titik $𝐸$ dan diketahui bahwa $𝐵𝐸 = 7$ dan $𝐷𝐸 = 5$. Jika garis singgung lingkaran $x$ di titik $𝐴$ memotong perpanjangan diagonal $𝐵𝐷$ di titik $𝑃$, maka $\frac{𝑃𝐷}{𝑃𝐵}$ dapat dituliskan dalam bentuk $\frac{m}{n}$ dengan $𝑚, 𝑛$ bilangan asli yang relatif prima. Maka nilai dari $𝑚 + 𝑛$ adalah ... .

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 12 ---

Jika bilangan asli $x,y$ memenuhi persamaan $x(x-y)=5y-6$ maka nilai dari $x+y$ adalah ... .

Kunci :
Petunjuk !

--- Soal No 13 ---

Misalkan $a_1,a_2,a_3,...$ suatu barisan bilangan yang memenuhi bentuk $a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=\frac{n+1}{6}$ untuk setiap bilangan asli $n$, jika $a_1=1$ dan $a_2=2$ maka nilai dari $a_2023$ adalah ... .

Kunci :
Petunjuk !