Olimpiade Sains Nasional $($ OSN $)$ atau sekarang sering disebut dengan Kompetisi Sains Nasional $($ KSN $)$ merupakan hal yang sama saja, kompetisi ini diperunutkan untuk siswa yang berada di jenjang SD, SMP, dan SMA. Berikut ini merupakan soal KSN matematika SMA tahun 2022, untuk melihat Kumpulan Soal KSN Matemematika SMA yang lainnya silahkan KLIK DISINI___
Selamat menegrjakan.
Selamat menegrjakan.
Sebelum dilanjutkan mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu unutk kemajuan blog ini.
--- Soal No 1 ---
Misalkan $f(x)=a^2x+200$. Jika $f(20) + f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)$, maka berapakah nilai dari $f(1)$ ... .
Kunci : 201
Petunjuk !
1. Temukan terlebih dahulu nilai $f^{-1}(x)$
2. jika nilai $f^{-1}(x)$ dan $f(x)$ sudah ada, maka substutusi nilai $x$ sesuai dengan persamaan yang diketahui yaitu $f(20) + f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)$, sehingga akan ditemukan nilai $a$
3. Jika nilai $a$ sudah ada, maka nilai $f(1)$ dapat ditemukan.
Petunjuk !
1. Temukan terlebih dahulu nilai $f^{-1}(x)$
2. jika nilai $f^{-1}(x)$ dan $f(x)$ sudah ada, maka substutusi nilai $x$ sesuai dengan persamaan yang diketahui yaitu $f(20) + f^{-1}(22)=f^{-1}(20)+f(22)$, sehingga akan ditemukan nilai $a$
3. Jika nilai $a$ sudah ada, maka nilai $f(1)$ dapat ditemukan.
--- Soal No 2 ---
Banyaknya bilangan bulat dari 1001 sampai dengan 2022 yang habis dibagi 12 atau 18 adalah ... .
Kunci : C. 113
Petunjuk !
1. Temukan banyak bilangan yang habis dibagi 12 dengan konsep barisan aritmatika dengan nilai suku awal 1008
2. Temukan banyak bilangan yang habis dibagi 18 dengan konsep barisan aritmatika dengan nilai suku awal 1008
3. temukan banyak bilangan yang habis dibagi 12 dan 18 dengan konsep barisan dengan nilai suku awal 1008
4. maka banyak bilangan yang habis dibagi 12 atau 18 diperoleh dengan cara point 1 + point 2 - point 3
Petunjuk !
1. Temukan banyak bilangan yang habis dibagi 12 dengan konsep barisan aritmatika dengan nilai suku awal 1008
2. Temukan banyak bilangan yang habis dibagi 18 dengan konsep barisan aritmatika dengan nilai suku awal 1008
3. temukan banyak bilangan yang habis dibagi 12 dan 18 dengan konsep barisan dengan nilai suku awal 1008
4. maka banyak bilangan yang habis dibagi 12 atau 18 diperoleh dengan cara point 1 + point 2 - point 3
--- Soal No 3 ---
Diberikan segitiga ABC siku-siku di B. Titik D berada pada sisi AB dan titik E berada pada sisi AC. Diketahui bahwa DE sejajar dengan BC. Jika AD=18, DB=3 dan BC=28, maka panjang AE adalah ... .
Kunci : 30
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, kemudian dengan konsep pytagoras temukan nilai AC
2. Karena AE sejajar BC maka pada segitiga ADE dan segitiga ABC akan berkalu sebuah perbandingan yang memuat sisi AE
3. temukan perbandingannya dan panjang AE bisa ditemukan.
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, kemudian dengan konsep pytagoras temukan nilai AC
2. Karena AE sejajar BC maka pada segitiga ADE dan segitiga ABC akan berkalu sebuah perbandingan yang memuat sisi AE
3. temukan perbandingannya dan panjang AE bisa ditemukan.
--- Soal No 4 ---
banyaknya pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan $|x|+|y|+|x+y|=22$
Kunci : 66
Petunjuk !
1. soal ini bisa diselesaikan dengan konsep nilai mutlak yaitu dengan menemukan nilai fungsi di setiap definisi mutlaknya yang kemudian diambil nilai $(x,y)$ yang memenuhi atau bisa juga digambar pada kordinat sesuai dengan kuadranya masing-masing.
2. temukan nilai fungsi saat $x \geq 0$ dan $y \geq 0$
3. temukan nilai fungsi saat $x \leq 0$ dan $y \leq 0$
4. temukan nilai fungsi saat $x > 0$ dan $y < 0$, didalam definisi ini akan ada dua kasus yaitu untuk $x+y \geq 0$ dan $x+y < 0$ sehingga akan ditemukan dua fungsi
5. temukan nilai fungsi saat $x < 0$ dan $y > 0$, didalam definisi ini akan ada dua kasus yaitu untuk $x+y \geq 0$ dan $x+y < 0$ sehingga akan ditemukan dua fungsi
6. hitung banyak kemungkinan nilai $(x,y)$ pada point 2 hingga point 5
Petunjuk !
1. soal ini bisa diselesaikan dengan konsep nilai mutlak yaitu dengan menemukan nilai fungsi di setiap definisi mutlaknya yang kemudian diambil nilai $(x,y)$ yang memenuhi atau bisa juga digambar pada kordinat sesuai dengan kuadranya masing-masing.
2. temukan nilai fungsi saat $x \geq 0$ dan $y \geq 0$
3. temukan nilai fungsi saat $x \leq 0$ dan $y \leq 0$
4. temukan nilai fungsi saat $x > 0$ dan $y < 0$, didalam definisi ini akan ada dua kasus yaitu untuk $x+y \geq 0$ dan $x+y < 0$ sehingga akan ditemukan dua fungsi
5. temukan nilai fungsi saat $x < 0$ dan $y > 0$, didalam definisi ini akan ada dua kasus yaitu untuk $x+y \geq 0$ dan $x+y < 0$ sehingga akan ditemukan dua fungsi
6. hitung banyak kemungkinan nilai $(x,y)$ pada point 2 hingga point 5
--- Soal No 5 ---
Jika sisa pembagian $x^{2023}+x^{1012}+x^{506}+x^{253}+x^{127}$ oleh $x^2-1$ adalah $Ax + B$, maka nilai dari $3A + 4B$ adalah ... .
Kunci : 17
Petunjuk !
1. ingatlah konsep dari theorema siswa polinomial yang berbentuk $P(x)=Pe(x).H(x)+S(x)$ dimana $P(x)$ adalah polinomialnya yang dibagi, $Pe(x)$ adalah pembagi, $H(x)$ adalah hasil bagi dan $S(x)$ adalah sisa pembagian.
2. substitusikan informasi di soal sesuai dengan theorema sisa pada point 1. kemudian temukan akar-akar dari $Pe(x)$
3. substitusi nilai akar-akar $Pe(x)$ ke persamaan yang diperoleh pada point 2, sehingga ditemukan dua buah persamaan yang memuat variabel A dan Variabel B.
4. Eliminasi persamaan di point 3 dan selesaikan.
Petunjuk !
1. ingatlah konsep dari theorema siswa polinomial yang berbentuk $P(x)=Pe(x).H(x)+S(x)$ dimana $P(x)$ adalah polinomialnya yang dibagi, $Pe(x)$ adalah pembagi, $H(x)$ adalah hasil bagi dan $S(x)$ adalah sisa pembagian.
2. substitusikan informasi di soal sesuai dengan theorema sisa pada point 1. kemudian temukan akar-akar dari $Pe(x)$
3. substitusi nilai akar-akar $Pe(x)$ ke persamaan yang diperoleh pada point 2, sehingga ditemukan dua buah persamaan yang memuat variabel A dan Variabel B.
4. Eliminasi persamaan di point 3 dan selesaikan.
--- Soal No 6 ---
Sebuah papan catur berbentuk persegi panjang berukuran $3 \times 20$ akan ditutupi dengan 20 tromino seperti pada gambar dibawah sehingga seluruh papan catur akan tertutupi oleh tromino dan tidak ada yang tumpang tindih.
Banyak cara untuk melakukan hal tersebut adalah ... .
Kunci : 1024
Petunjuk !
1. susunan tromino yang mungkin dalam menutup papan catur ada dua macam yaitu seperti gambar berikut.
2. kemudian papan catur yang berukuran $3 \times 20$ dapat di partisi menjadi 10 sesuai dengan bentuk pada point 1 dan setiap partisi akan memiliki 2 kemungkinan.
3. maka gunakan konsep kaidah cacah dalam menyelesaikan atau menemukan banyak cara menyusunya.
Petunjuk !
1. susunan tromino yang mungkin dalam menutup papan catur ada dua macam yaitu seperti gambar berikut.
2. kemudian papan catur yang berukuran $3 \times 20$ dapat di partisi menjadi 10 sesuai dengan bentuk pada point 1 dan setiap partisi akan memiliki 2 kemungkinan.
3. maka gunakan konsep kaidah cacah dalam menyelesaikan atau menemukan banyak cara menyusunya.
--- Soal No 7 ---
Diberikan segitiga ABC seperti pada gambar berikut.
Diketahui $AB=\frac{3}{2}BC$ dan $BD=CD$. Jika luas segitiga DEC adalah 13, maka luas segitiga AFE adalah ... .
Kunci : 121
Petunjuk !
1. misalkan panjang $BC=CD=a$ maka panjang AB bisa ditemukan dalam variabel $a$
2. perhatikan juga segitiga ABC yang siku-siku di B, maka dengan teorema pytagoras panjang AC bisa ditemukan dalam bentuk $a$
3. segitiga ABC dab DEC sebangun, maka akan berlaku sebuah perbandingan dan panjang CE dan AE dalam variabel $a$ juga bisa di cari
4. gunakan teorema "perbandingan luas bangun datar yang sebangun sama dengan kuadrat panjang sisi yang bersesuaian" dimana AFE dan DEC juga sebangun.
Petunjuk !
1. misalkan panjang $BC=CD=a$ maka panjang AB bisa ditemukan dalam variabel $a$
2. perhatikan juga segitiga ABC yang siku-siku di B, maka dengan teorema pytagoras panjang AC bisa ditemukan dalam bentuk $a$
3. segitiga ABC dab DEC sebangun, maka akan berlaku sebuah perbandingan dan panjang CE dan AE dalam variabel $a$ juga bisa di cari
4. gunakan teorema "perbandingan luas bangun datar yang sebangun sama dengan kuadrat panjang sisi yang bersesuaian" dimana AFE dan DEC juga sebangun.
--- Soal No 8 ---
Untuk setiap bilangan asli $n$, Misalkan $S(n)$ menyatakan hasil penjumlahan semua digit $n$. Diberikan barisan $(a_n)$ dengan $a_1=4$ dan $a_n=(S(a_{n-1}))^2-1$ untuk $n \geq 2$. Sisa pembagian $a_1+a_2+a_3+...+a_{2022}$ oleh 21 adalah ... .
Kunci : 8
Petunjuk !
1. Temukan nilai $a_2$ hingga $a_8$ maka akan ditemukan sebuah pola yang unik dari $a_5$ dan seterusnya. dimana bentuk $a_n$ dengan $n$ ganjil akan sama dengan 63 dan untuk $n$ genap maka nilainya 80.
2. temukan juga banyak $n$ genap dan $n$ ganjil dari $a_5$ hingga $a_{2022}$, maka akan ditemukan pengali untuk menemukan jumlah bilangan yang dimaksudkan.
3. temukan sisa untuk deret bilangan 63, 80 serta jumlah $a_1+a_2+a_3$ saat dibagi 21
4. jumlahkan setiap siswa yang diperoleh dari langkah 3, kemudian kembali bagi dengan 21 maka sisa pembagian inilah yang dimaksudkan oleh soalnya.
5. jika memungkikan terapkanlah bilangan modulu.
Petunjuk !
1. Temukan nilai $a_2$ hingga $a_8$ maka akan ditemukan sebuah pola yang unik dari $a_5$ dan seterusnya. dimana bentuk $a_n$ dengan $n$ ganjil akan sama dengan 63 dan untuk $n$ genap maka nilainya 80.
2. temukan juga banyak $n$ genap dan $n$ ganjil dari $a_5$ hingga $a_{2022}$, maka akan ditemukan pengali untuk menemukan jumlah bilangan yang dimaksudkan.
3. temukan sisa untuk deret bilangan 63, 80 serta jumlah $a_1+a_2+a_3$ saat dibagi 21
4. jumlahkan setiap siswa yang diperoleh dari langkah 3, kemudian kembali bagi dengan 21 maka sisa pembagian inilah yang dimaksudkan oleh soalnya.
5. jika memungkikan terapkanlah bilangan modulu.
--- Soal No 9 ---
Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x > y> 0$, jika $x+200 \leq \sqrt{x^2+y^2+400(x+y)}$ maka nilai $y$ yang memenuhi adalah ... .
Kunci : 200
Petunjuk !
1. kudratkan kedua ruas bentuk pada soal, kemudian sederhanakan bentuknya sehingga menyerupai bentuk persamaan kuadrat
2. faktorkan bentuk yang diperoleh, sehingga akan diperoleh bentuk kuadrat dengan akar kembar.
3. gunakan kenyataan bahwa "untuk setiap bilangan kuadrat nilainya tidak mungkin negatif", maka dengan pernyataan ini soal dapat diselesaikan.
Petunjuk !
1. kudratkan kedua ruas bentuk pada soal, kemudian sederhanakan bentuknya sehingga menyerupai bentuk persamaan kuadrat
2. faktorkan bentuk yang diperoleh, sehingga akan diperoleh bentuk kuadrat dengan akar kembar.
3. gunakan kenyataan bahwa "untuk setiap bilangan kuadrat nilainya tidak mungkin negatif", maka dengan pernyataan ini soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 10 ---
Jika $x^2+42x$ merupakan pangkat tiga dari suatu bilangan prima maka nilai $x$ adalah ... .
Kunci : 7 dan -49
Petunjuk !
1. karena pangkat 3 bilangan prima, maka Ambil terlebih dahulu nilai $x=1$. dari hal ini diperoleh bahwa nilai x tidak mungkin sama dengan 1
2. faktorkan bentuk $x^2+42x$, dan misalkan bilangan prima yang dimaksud adalah $a$ maka akan diperoleh $x(x+42)=a^3$
3. dari pernyataan poit 2 diperoleh, $p|x$ dan $p|(x+42)$ maka dari kedua pernyataan itu akan berlaku $p|42$
4. ambil semua faktor dari 42, kemudian masukan nilai yang diperoleh ke persamaan pada point 2. pilih nilai faktor dari 42 yang memenuhi
Mencoba : coba gunakan cara yang sama untuk menjawab bahwa $7x^2+78x$ juga pangkat 3 daeri suatu bilangan prima.
Petunjuk !
1. karena pangkat 3 bilangan prima, maka Ambil terlebih dahulu nilai $x=1$. dari hal ini diperoleh bahwa nilai x tidak mungkin sama dengan 1
2. faktorkan bentuk $x^2+42x$, dan misalkan bilangan prima yang dimaksud adalah $a$ maka akan diperoleh $x(x+42)=a^3$
3. dari pernyataan poit 2 diperoleh, $p|x$ dan $p|(x+42)$ maka dari kedua pernyataan itu akan berlaku $p|42$
4. ambil semua faktor dari 42, kemudian masukan nilai yang diperoleh ke persamaan pada point 2. pilih nilai faktor dari 42 yang memenuhi
Mencoba : coba gunakan cara yang sama untuk menjawab bahwa $7x^2+78x$ juga pangkat 3 daeri suatu bilangan prima.
--- Soal No 11 ---
Di Dalam Suatu ruangan terdapat 12 kursi yang di susun dalam tiga baris, sehingga baris pertama memuat 3 kursi, baris kedua memuat 4 kursi dan baris terakhir memuat 5 kursi. Dua belas siswa termasuk Azka dan budi akan menempati kursi-kursi tersebut, Jika banyaknya cara menempati sehingga Azka dan Budi di baris pertama adalah A, maka berapakah nilai dari $\frac{A}{9!}$...
Kunci : 60
Petunjuk !
1. Buatlah ilustrasi tiap baris kursi sesuai dengan soal.
2. asumsikan Azka dan budi duduk di barisan pertama, sehingga akan ada 1 orang lagi yang munngkin duduk bersam azka dan budi. Dari sini akan diperoleh banyak cara menyusu anak di baris pertama.
3. untuk di baris kedua dan ketiga tidaka da syrat untuk duduk, maka banyak cara anak yang lain duduk di barisan kedua juga bisa ditemukan dengan konsep faktorial.
4. dari point 1,2,3 maka nilai $A$ bisa dicari.
Petunjuk !
1. Buatlah ilustrasi tiap baris kursi sesuai dengan soal.
2. asumsikan Azka dan budi duduk di barisan pertama, sehingga akan ada 1 orang lagi yang munngkin duduk bersam azka dan budi. Dari sini akan diperoleh banyak cara menyusu anak di baris pertama.
3. untuk di baris kedua dan ketiga tidaka da syrat untuk duduk, maka banyak cara anak yang lain duduk di barisan kedua juga bisa ditemukan dengan konsep faktorial.
4. dari point 1,2,3 maka nilai $A$ bisa dicari.
--- Soal No 12 ---
Diketahui segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku dengan luas 63. Misalkan $R$ dan $r$ berturut-turut jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Jika $R+r=12$ maka panjang sisi miring ABC adalah ... .
Kunci : 18
Petunjuk !
1. Gambarlah segitiga ABC dengan $a,b$ adalah sisi penyiku dan $c$ adalah sisi miring
2. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep luas segtiga $L=\frac{a.b}{2}$
3. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep pytagoras.
4. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga dimana $R=\frac{abc}{4L}$ dan $r=\frac{L}{s}$ dengan $s$ adalah setengah keliling.
5. dari point 2,3,4 gunakan metode substitusi sehingga nilai $c$ bisa ditemukan.
6. Catatan. jika sudah ketemu semua persamaan, mulailah bekerja dari informasi $R+r=12$
Petunjuk !
1. Gambarlah segitiga ABC dengan $a,b$ adalah sisi penyiku dan $c$ adalah sisi miring
2. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep luas segtiga $L=\frac{a.b}{2}$
3. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep pytagoras.
4. Temukan persamaan dalam $a,b,c$ dengan konsep jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga dimana $R=\frac{abc}{4L}$ dan $r=\frac{L}{s}$ dengan $s$ adalah setengah keliling.
5. dari point 2,3,4 gunakan metode substitusi sehingga nilai $c$ bisa ditemukan.
6. Catatan. jika sudah ketemu semua persamaan, mulailah bekerja dari informasi $R+r=12$
--- Soal No 13 ---
Jika $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+B}{3^{k+1}}=20$, maka nilai $B$ adalah ... .
Kunci : 117
Petunjuk !
1. ingatlah konsep deret tak hingga, kemudian terapkan pada bentuk $x^m+x^{m+1}+x^{m+2}...$ maka akan diperoleh sebuah persamaan.
2. ubahlah bentuk notasi zigma dengan sifat-sifat notasi sigma, dimana $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+B}{3^{k+1}}=2. \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{B}{3^{k+1}}$ kemudian bentuk $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}$ dapat di ubah menjadi $\sum_{k=1}^{\infty }{k}{x^{k+1}}$
4. Modifikasi bentuk $\sum_{k=1}^{\infty }{k}{x^{k+1}}$ sehingga diperoleh bentuk
$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty }k.x^{k+1} &= x^2+2.x^3+3.x^4+4.x^5+5.x^6+6x^7+...\\ &= (x^2+x^3+x^4+...)+(x^3+x^4+x^5+...)+(x^4+x^5+...)+...\\ \end{align*}$
5. gunakan konsep point 1 untuk menghitung hasil setiap kelompok dalam bentuk pada point 4 sehingga ditemukan kenyataan bawha $\sum_{k=1}^{\infty }k.x^{k+1}=\frac{x^2}{(1-x)^2}$ kemudian dengan mengambil $x=\frac{1}{3}$ maka bentuk pada soal bisa diselesaikan.
6. gunakan konsep deret tak hingga dan dikombinasikan dengan bentuk pada point 5 untuk menghitung hasil persamaan $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+B}{3^{k+1}}=2. \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{B}{3^{k+1}}$
Petunjuk !
1. ingatlah konsep deret tak hingga, kemudian terapkan pada bentuk $x^m+x^{m+1}+x^{m+2}...$ maka akan diperoleh sebuah persamaan.
2. ubahlah bentuk notasi zigma dengan sifat-sifat notasi sigma, dimana $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+B}{3^{k+1}}=2. \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{B}{3^{k+1}}$ kemudian bentuk $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}$ dapat di ubah menjadi $\sum_{k=1}^{\infty }{k}{x^{k+1}}$
4. Modifikasi bentuk $\sum_{k=1}^{\infty }{k}{x^{k+1}}$ sehingga diperoleh bentuk
$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty }k.x^{k+1} &= x^2+2.x^3+3.x^4+4.x^5+5.x^6+6x^7+...\\ &= (x^2+x^3+x^4+...)+(x^3+x^4+x^5+...)+(x^4+x^5+...)+...\\ \end{align*}$
5. gunakan konsep point 1 untuk menghitung hasil setiap kelompok dalam bentuk pada point 4 sehingga ditemukan kenyataan bawha $\sum_{k=1}^{\infty }k.x^{k+1}=\frac{x^2}{(1-x)^2}$ kemudian dengan mengambil $x=\frac{1}{3}$ maka bentuk pada soal bisa diselesaikan.
6. gunakan konsep deret tak hingga dan dikombinasikan dengan bentuk pada point 5 untuk menghitung hasil persamaan $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2k+B}{3^{k+1}}=2. \sum_{k=1}^{\infty }\frac{k}{3^{k+1}}+\sum_{k=1}^{\infty }\frac{B}{3^{k+1}}$
--- Soal No 14 ---
Banyaknya tupel $(w_1,w_2,w_3,...,w_7)$ yang memenuhi persamaan $w_1+w_2+w_3+...+w_8=148$ dengan $20 \leq w_1,w_2,w_3,...,w_7 \leq 22$ adalah ... .
Kunci : 357
Petunjuk !
1. perhatikan bahwa nilai $(w_1,w_2,w_3,...,w_7)$ minimal 20 dan maksimal 22, kemudian $w_1+w_2+w_3+...+w_8=148$, maka jika diambil nilai $w_1=w_2=w_3=...=w_7=20$, maka akan tersisa 8 angka yang membuat nilai $(w_1,w_2,w_3,...,w_7)$ minimal 20 dan maksimal 22
2. temukan semua kemungkinan yang ada, dimana akan ada 4 kemungkinan yaitu
a. 4 anggota berjumlah 22 dan 3 anggota berjumlah 20
b. 3 anggota berjumlah 22, 2 anggota berjumlah 21 dan 2 anggota berjumlah 20
c. 2 anggota berjumlah 22, 4 anggota berjumlah 21 dan 1 anggota berjumlah 20
d. 1 anggota berjumlah 22, dan 6 anggota berjumlah 21
3. dengan konsep permutasi berulang, maka temukan semua kemungkinan susunan cara semua kemungkinan pada point 2
4. jumlahkan point 2a hingga 2d.
Petunjuk !
1. perhatikan bahwa nilai $(w_1,w_2,w_3,...,w_7)$ minimal 20 dan maksimal 22, kemudian $w_1+w_2+w_3+...+w_8=148$, maka jika diambil nilai $w_1=w_2=w_3=...=w_7=20$, maka akan tersisa 8 angka yang membuat nilai $(w_1,w_2,w_3,...,w_7)$ minimal 20 dan maksimal 22
2. temukan semua kemungkinan yang ada, dimana akan ada 4 kemungkinan yaitu
a. 4 anggota berjumlah 22 dan 3 anggota berjumlah 20
b. 3 anggota berjumlah 22, 2 anggota berjumlah 21 dan 2 anggota berjumlah 20
c. 2 anggota berjumlah 22, 4 anggota berjumlah 21 dan 1 anggota berjumlah 20
d. 1 anggota berjumlah 22, dan 6 anggota berjumlah 21
3. dengan konsep permutasi berulang, maka temukan semua kemungkinan susunan cara semua kemungkinan pada point 2
4. jumlahkan point 2a hingga 2d.
--- Soal No 15 ---
Diberikan segitiga siku-siku sama kaki ABC dengan BC=AB. Misalkan L titik tengah BC dan P pada sisi AC sehingga BP tegak lurus AL, jika $CP=20\sqrt{2}$ maka panjang AB adalah ... .
Kunci : 60
Petunjuk !
1. Melalui P buatlah garis yang tegak lurus BC dan misalkan memotong di titik Q
2. melalui informasi $CP=20\sqrt{2}$ maka dapat disimpulkan PQ = CQ
3. misalkan panjang sisi LB=LC=a, dan temukan semua sisi yang lain dalam variabel a, kemudian temukan pula kenyataan bahwa segitia BDP sebangun dengan segitiga BAL, sehingga dari sini akan ditemukan sebuah perbandingan
4. selesaikan perbandingan pada point 3 dan temukan nilai a.
Petunjuk !
1. Melalui P buatlah garis yang tegak lurus BC dan misalkan memotong di titik Q
2. melalui informasi $CP=20\sqrt{2}$ maka dapat disimpulkan PQ = CQ
3. misalkan panjang sisi LB=LC=a, dan temukan semua sisi yang lain dalam variabel a, kemudian temukan pula kenyataan bahwa segitia BDP sebangun dengan segitiga BAL, sehingga dari sini akan ditemukan sebuah perbandingan
4. selesaikan perbandingan pada point 3 dan temukan nilai a.
--- Soal No 16 ---
Misalkan $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan asli. Jika $FPB(m,n)=3$ dan $FPB(2m,5n)=30$, maka temukan $FPB(15m,6n)$...
Kunci : 9
Petunjuk !
1. Perhatikan $FPB(m,n)=3$ maka jika disajikan dalam bentuk faktorisasi prima akan diperoleh $m=3.a$ dan $n=3.b$ dengan $a$ dan $b$ memiliki faktorisasi prima yang berebeda.
2. kemudian perhatikan juga $FPB(2m,5n)=30$ maka
$\begin{align*} FPB(2m,5n)&= 30\\ FPB(2(3a),5(3b))&= 2.3.5\\ \end{align*}$
3. maka dari pernyataan point 2 agar FPBnya mau 30, haruslah $a=5x$ dan $b=2y$ sehingga akibatnya $FPB(15m,5n)$ bisa ditemukan dengan mengganti dan mengambil $m$ dan $n$ pada point 1, kemudian ditemukan dalam variabel $a$ dan $b$ kemudian ganti dan ambil $a$ dab $b$ pada point 2. sehingga akan diperoleh bentuk $FPB(15m,5n)=FPB(3^2.5^2.c, 2^2.3^2.d)$
4. dari langkah 3, soal dapat diselesaikan.
5. Coba cermati apakah soal ini bisa diselesaikan dengan mengambil nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi syarat $FPB(m,n)=3$ dan $FPB(2m,5n)=30$ kemudian hitung $FPB(15m,5n)$
Petunjuk !
1. Perhatikan $FPB(m,n)=3$ maka jika disajikan dalam bentuk faktorisasi prima akan diperoleh $m=3.a$ dan $n=3.b$ dengan $a$ dan $b$ memiliki faktorisasi prima yang berebeda.
2. kemudian perhatikan juga $FPB(2m,5n)=30$ maka
$\begin{align*} FPB(2m,5n)&= 30\\ FPB(2(3a),5(3b))&= 2.3.5\\ \end{align*}$
3. maka dari pernyataan point 2 agar FPBnya mau 30, haruslah $a=5x$ dan $b=2y$ sehingga akibatnya $FPB(15m,5n)$ bisa ditemukan dengan mengganti dan mengambil $m$ dan $n$ pada point 1, kemudian ditemukan dalam variabel $a$ dan $b$ kemudian ganti dan ambil $a$ dab $b$ pada point 2. sehingga akan diperoleh bentuk $FPB(15m,5n)=FPB(3^2.5^2.c, 2^2.3^2.d)$
4. dari langkah 3, soal dapat diselesaikan.
5. Coba cermati apakah soal ini bisa diselesaikan dengan mengambil nilai $m$ dan $n$ yang memenuhi syarat $FPB(m,n)=3$ dan $FPB(2m,5n)=30$ kemudian hitung $FPB(15m,5n)$
--- Soal No 17 ---
Diketahui $a,b,c,d$ bilangan real positif yang memenuhi $c>c$ dan $c > b$ dan $3a^2+3b^2=3c^2+3d^2=4ac+4bd$, maka temukanlah nilai dari $\frac{12(ab+cd}{ad+bc}$....
Kunci :
Petunjuk !
Petunjuk !
--- Soal No 18 ---
Misalkan A adalah himpunan semua bilangan 8 digit yang digit-digitnya adalah 1,2 atau 3 dan memuat paling sedikit 1 digit 2. Banyaknya bilangan N di A sehingga setiap digit 2 di n dapat diapit oleh digit 1 dan 3 adalah ...
Kunci : 560
Petunjuk !
1. ada beberapa kemungkinan bentuk bilangan yang dapat dibuat, diantaranya.
a. memuat paling sedikit 1 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 384
b. memuat paling sedikit 2 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 160
c. memuat paling sedikit 3 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 16
2. untuk angka 2 sebanyak 2 digit atau 3 digit akan ada beberapa kemungkinan, misal menaruh angka 2 mungkin tempatnya selang-seling atau angka 2 berjarak lebih dari 1 kotak. hal yang sama juga berlaku untuk paling sedikit 3 angka 2
3. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinannya.
Petunjuk !
1. ada beberapa kemungkinan bentuk bilangan yang dapat dibuat, diantaranya.
a. memuat paling sedikit 1 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 384
b. memuat paling sedikit 2 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 160
c. memuat paling sedikit 3 angka 2 kejadian ini ada sebanyak 16
2. untuk angka 2 sebanyak 2 digit atau 3 digit akan ada beberapa kemungkinan, misal menaruh angka 2 mungkin tempatnya selang-seling atau angka 2 berjarak lebih dari 1 kotak. hal yang sama juga berlaku untuk paling sedikit 3 angka 2
3. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinannya.
--- Soal No 19 ---
Diberikan suatu belah ketupat ABCD dan sebuah titik E di dalamnya sehingga $AE=BE$. jika $\angle BAE = 12^o$ dan $\angle DAE = 72^o$, maka besar $\angle CDE$ adalah ... .
Kunci : 66
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal pada sebuah gambar. kemudian perhatikan panjang sisi AE dan BE sama. amak dari pernyataan ini akan ditemukan semua besar sudut pada segitiga ABE.
2. karena besar sudut BAE dan DAE sudah ada, maka besar sudut ADC juga ditemukan dengan kenyataan bawah besar sudut dalam belah ketupagt adalah 360 dan setiap sudut yang berhadapan besarnya sama.
3. ambil sebuah titik F, segingga DF = AF = AE = BE sehingga mengakibatkan EF tegak lurus dengan AC dan AEF adalah segitiga sama sisi, maka semua sudut pada AEF bisa ditemukan. begitupula pada segitiga AFD semua sudut bisa ditemukan karena kongruen dengan segitiga BAE.
4. kemudian perhatikan juga segitiga DEF dimana sisi EF=FD, maka besar semua sudut dalam segitiga ini bisa ditemukan. Akibatnya besar sudut EDB juga bisa dicari dan akhirnya besar sudut CDE juga bisa ditemukan dengan mengambil garis bantu diagonal BD.
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal pada sebuah gambar. kemudian perhatikan panjang sisi AE dan BE sama. amak dari pernyataan ini akan ditemukan semua besar sudut pada segitiga ABE.
2. karena besar sudut BAE dan DAE sudah ada, maka besar sudut ADC juga ditemukan dengan kenyataan bawah besar sudut dalam belah ketupagt adalah 360 dan setiap sudut yang berhadapan besarnya sama.
3. ambil sebuah titik F, segingga DF = AF = AE = BE sehingga mengakibatkan EF tegak lurus dengan AC dan AEF adalah segitiga sama sisi, maka semua sudut pada AEF bisa ditemukan. begitupula pada segitiga AFD semua sudut bisa ditemukan karena kongruen dengan segitiga BAE.
4. kemudian perhatikan juga segitiga DEF dimana sisi EF=FD, maka besar semua sudut dalam segitiga ini bisa ditemukan. Akibatnya besar sudut EDB juga bisa dicari dan akhirnya besar sudut CDE juga bisa ditemukan dengan mengambil garis bantu diagonal BD.
--- Soal No 20 ---
diketahui $x,y,z$ adalah bilangan bulat yang memenuhi $x^2y+y^2z+z^2x-20=xy^2+yz^2+zx^2-22=3xyz$ maka nilai terbesar $x+y+z$ adalah ... .
Kunci : 21
Petunjuk !
1. Ambil persamaan $x^2y+y^2z+z^2x-20=xy^2+yz^2+zx^2-22$ kemudian jabarkan sehingga memperoleh persamaan $(x-y)(y-z)(z-x)=2$
2. maka karena 2 adalah prima maka faktornya hanyalah 2 dan 1, maka mengakibatkan salah satu dari bentuk $(x-y),(y-z),(z-x)$ akan bernilai 2 dan yang lainya -1.
3. dengan kenyataan pada point 2 ambil salah satu dari bentuk $(x-y),(y-z),(z-x)$ sama dengan 2 dan yang lainnya sama dngan -1. kemudian temukan persamaan yang membuat bentuk $xy^2+yz^2+zx^2-22=3xyz$ menjadi satu variabel. dan kemudian terapkan konsep kesamaan polinomial untuk menemukan salah satu variabel yang dimaksudkan.
4. hati-hati menemukan penjabaran bentuk pada point 1.
Petunjuk !
1. Ambil persamaan $x^2y+y^2z+z^2x-20=xy^2+yz^2+zx^2-22$ kemudian jabarkan sehingga memperoleh persamaan $(x-y)(y-z)(z-x)=2$
2. maka karena 2 adalah prima maka faktornya hanyalah 2 dan 1, maka mengakibatkan salah satu dari bentuk $(x-y),(y-z),(z-x)$ akan bernilai 2 dan yang lainya -1.
3. dengan kenyataan pada point 2 ambil salah satu dari bentuk $(x-y),(y-z),(z-x)$ sama dengan 2 dan yang lainnya sama dngan -1. kemudian temukan persamaan yang membuat bentuk $xy^2+yz^2+zx^2-22=3xyz$ menjadi satu variabel. dan kemudian terapkan konsep kesamaan polinomial untuk menemukan salah satu variabel yang dimaksudkan.
4. hati-hati menemukan penjabaran bentuk pada point 1.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar