Integral Substitusi dan Integral Parsial

jika pada pembelajaran sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana cara mengintegralkan suatu fungsi dimana fungsi yang kita integralkan tidak merupakan perkalian dua fungsi atau lebih. Nah pada pembelajaran kali ini kita akan mempelajari sebuah metode integral yang akan sangat efektif untuk menyelesaikan suatu perkalian fungsi dengan salah satu fungsinya memiliki pangkat tinggi. Kedua metode ini disebut dengan metode parsial dan metode substitusi dimana keduanya memiliki perbedaan yang signifikan. Metode substitusi umumnya dapat digunakan saat salah satu fungsinya merupakan kelipatan fungsi yang lain, sedangkan metode parsiak adalah kebalikanya. Untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasan berikut ini.

Jika diketahui sebuah fungsi $f(x)=g(x).h(x)$ maka integral $f(x)$ dapat ditemukan dengan dua metode yaitu.
Metode Substitusi

Metode ini dapat dilakukan dengan mengikuti langkah sebagai berikut.

• Pilih fungsi $f(x)$ atau $g(x)$ yang memuat pangkat lebih tinggi dan turunannya adalah kelipatan fungsi lainnya, kemudian misalkan dengan $u$
• Turukan fungsi $u$, kemudian nyatakan turunan fungsinya ke bentuk $dx=...$
• Kembali lihat ke soal, kemudian ganti $f(x)$ dengan $u$ dan $dx$ dengan hasil pada point 2. jika pada langkah ini fungsi $f(x)$ sudah dalam variabel $u$ maka silahkan selesaikan dengan konsep integral, jika belum periksa kembali langkahmu
• kembalikan nilai $u$ menjadi fungsi yang dimisalkan dan tambahkan $c$ pada hasil akhirnya.

Metode Parsial

Metode ini dapat dilakukan dengan mengikuti langkah sebagai berikut.

• Pilih fungsi $f(x)$ atau $g(x)$ yang jika terus diturunkan sama dengan nol
• buatlah 2 kolom tabel, dimana kolom pertama judulnya turunan dan kolom kedua judulnya integral. Kemudian tempatkan fungsi yang jika terus diturunkan mungkin nol pada kolom pertama
• integralkan pula fungsi pada kolom integral sesuai dengan banyak hasil turunan pada kolom turunan, kemudian kalikan hasil turunan pada baris 1 dengan "+" baris kedua dengan "-" dan seterusnya secara selang seling
• kalikan lagi nilai pada baris pertama pada kolom turunan dengan baris kedua pada kolom integral, kemudian kalikan juga nilai pada baris kedua pada kolom turunan dengan nilai baris ketiga pada kolom integral, lakukan seterusnya hingga habis
• Sederhanakan perhitungan sehingga ditemukan hasil integral yang paling sederhana

Untuk lebih memahami materi Integral Substitusi dan Integral Parsial silahkan perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Coba temukan hasil integral $\int x(x+4)^6dx$ ... .

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan metode parsial maupun metode substitusi, sehingga pada pembahasan kali ini akan kita coba untuk menyelesaikan dengan metode parsial. Kita akan buat tabel seperti berikut.

kemudian kalikan hasil di tabel sesuai dengan tanda dan anak panahnya. sehingga akan diperoleh.
$\begin{align*} \int x(x+4)^6dx & = x.\frac{1}{6}(x+4)^6+(-1).\frac{1}{42}(x+4)^7\\ & = \frac{1}{6}(x+4)^6\left [ x-\frac{1}{7}(x+4) \right ] \\ & = \frac{1}{6}(x+4)^6\left [ \frac{7x}{7}-\frac{1}{7}(x+4) \right ] \\ & = \frac{1}{6}(x+4)^6\left [ \frac{1}{7}(7x-x+4) \right ] \\ & = \frac{1}{6}(x+4)^6\left [ \frac{6x+4}{7}\right ] \\ & = \frac{1}{42}(x+4)^6.2(3x+2) \\ & = \frac{1}{21}(x+4)^6.(3x+2) \\ \end{align*}$

maka hasil integralnya adalah $\frac{1}{21}(x+4)^6.(3x+2)+C$

--- Soal No 2 ---

Coba temukan hasil integral $\int x^3(x^4+5)^3dx$ ... .

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan metode psubstitusi karena salah satu fungsinya merupakan fungsi yang lain, sehingga kita akan misalkan.
$\begin{align*} u & = x^4+5\\ du & = 4x^3 dx\\ dx & = \frac{du}{4x^3}\\ \end{align*}$

setelah diperoleh nilai $du$ kita akan kembali lihat soalnya dan kita ubah variabel $x$ menjadi variabel $u$ semuanya sehingga akan diperoleh
$\begin{align*} \int x^3(x^4+5)^3 dx & = \int x^3(u)^3 \frac{du}{4x^3}\\ & = \int (u)^3 \frac{du}{4}\\ & = \frac{1}{4} (u)^4 \frac{1}{4}+C\\ & = \frac{1}{16} (u)^4 + C\\ & = \frac{1}{16} ( x^4+5)^4 + C\\ \end{align*}$

maka hasil integralnya adalah $\frac{1}{16} ( x^4+5)^4 + C$

--- Soal No 3 ---

Coba temukan hasil integral $\int \frac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7} dx$ ... .

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan metode psubstitusi karena salah satu fungsinya merupakan fungsi yang lain, sehingga kita akan misalkan.
$\begin{align*} u & = 3x^2-2x+7\\ du & = 6x-2 dx\\ du & = 2(3x-1) dx\\ dx & = \frac{du}{2(3x-1)}\\ \end{align*}$

setelah diperoleh nilai $du$ kita akan kembali lihat soalnya dan kita ubah variabel $x$ menjadi variabel $u$ semuanya sehingga akan diperoleh
$\begin{align*} \int \frac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7} dx & = \int \frac{3x-1}{(u)^7} \frac{du}{2(3x-1)} \\ & = \int \frac{1}{(u)^7} \frac{du}{2} \\ & = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(u)^7} du \\ & = \frac{1}{2} \int (u)^{-7} du \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{-6} \int (u)^{-7+1} +C \\ & = \frac{1}{2}.\frac{-1}{6} \int (u)^{-6} +C \\ & = -\frac{1}{12} \int \frac{1}{(u)^6} +C \\ & = -\frac{1}{12} \int \frac{1}{(3x^2-2x+7)^6} +C \\ \end{align*}$

maka hasil integralnya adalah $\frac{1}{16} ( x^4+5)^4 + C$