Bilangan modulo dan Sifat-Sifat Bilangan Modulo

Bilangan modulo bisa dikaitkan dengan konsep keterbagian pada teori bilangan, misal jika kita membagi 15 oleh 2 maka hasilnya dengan konsep keterbagian adalah 7 sisa 1 atau dapat disajikan dalam bentuk $15=2 \times 7 + 1$, jika bentuk ini disajikan ke dalam bentuk modulo maka diperoleh $15 \equiv 1 \ mod \ 2$. Contoh kongruensi bilangan modulo lainnya yang bisa dibuat adalah sebagai berikut.

a. $23 \equiv 3 \ mod \ 5$ artinya 23 dibagi 5 memiliki sisa 3

b. $21 \equiv 0 \ mod \ 7$ artinya 21 habis dibagi oleh 7

c. $13 \equiv 1\ mod \ 4$ artinya 13 dibagi 4 memiliki sisa 1

dari penjelasan diatas, maka ada banyak sifat modulo yang bisa kita terapkan diantaranya adalah sebagai berikut.

Sifat-Sifat Bilangan Modulo

Sifat 1
a. $a \equiv a \ ( mod \ n)$
b. $(a+b) \ mod \ n = (a \ ( mod \ n+b \ ( mod \ n)$
c. $(a.b) \ mod \ n = (a \ ( mod \ n)\times(b \ ( mod \ n))$
d. $a^k \ mod \ n = ( a \ mod \ n)^k$, dengan $k$ adalah bilangan mulat positif
e. Jika $a \equiv b \ (mod \ n)$ maka $b \equiv (a \ mod \ n)$
f. Jika $a \equiv b \ (mod \ n)$ dan $b \equiv c \ (mod \ n)$ maka $a \equiv c \ (mod \ n)$
g. Jika $a \equiv b \ (mod \ n)$ dan $c \equiv d \ (mod \ n)$ maka $(a+c) \equiv (b+d) \ (mod \ n)$
h. Jika $a \equiv b \ (mod \ n)$ dan $c \equiv d \ (mod \ n)$ maka $(a.c) \equiv (b.d) \ (mod \ n)$
i. jika $a \equiv b \ ( mod \ n)$ maka $(a+c) \equiv (b+c) \ ( mod \ n)$
j. jika $a \equiv b \ ( mod \ n)$ maka $(a.c) \equiv (b.c) \ ( mod \ n)$
k. jika $a \equiv b \ ( mod \ n)$ maka $a^k \equiv b^k \ ( mod \ n)$ dengan $k$ adalah suatu bilangan bulat positif sembarang.

Sifat 2
a. jika $a.c \equiv b.c \ ( mod \ n)$ maka $a \equiv b \ ( mod \ \frac {n}{d})$ dengan $d=FPB(c,n)$.
b. jika $a.c \equiv b.c \ ( mod \ n)$ maka $a \equiv b \ ( mod \ n)$ dengan $FPB(c,n)=1$.

Sifat 3
$(a.n+b)^m \equiv b^m \ mod \ n$

Untuk lebih memahami konsep modulo diatas, maka silahkan simak dan pelajari dengan baik beberapa contoh soal berikut.

CONTOH SOAL

--- Soal No 1 ---

Temukanlah sisa pembagian $18^2$ oleh 5 ... .

dengan menggunakan sifat 3, maka akan diperoleh.
$\begin{align*} 18^2 &= (3.5+3)^2\\ 18^2 &= 3^2 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 9 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 4 \ mod \ 5 \end{align*}$
maka sisa pembagian $18^2$ oleh 5 adalah 4

--- Soal No 2 ---

Temukanlah sisa pembagian dari $17^{20}$ dibagi 5 ... .

dengan menggunakan sifat 3, maka akan diperoleh.
$\begin{align*} 17^{20} &= (3.5+2)^{20}\\ 17^{20} &= (3.5+2)^{20} \ mod \ 5\\ 17^{20} &= 2^{20} \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2^5)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (6.5+2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 16 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 1 \ mod \ 5 \\ \end{align*}$
maka sisa pembagian $17^{20}$ oleh 5 adalah 1

--- Soal No 3 ---

Temukanlah angka terakhir dari $3^3 + 13^{13} + 23^{23} + 33^{33} + ... +2003^{2003}$ ... .

dengan menggunakan sifat 1.b, dan sifat 3 serta modulokan 10 untuk menemukan angka terakhirnya akan diperoleh.
$\begin{align*} &= 3^3 \ mod \ 10 + 13^{13} \ mod \ 10 + 23^{23} \ mod \ 10 + 33^{33} \ mod \ 10 + ... +2003^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 27 \ mod \ 10 + (10+3)^{13} \ mod \ 10 + (2.10 + 3)^{23} \ mod \ 10+ (3.10+3)^{33} \ mod \ 10+ ... + (2000.10 + 3)^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 7 + 3^{13} \ mod \ 10 + 3^{23} \ mod \ 10 + 3^{33} \ mod \ 10 + ... + 3^{2003} \ mod \ 10 \\ &= (7 + 3 + 7 + 3 + ... + 3) \ mod \ 10 \\ &= 0 \ mod \ 10 \end{align*}$
maka sisa pembagianya adalah 0

--- Soal No 4 ---

Sederhanakan bentuk modulo berikut $2x_1=2 \ mod \ 3$ ... .

Dalam hal ini kita akan menggunakan sifat 2b dimana jika $a.c \equiv b.c \ ( mod \ n)$ maka $a \equiv b \ ( mod \ n)$ dengan $FPB(c,n)=1$, sehingga kita harus bisa menemukan bilangan $c$ yang memenuhi persamaan disoal, sehingga.
$\begin{align*} 2x_1 &= 2 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 8 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 2.4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 1 \ mod \ 3 \\ \end{align*}$

Untuk lebih memahami konsep bilangan modulu, cobalah selesaikan beberpa permasalahan berikut ini

LATIHAN SOAL

1	Coba temukan sisa pembagian $17^{2024}$ oleh 5 ...
2	Coba temukan sisa pembagian $567^{890}$ oleh 10 ...