Bilangan modulo bisa dikaitkan dengan konsep keterbagian pada teori bilangan, misal jika kita membagi 15 oleh 2 maka hasilnya dengan konsep keterbagian adalah 7 sisa 1 atau dapat disajikan dalam bentuk $15=2 \times 7 + 1$, jika bentuk ini disajikan ke dalam bentuk modulo maka diperoleh $ 15 \equiv 1 \ mod \ 2$. Contoh kongruensi bilangan modulo lainnya yang bisa dibuat adalah sebagai berikut.
a. $ 23 \equiv 3 \ mod \ 5 $ artinya 23 dibagi 5 memiliki sisa 3
b. $21 \equiv 0 \ mod \ 7$ artinya 21 habis dibagi oleh 7
c. $13 \equiv 1\ mod \ 4$ artinya 13 dibagi 4 memiliki sisa 1
dari penjelasan diatas, maka ada banyak sifat modulo yang bisa kita terapkan diantaranya adalah sebagai berikut.
Untuk lebih memahami konsep modulo diatas, maka silahkan simak dan pelajari dengan baik beberapa contoh soal berikut.
CONTOH SOAL
--- Soal No 1 ---
Temukanlah sisa pembagian $18^2$ oleh 5 ... .
dengan menggunakan sifat 3, maka akan diperoleh.
$\begin{align*} 18^2 &= (3.5+3)^2\\ 18^2 &= 3^2 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 9 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 4 \ mod \ 5 \end{align*}$
maka sisa pembagian $18^2$ oleh 5 adalah 4
$\begin{align*} 18^2 &= (3.5+3)^2\\ 18^2 &= 3^2 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 9 \ mod \ 5\\ 18^2 &= 4 \ mod \ 5 \end{align*}$
maka sisa pembagian $18^2$ oleh 5 adalah 4
--- Soal No 2 ---
Temukanlah sisa pembagian dari $17^{20}$ dibagi 5 ... .
dengan menggunakan sifat 3, maka akan diperoleh.
$\begin{align*} 17^{20} &= (3.5+2)^{20}\\ 17^{20} &= (3.5+2)^{20} \ mod \ 5\\ 17^{20} &= 2^{20} \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2^5)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (6.5+2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 16 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 1 \ mod \ 5 \\ \end{align*}$
maka sisa pembagian $17^{20}$ oleh 5 adalah 1
$\begin{align*} 17^{20} &= (3.5+2)^{20}\\ 17^{20} &= (3.5+2)^{20} \ mod \ 5\\ 17^{20} &= 2^{20} \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2^5)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (6.5+2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= (2)^4 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 16 \ mod \ 5 \\ 17^{20} &= 1 \ mod \ 5 \\ \end{align*}$
maka sisa pembagian $17^{20}$ oleh 5 adalah 1
--- Soal No 3 ---
Temukanlah angka terakhir dari $3^3 + 13^{13} + 23^{23} + 33^{33} + ... +2003^{2003}$ ... .
dengan menggunakan sifat 1.b, dan sifat 3 serta modulokan 10 untuk menemukan angka terakhirnya akan diperoleh.
$\begin{align*} &= 3^3 \ mod \ 10 + 13^{13} \ mod \ 10 + 23^{23} \ mod \ 10 + 33^{33} \ mod \ 10 + ... +2003^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 27 \ mod \ 10 + (10+3)^{13} \ mod \ 10 + (2.10 + 3)^{23} \ mod \ 10+ (3.10+3)^{33} \ mod \ 10+ ... + (2000.10 + 3)^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 7 + 3^{13} \ mod \ 10 + 3^{23} \ mod \ 10 + 3^{33} \ mod \ 10 + ... + 3^{2003} \ mod \ 10 \\ &= (7 + 3 + 7 + 3 + ... + 3) \ mod \ 10 \\ &= 0 \ mod \ 10 \end{align*}$
maka sisa pembagianya adalah 0
$\begin{align*} &= 3^3 \ mod \ 10 + 13^{13} \ mod \ 10 + 23^{23} \ mod \ 10 + 33^{33} \ mod \ 10 + ... +2003^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 27 \ mod \ 10 + (10+3)^{13} \ mod \ 10 + (2.10 + 3)^{23} \ mod \ 10+ (3.10+3)^{33} \ mod \ 10+ ... + (2000.10 + 3)^{2003} \ mod \ 10 \\ &= 7 + 3^{13} \ mod \ 10 + 3^{23} \ mod \ 10 + 3^{33} \ mod \ 10 + ... + 3^{2003} \ mod \ 10 \\ &= (7 + 3 + 7 + 3 + ... + 3) \ mod \ 10 \\ &= 0 \ mod \ 10 \end{align*}$
maka sisa pembagianya adalah 0
--- Soal No 4 ---
Sederhanakan bentuk modulo berikut $2x_1=2 \ mod \ 3$ ... .
Dalam hal ini kita akan menggunakan sifat 2b dimana jika $a.c \equiv b.c \ ( mod \ n)$ maka $a \equiv b \ ( mod \ n)$ dengan $FPB(c,n)=1$, sehingga kita harus bisa menemukan bilangan $c$ yang memenuhi persamaan disoal, sehingga.
$\begin{align*} 2x_1 &= 2 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 8 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 2.4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 1 \ mod \ 3 \\ \end{align*}$
$\begin{align*} 2x_1 &= 2 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 8 \ mod \ 3 \\ 2x_1 &= 2.4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 4 \ mod \ 3 \\ x_1 &= 1 \ mod \ 3 \\ \end{align*}$
Untuk lebih memahami konsep bilangan modulu, cobalah selesaikan beberpa permasalahan berikut ini
LATIHAN SOAL
| 1 | Coba temukan sisa pembagian $17^{2024}$ oleh 5 ... |
| 2 | Coba temukan sisa pembagian $567^{890}$ oleh 10 ... |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar