Pada pembelajaran kali ini akan dibahas mengenai grafik fungsi rasional, sesuai definisi fungsi rasional secara umum berbentuk $\frac{f(x)}{g(x)}$. Banyak hal yang bisa dipelajari dari bentuk fungsi tersebut, salah satunya adalah bagaimana bentuk grafiknya jika digambar ke dalam koordinat kartesius. Grafik fungsi tidak selalu akan berupa garis lengkung yang kontinu $($ selalu nyambung $)$ melainkan ada kala tertentu fungsi memiliki nilai yang membuat dia tidak terdefinisi $($ Hole $)$. Lebih luas dari itu ada kemungkinan grafik akan selalu menonton atau akan mendekati sebuah garis $($ kurva $)$ tertentu, dimana garis itu nantinya kita sebut sebagai Asimptot. Sesuai jenisnya Asimtot dibedakan menjadi 3, yaitu asimptot datar, Asimptot miring dan Asimptot Tegak.
Sekarang pertanyaannya, apakah asimptot tidak akan pernah memotong kurva ?? Tentu tidak asimtot mungkin memotong kurva, namun yang kita fokuskan adalah perilaku ujung dari grafik, dimana grafik akan selalu mendekati asimptot di ujung kurva
Untuk lebih memahami grafik fungsi Rasional, silahkan simak penjelasan berikut ini.
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
cobalah gambar grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$, Namun sebelum menggambarnya cobalah menemukan asimptotnya ...
temukan dulu nilai asimptotnya dengan cara diatas, yaitu
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x&=0 \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{x} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{1}\\ y &= \frac{\frac{1}{ \infty}}{1}\\ y &= 0\\ \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=1,2,-1$ dan $-2$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{1}{x}$ sehingga akan diperoleh titik $A(1,1), B(-1,-1), C(-2,-\frac{1}{2})$ dan $D(2,\frac{1}{2})$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x&=0 \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{x} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x}}{1}\\ y &= \frac{\frac{1}{ \infty}}{1}\\ y &= 0\\ \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=1,2,-1$ dan $-2$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{1}{x}$ sehingga akan diperoleh titik $A(1,1), B(-1,-1), C(-2,-\frac{1}{2})$ dan $D(2,\frac{1}{2})$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
Soal No 2
cobalah gambar grafik fungsi $f(x)=\frac{x}{x+2}$, Namun sebelum menggambarnya cobalah menemukan asimptotnya ...
temukan dulu nilai asimptotnya dengan cara diatas, yaitu
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x+2 &=0 \\ x &=-2\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x}{x+2} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{1+\frac{2}{x}}\\ y &= \frac{1}{ 1+\frac{2}{\infty}}\\ y &= \frac{1}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=-3,-4,-1$ dan $0$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x+2}$ sehingga akan diperoleh titik $A(-4,2), B(-3,3), C(-1,-1)$ dan $D(0,0)$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x+2 &=0 \\ x &=-2\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x}{x+2} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}+\frac{2}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{1+\frac{2}{x}}\\ y &= \frac{1}{ 1+\frac{2}{\infty}}\\ y &= \frac{1}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=-3,-4,-1$ dan $0$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x+2}$ sehingga akan diperoleh titik $A(-4,2), B(-3,3), C(-1,-1)$ dan $D(0,0)$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
Soal No 3
Cobalah gambar grafik fungsi $f(x)=\frac{1-2x}{x-3}$, dengan cara menemukan asimptotnya lebih dulu dan mengambil titik uji ...
temukan dulu nilai asimptotnya dengan cara diatas, yaitu
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-3 &=0 \\ x &=3\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x}{x-3} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{1+\frac{3}{x}}\\ y &= \frac{1}{ 1+\frac{3}{\infty}}\\ y &= \frac{1}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=0,2,4$ dan $6$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x-3}$ sehingga akan diperoleh titik $A(0,0), B(2,-2), C(4,4)$ dan $D(6,2)$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-3 &=0 \\ x &=3\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x}{x-3} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{3}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1}{1+\frac{3}{x}}\\ y &= \frac{1}{ 1+\frac{3}{\infty}}\\ y &= \frac{1}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=0,2,4$ dan $6$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x-3}$ sehingga akan diperoleh titik $A(0,0), B(2,-2), C(4,4)$ dan $D(6,2)$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
Soal No 4
coba gambar grafik fungsi $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$, dengan cara menemukan aaimptot lebih dulu kemudian memgambil titik uji ...
temukan dulu nilai asimptotnya dengan cara diatas, yaitu
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-2 &=0 \\ x &=2\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x-1}{x-2} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}\\ y &= \frac{1-\frac{1}{\infty}}{ 1+\frac{3}{\infty}}\\ y &= \frac{1-0}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=0,1,3$ dan $4$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x-3}$ sehingga akan diperoleh titik $A(0,\frac{1}{2}), B(1,0), C(3,2)$ dan $D(4,\frac{3}{2})$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-2 &=0 \\ x &=2\\ \end{align*}$
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{x-1}{x-2} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}\\ y &= \frac{1-\frac{1}{\infty}}{ 1+\frac{3}{\infty}}\\ y &= \frac{1-0}{1+0}\\ y &= 1 \end{align*}$
ketika asimptot sudah ditemukan ambilah titik uji diantara asimptot, dalam hal ini akan diambil titik uji $x=0,1,3$ dan $4$ kemudian substitusi ke fungsi awal yaitu $f(x)=\frac{x}{x-3}$ sehingga akan diperoleh titik $A(0,\frac{1}{2}), B(1,0), C(3,2)$ dan $D(4,\frac{3}{2})$
sehingga jika grafiknya digambar ke kordinat akan diperoleh seperti berikut ini.
Soal No 5
temukan persamaam asimptot miring dari $f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$, ...
Sesuai dengan definisi diatas, maka nilai asimptot miring diperoleh dengan cara menemukan hasil bagi dari bentuk fungsi pada soal, sehingga nilainya diperoleh.
--Asimptot Miring
Maka asimptot miringnya adalah $x+2$
--Asimptot Miring
Maka asimptot miringnya adalah $x+2$
Soal No 6
temukan persamaam asimptot yang dimilki oleh fungsi $f(x)=\frac{2x^2-3x-5}{x-1}$, ...
Sesuai dengan kosnep diatas, maka diperoleh
--Asimptot Miring
--Asimptot Datar
Tidak ada, karena pangkat tertinggi penyebut lebih tinggi dari pangkat tertinggi pembilang
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-1 &=0 \\ x &=1\\ \end{align*}$
--Asimptot Miring
--Asimptot Datar
Tidak ada, karena pangkat tertinggi penyebut lebih tinggi dari pangkat tertinggi pembilang
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x-1 &=0 \\ x &=1\\ \end{align*}$
Soal No 7
temukan persamaam asimptot yang memenuhi fungsi $f(x)=\frac{1-4x^2}{x^2-4}$, ...
Sesuai dengan kosnep diatas, maka diperoleh
--Asimptot Miring
Tidak ada, karena hasil baginya tidak merupakan persamaan garis lurus
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1-4x^2}{x^2-4} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x^2}-4}{1-\frac{4}{x^2}}\\ y &= \frac{\frac{1}{\infty}-4}{1-\frac{4}{\infty}}\\ y &= \frac{0-4}{1-0}\\ y &= -4 \end{align*}$
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x^2-4 &=0 \\ (x-2)(x+2) &=0\\ \end{align*}$
maka dari langkah diatas ditemukan dua buah persamaan Asimptot tegak yaitu $x=2$ dan $x=-2$
--Asimptot Miring
Tidak ada, karena hasil baginya tidak merupakan persamaan garis lurus
--Asimptot Datar
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{1-4x^2}{x^2-4} &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{4x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{4}{x^2}}\\ y &= \displaystyle \lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{x^2}-4}{1-\frac{4}{x^2}}\\ y &= \frac{\frac{1}{\infty}-4}{1-\frac{4}{\infty}}\\ y &= \frac{0-4}{1-0}\\ y &= -4 \end{align*}$
--Asimptot Tegak
$\begin{align*} g(x) &= 0 \\ x^2-4 &=0 \\ (x-2)(x+2) &=0\\ \end{align*}$
maka dari langkah diatas ditemukan dua buah persamaan Asimptot tegak yaitu $x=2$ dan $x=-2$
Soal No 8
Setelah menemukan asimptot dari soal no 7, cobalah menggambar grafiknya dengan mengambil beberapa titik uji...
Ambilah beberapa titik uji, misal diambil $x=-4,-3,-1,1,3$ dan $4$ maka substituisi nilai $x$ ke fungsinya sehingga diperoleh beberapa titik yaitu $A(-4,\frac{-63}{12}),B(-3,-7),C(-1,1), D(1,1), E(3,-7)$ dan $F(-4,\frac{-63}{12})$ maka jika digambar ke kordinat akan diperoleh seperti pada gambar berikut ini.
Latihan Soal
1. temukanlah semua asimptot yang dimiliki oleh fungsi $f(x)=\frac{x^2-3x-5}{x^2-1}$, ...
Tidak ada komentar:
Posting Komentar