Analisis Data Peluang | Distribusi Binomial

Pada pembelajaran sebelumnya kita telah belajar konsep peluang dan distribusi seragam diskrit, pada kedua pembelajaran itu kita ditekankan bahwa peluang suatu kejadian memiliki nilai yang sama disetiap ruang sampel yang ada. Namun ada kalanya suatu kejadian yang hanya memiliki dua peluang kejadian yaitu peluang berhasil $( \text {"iya"})$ atau gagal $( \text {"tidak"}), Misalnya kita ambil contoh saat Rapael Struik akan mengambil penalti, kemungkinan yang terjadi hanya dua yaitu kemungkinan goll/ berhasil atau tidak gol/gagal. Kejadian inilah yang dapat diselesaikan dengan konsep distribusi Binomial, untuk lebih jelasnya silahkan simak penjalasan berikut ini.  

Distribusi Binomial

Jika suatu percobaan binomial mempunyai peluang berhasil $p$ dan peluang gagal $q=1-p$, maka fungsi distribusi peluang untuk variabel acak binomoal $X$, yaitu banyaknya keberhasilan dalam $n$ percobaan yang bebeas adalah.
$b(x:n:p) = \begin{pmatrix}n \\ x\end{pmatrix} .p^x.q^{n-x}$ untuk $x=0,1,2,3,...,n$

Ket.
$p$ = Peluang kejadian yang sukses
$q$ = peluang kejadian gagal
$n$ = jumlah percobaan
$x$ = banyak kejadian sukses
$\begin{pmatrix}n \\ x\end{pmatrix}$ = merupakan nilai kombinasi $n$ objek dengan $x$ objek yang diambil

Untuk lebih memahami materi Analisis Data Peluang | Distribusi binomial perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Pada awal pertandingan sepak bola telah disepakati bahwa tim yang memilih gambar akan bermain terlebih dahulu. Apabila dalam 7 hari berturut-turut seorang wasit memimpin 7 kali permainan. Tentukan peluang bahwa 5 kali pelemparan pertama mendapatkan gambar!

hal pertama yang harus kita tentukan adalah menemukan peluang kejadian berhasil dan gagalnya, maka kemungkinan berhasil muncul gambar adalah $p=\frac{1}{2}$ maka kemungkinan gagal atau muncul angka adalah $q=1-p=\frac{1}{2}$,
kemudian temukan nilai $x$ yaitu banyak keberhasilan yang diminta yaitu $5$ dan nilai $n$ adalah banyak percobaan yaitu $7$, maka kita masuk ke rumus distribusi binomial yaitu.
$\begin{align*} b(x:n:p) &= \begin{pmatrix}n \\ x\end{pmatrix} .p^x.q^{n-x}\\ b \left ( 5:7:\frac{1}{2} \right ) &= \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} .\left (\frac{1}{2} \right )^5.\left (\frac{1}{2} \right )^{7-5} \\ &= \frac{7!}{2!.5!}.\frac{1}{32}.\frac{1}{4} \\ &= \frac {7.6.5!}{2.1.5!}. \frac{1}{128} \\ &= 7.3. \frac{1}{128} \\ &= 21. \frac{1}{128} \\ &= 0,164 \\ \end{align*}$

Jadi, peluang 5 kali pelemparan pertama mendapatkan gambar pada 7 kali permainan adalah $0,164$

--- Soal No 2 ---

Pada sesu latihan untuk puutaran final piala asia 2023 ,Coach STY memberikan menu latihan tendangan finalti kepada masing-masing pemain. Salah satu yang kita soroti adalah Bang Jay, Bang jay memiliki peluang berhasil mencetak gol adalah $\frac{2}{3}$ jika bang jay diminta mengeksekusi pinalti sebanyak 6 kali, maka berapakah peluang 4 kali gool ... .

hal pertama yang harus kita tentukan adalah menemukan peluang kejadian berhasil dan gagalnya, maka kemungkinan berhasil adalah $p=\frac{2}{3}$ maka kemungkinan gagalnya adalah $q=1-p=\frac{1}{3}$,
kemudian temukan nilai $x$ yaitu banyak keberhasilan yang diminta yaitu $4$ dan nilai $n$ adalah banyak percobaan yaitu $6$, maka kita masuk ke rumus distribusi binomial yaitu.
$\begin{align*} b(x:n:p) &= \begin{pmatrix}n \\ x\end{pmatrix} .p^x.q^{n-x}\\ b \left ( 4:6:\frac{2}{3} \right ) &= \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} .\left (\frac{2}{3} \right )^4.\left (\frac{1}{3} \right )^{6-4} \\ &= \frac{6!}{2!.4!}.\frac{16}{81}.\frac{1}{9} \\ &= \frac {6.5.4!}{2.1.4!}. \frac{16}{729} \\ &= 3.5 . \frac{16}{729} \\ &= 15 \frac{16}{729} \\ &= 0,3292 \\ \end{align*}$

Jadi, peluang 5 kali pelemparan pertama mendapatkan gambar pada 7 kali permainan adalah $0,329$

LATIHAN SOAL
untuk menjawab soal berikut silahkan gunakan kalkulator untuk menemukan hasil perkaliannya dan kita sepakati ambil 2 angka di belakang koma tanpa pembulatan

1	Sebuah dadu dilambungkan 5 kali. Peluang kejadian munculnya mata dadu prima sebanyak 3 kali adalah... .
2	Dalam sebuah seleksi masuk perguruan tinggi negeri hanya 40 persen siswa yang lolos untuk mengikuti Seleksi Nasional Berbasis Prestasi $SNBP$. Jika di SMA MelMat dipilih 10 anak secara acak maka berapakh peluang 7 dari anak yang dipilih lolos seleksi ... .
3	Dalam sebuah undian berhadiah setiap peserta akan diminta untuk melempar dua buah dadu secara bersamaan sebanyak 4 kali. dia akan mendapat hadiah jika dadu yang ia lempar muncul mata dadu kembar sebanyak 3 kali, Adi adalah salah satu peserta yang ikut dalam undian tersebut. Berapa peluang adi mendapat hadiah ... .
4	Pada sebuah ulangan harian mametamtika, Pak wayan akan memberikan sebuah soal kepada setiap siswa dan siswa hanya perlu menjawab pernyataan dengan benar atau salah. Jika selama 30 menit pak wayan telah memberikan ulangan harian kepada 7 orang siswa, berapa peluang 4 orang menjawab soal dengan tepat dalam kurun waktu tersebut .
5	Di sebuah rumah sakit daerah terdapat 5 orang yang sedang menjalani proses pengobatan terhadap penyakit yang dideritanya. Pihak rumah sakit mengklaim bahwa obat yang diberikan memiliki peluang menyembuhkan sebesar 99 persen. Jika kelima orang yang berobat mengkonsumsi obat dari pihak rumah sakit, maka berapakah peluang terdapat 4 orang diantaranya sebambuh dari penyakit yang di deritanya ... .
6	Dalam sebuah survei terhadap kebersihan gigi, 6 dari 10 orang yang disurvei telah mengunjungi dokter gigi. Jika diambil 20 orang secara acak maka berapakah peluang 5 orang diantaranya telah memeriksakan diri ke dokter gigi ... .
7	Pak Agung akan memberikan soal kepada kelas B, dimana soal yang diberikan adalah soal yang pernah diujikan di kelas B, dimana di kelas B hanya 2 dari 5 orang siswa yang mampy menjawab soal yang diberikan. Jika kelas A dan kelas b memiliki kemampuan yang sama, maka berapakah peluang siswa mampu menjawab soal dengan benar jika soal ini dijikan kepadana 10 orang di kelas A... .