Olimpiade Sains Nasional $($ OSN $)$ atau sekarang sering disebut dengan Kompetisi Sains Nasional $($ KSN $)$ merupakan hal yang sama saja, kompetisi ini diperunutkan untuk siswa yang berada di jenjang SD, SMP, dan SMA. Berikut ini merupakan soal OSN matematika SMP tahun 2012, untuk melihat Kumpulan Soal KSN Matemematika SMP yang lainnya silahkan KLIK DISINI___
Selamat menegrjakan.
Sebelum dilanjutkan mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu untuk kemajuan blog ini.
--- Soal No 1 ---
Diketahui persegi ABCD. Jika titik Eterletak pada BC dan titik F pada CD sehingga AE dan AF membagi persegi ABCD menjadi tiga daerah yang luasnya sama, maka perbandingan luas segtiga AEF terhadap luas persegi ABCD adalah ... .
A. $\frac{4}{18}$
B. $\frac{5}{18}$
C. $\frac{6}{18}$
D. $\frac{7}{18}$
E. $\frac{8}{18}$
Kunci : B. $\frac{5}{18}$
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal pada gambar, kemudian misalkan panjang sisi $ABCD$ adalah $3a$, kemudian karena garis $AF$ adan $AE$ membagi persegi menjadi 3 bagian yang sama, maka luas segitiga $ADF=\frac{(3a)^2}{3}=3a^2$.
2. Akibat dari langkah 1 adalah panjang $DF=BE=2a$ dan $FC=CE=a$
3. dari kedua langkah diatas, maka luas segitiga $AFE$ diperoleh dengan cara menemukan selisih luas $AFCE$ dengan luas $FCE$
4. soal dapat diselesaikan
--- Soal No 2 ---
Jika kedua akar persamaan $p^2x^2 - 4px + 1 =0 $ bernilai negatif, maka nilai p adalah ... .
A. $p < 0$
B. $p < \sqrt{3}-\frac{1}{2}$
C. $p < \sqrt{3}+\frac{1}{2}$
D. $p < \sqrt{3}$
E. $p < 2-\sqrt{3}$
Kunci : A. $p < 0$
Petunjuk !
1. ingatlah konsep jumlah dan hasil kali akar-akar, dimana jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka nilai dari $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. karena memiliki dua akar yang negatif maka berlaku
a. diskriminan lebih dari nol
b. jumlah akar negatif
c. hasil kali positif.
3. dengan ketiga sifat di point kedua iriskan hasilakhirnya.
--- Soal No 3 ---
Jika $f(x)=3x+1$ dan $g(x)=1-2x$ serta $f(g(a))=28$ maka nilai a adalah ... .
A. -7
B. -4
C. 4
D. 7
E. 13,5
Kunci : B. -4
Petunjuk !
1. perhatikan bentuk $f(g(a))$ ini memiliki arti setiap $x$ di $f(x)$ diganti dengan $g(x)$
2. dari langkah pertama akan ditemukan sebuah fungsi dalam bentuk $x$ maka gantilah setiap nilai $x$ dengan $a$ maka nilai dari $f(g(a))=28$ bisa ditemukan.
--- Soal No 4 ---
Suatu byte didefinisikan sebagai susunan angka yang terdiri dari 8 angka $($ digit $)$ yaitu 0 dan 1, contoh byte : 011101111. Banyaknya jenis Byte yang memuat angka 1 tepat sebanyak 5 adalah ... .
A. 30
B. 45
C. 56
D. 62
E. 66
Kunci : C. 56
Petunjuk !
1. ingatlah konsep permutasi dengan objek sama yaitu jika ada 6 huruf dengan 2 huruf A dan 3 huruf S maka banyak susukan yang mungkin adalah $\frac{6!}{2!.3!}$
2. Soal ini adapat diselesaikan dengan permutasi unsusr sama. dengan memangdang angka 1 adalah objek yang sama, begitu pula untuk angka nol nya.
--- Soal No 5 ---
Perhatikan gambar berikut !
Bilangan 2012 akan terletak di bawah huruf ... .
A. Q
B. R
C. S
D. T
E. U
Kunci : E. U
Petunjuk !
1. perhatikan setiap angka di kolom yang sama selalu diperoleh dengan menambahkan 7 dengan angka sebelumnya dan jika angka yang ada paling bawah dibagi 7 maka siswany akan sama dengan anka yang paling atas.
2. sesuai dengan pernyataan pada point pertama, maka temukanlah sisa pembagian 2012 oleh 7
3. cocokan siswa hasil baginya dengan bilangan teratas pada kolom.
--- Soal No 6 ---
Jika m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga $m^2+2m+3n=33$, maka banyak bilangan n yang memenuhi adalah... .
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
E. 3
Kunci : D. 4
Petunjuk !
1. ambillah nilai $m \geq 0$ dengan $m$ adalah bilangan bulat positif
2. karena $n$ juga bilangan bulat positif maka nilai $m$ akan terbatas
3. ujilah persamaan dengan mengambil nilai $m$ sesuai dengan syarat pada point 1
--- Soal No 7 ---
Enam buah pipa besar dapat mengeringkan sebuah kolam dalam waktu 5 jam, sedangkan delapan pipa kecil dapat mengeringkan kolam dalam waktu 10 jam. Berapakah waktu yang diperlukan unutk mengeringkan kolam jika digunakan 3 pipa besar dan 5 pipa kecil... .
A. $\frac{60}{13}$
B. $\frac{80}{13}$
C. $\frac{90}{13}$
D. $8$
E. $9$
Kunci : B. $\frac{80}{13}$
Petunjuk !
1. dengan perbandingan berbalik nilai maka temukan waktu pengeringan untuk 3 pipa besar dan 5 pipa kecil
2. dengan konsep penjumlahan prbandinga maka soal bisa diselesaikan
3. ingat bentuk $\frac{a}{b}$ memiliki arti untuk membuat $a$ dibutuhkan waktu $b$, sehingga sengan konsep ini soal dapat diselesaikan
--- Soal No 8 ---
Diketahui persegi panjang PQRS seperti pada gambar berikut
Panjang $PV = QT = PS = 6$ titik $U$ adalah perpotongan garis $SV$ dan $RT$ Jika $RQ=10$ maka luas segiempat $PTUS$ adalah... .
A. 15
B. 17
C. 19
D. 21
E. 23
Kunci : B. 17
Petunjuk !
1. temukan panjang $TV$ dari $PV = QT = PS = 6$ dan pangjang $PQ$
2. buat garis bantu dari U yang tegak lurus PQ, kemudian dengan kesebangunan pada segitiga $PVS$ dan segitiga $UVW$ maka panjang $UW$ diperoleh, dimana $UW$ adalah tinggi segitga $UVT$
3. dari kedua langkah di atas maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 9 ---
Empat bola bernomor 1, 2, 3 dan 4 diletakan ke dalam sebuah kotak. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Nomor yang muncul dicatat kemudian bola dikembalikan ke kotak semula. Jika proses pengambilan bola dilakukan sampai tiga kali dengan cara yang serupa, maka peluang nomor bola yang terambil berjumlah lima adalah ... .
A. $\frac{5}{256}$
B. $\frac{5}{64}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{3}{32}$
E. $\frac{3}{16}$
Kunci : D. $\frac{3}{32}$
Petunjuk !
1. temukan ruang sampel dari ketigakali percobaan, dimana setiap percobaan pengambilan selalu diambil 1 bola dari 4 bola, karena ada pengembalian bola
2. temukan banyak bilangan kombinasi 3 angka yang berjumlah 5.
3. dari kedua langkah, maka soal bisa diselesaikan.
--- Soal No 10 ---
Suatu barisan antrian tiket masuk pertandingan sepak bola terdiri atas 2012 orang. Jika diantara 2 orang pria paling sedikit terdapat 3 wanita, maka banyak pria paling banyak dalam antrian tersebut adalah ... .
A. 501
B. 502
C. 503
D. 504
E. 505
Kunci : C. 503
Petunjuk !
1. agar jumlah pria terbanyak maka antrian pertama adalah pria, 3 antrian berikutnya wanita kemudian pria dan seterusnya. Sehingga si pria akan selalu ada di antrian ke 1, 5, 9, 13, ...
2. dengan rumus deret temukan banyak suku yang ada jika ada 12 deret, gunkanan rumus suku ke n
3. dengan kedua langkah diatas, soal bisa diselesaikan
--- Soal No 11 ---
Diketahui abc dan def adalah bilangan yang terdiri dari 3 angka $($digit$)$ sehingga $abc+ def = 1000$. Jika a, b, c, d, e dan f tidak satupun yang sama dengan nol, maka nilai terbesar dari a + b + c + d adalah ... .
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28
E. 29
Kunci : B. 26
Petunjuk !
1. temukan kemungkinan nilai $c+f=10$ kemudian $b+e=9$ dan $a+d=9$
2. agar a + b + c + d, maksimal maka penjumlahan pasanganya selalu terkecil kecuali $a+d$
3. melalui kedua langkah diatas soal dapat diselesaikan
--- Soal No 12 ---
Suatu tes matematika terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan 5 pilihan dan hanya ada satu pilihan yang benar. Jika mulan menjawab soal secara menerka $($ secara acak atau asal-asalan $)$ maka peluang tepat dua soal dijawab dengan benar adalah ... .
A. $\frac{32}{725}$
B. $\frac{32}{635}$
C. $\frac{64}{725}$
D. $\frac{64}{625}$
E. $\frac{128}{625}$
Kunci : E. $\frac{128}{625}$
Petunjuk !
cara 1,
jika menggunakan konsep binomial maka dapat dicari dengan cara $P=C^n_x.P^x.Q^{n-x}$ dengan n adalah banyak percobaan, x adalah percobaan yang dilakukan/yang diharapkan, P adalah peluang kejadian yang diharapkan, Q adalah peluang kejadian yang tidak diharapkan. dan ingat bentuk $C^n_x=\frac{n!}{(n-x)!.x!}
Cara 2
1. temukan banyak kombinasi cara ia menjawab soal benar dan soal salah dengan konsep permutasi berulang
2. tmisalkan soal 1,2 salah dan sisanya benar, temukan peluang ia menjawah dengan kasus tersebut dan kalikan kelima hasilnya
3. hasil akhir dari perhutngan diperoleh dengan cara mengalikan banyak kejadian di point 1 dan besar peluang di kejadian point 2
--- Soal No 13 ---
Untuk setiap bilangan bulat x didefinisikan fungsi f dengan $f(x)$ adalah banyak angka $($ digit $)$ dari bilangan x. Contoh $f(125)=3$ dan $f(2012)=4$. Maka nilai dari $f(2^{2012}+f(5^{2012})$... .
A. 2013
B. 2014
C. 2015
D. 2016
E. 2025
Kunci : A. 2013
Petunjuk !
1. ingatlah untuk menghitung banyak digit dari suatu bilangan bulat positif $n$ dapat dicari dengan cara $Log(n)+1$
2. perhatikan soal, dan misalkan yang ditanya adalah $f(2^{n}+f(5^{n})$, kemudian ganti nilai $n=1,2,3,4,... 2012$ sehingga akan ditemukan sebuah pola yang unik
3. temukan pola-pola dan soal bisa diselesaikan.
4. selain menggunakan cara diatas, ada cara lain yang bisa dikerjakan secara terpisah untuk $f(2^{2012}$ dan $f(5^{2012})$ namun perlu diingat bahwa mengingat beberapa sifat bilangan bulat.
--- Soal No 14 ---
Dalam sebuah kotak terdapat 60 buah kaos yang bernomor 11, 12, 13, ... 40, dengan 2 kaos untuk setiap nomornya. Jika diambil 2 buah kaos, maka peluang yang terambil adalah kaos yang bernomor sama adalah... .
A. $\frac{1}{59}$
B. $\frac{2}{35}$
C. $\frac{2}{33}$
D. $\frac{2}{31}$
E. $\frac{2}{29}$
Kunci : A. $\frac{1}{59}$
Petunjuk !
1. Dalams soal ada 30 baju dengan no yang sama, jadi total ada 60 baju.
2. jika diambil 2 buah baju dengan nomor yang sama, maka kemungkinannya adalah baju bernomor 11 dan 11, 12 dan 12 dan seterusnya. maka total kemungkinanya bisa dihitung
3. untuk ruang sampelnya bisa digunakan konsep kombinasi, dimana ada 60 baju yang akan diambil 2 buah baju saja.
4. melalui ketiga langkah itu soal dapat diselesaikan
--- Soal No 15 ---
Sehabis belanja, Ratina membawa pulang uang kembalian berupa 8 koin $($ uang receh $)$ yang terdiri dari ratusan, lima ratusan, dan ribuan. Total nilai uang kembaliannya adalah tiga ribu rupiah. Sayangnya, dalam perjalanan pulang salah satu uang koinya jatuh dan hilang. Jika peluang kehilangan untuk satu ratusan, satu lima ratusan dan satu ribuan adalah sama, maka peluang kehilangan satu koin lima ratusan adalah ... .
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{2}{8}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{4}{8}$
E. $\frac{5}{8}$
Kunci : A. $\frac{1}{8}$
Petunjuk !
1. jangan terkecoh dengan kata-kata bahwa "peluang kehilangan untuk satu ratusan, satu lima ratusan dan satu ribuan adalah sama". Pernyataan ini hanya mengandung makna bahwa kemunginan hilangnya adalah sama walaupun nilainya berbeda.
2. karena ia memegang uang 8 buah, maka banyak uang ratusanya ada 5, uang lima ratusan ada 2 dan uang seribuan ada 1.
3. melalui kedua petunjuk diatas, maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 16 ---
Suatu balok dengan volume 240 satuan mempunyai panjang $a$, lebar $b$ dan tinggi $c$ dengan $a,b$ dan $c$ adalah bilangan asli. Jika $a+b+c=19$ dan $a>b>c>3$ maka luas permukaan balok yang sisinya mempunyai rusuk b dan c adalah ... .
A. 64
B. 60
C. 48
D. 40
E. 30
Kunci : B. 60
Petunjuk !
1. jika diperhatikan melalui kedua syarat diatas yang mana menyebutkan bahwa $a+b+c=19$ dan $a>b>c>3$ maka nilai dari $a,b,c$ dapat ditemukan secara langsung.
2. mulailah mengambil nilai paling kecil yaitu nilai $c$ yang lebih dari 3
3. melalui kedua petunjuk diatas maka soal dapat diselesaikan
--- Soal No 17 ---
Perhatikan Gambar berikut !
Jika lingkaran besar berjari-jari 4 dan kecil berjari-jari 2, serta luas daerah yang diarsir adalah $\frac{5}{12}$ luas lingkaran besar, maka besar sudut $RPQ$ adalah ... derajat.
A. 60
B. 90
C. 120
D. 135
E. 150
Kunci : C. 120
Petunjuk !
1. Untuk menyelesaikan soal ini maka perlu dipahami cara menemukan luas juring dari suatu lingkaran jika nilai sudutnya diketahu. Dimana jika dimisalkan ada juring dengan besar sudut minornya adalah $a$ maka luas juringnya adalah $\frac{a}{360}. \pi r^2$
2. ingat juga konsep bahwa mungkin untuk menemukan suatu daerah arsiran harus ditemukan dulu selisih dari dua buah bangun atau lebih
3. dalam perhitungan hindari mengganti nilai $\pi$ dengan bilangan untuk menghindari kekeliruan dalam perhitungan
SOAL ESAY
--- Soal No 18 ---
Diketahui 2012 bilangan berurutan, jika setiap bilangan tersebut dibagi 5 kemudian sisa-sisa pembagiannya dijumlahkan. Maka hasil penjumlahanya adalah ... .
Kunci : 4021, 4023, 4024, 4025, 4027
Petunjuk !
1. diantara 2012 bilangan beruturan akan ditemukan 402 bilangan habis dibagi 5 $($ bersisa 0 $)$, 402 bilangan memiliki sisa 4, 402 bilangan bersisa 3, hingga 402 bilangan bersisa 1. dan akan ada 2 buah bilangan yang mungkin ada diawal atau di akhir deret bilangan yang dimaksudkan.
2. jumlahkan semua sisa yang mungkin dari 2000 bilangan yang dimaksud pada poit 1, kemudian temukan pula kemungkinan 2 bilangan sisanya. karena semua bilangan berurutan mka 2 bilangan itu memiliki 5 kombinasi kemungkinan yaitu sisa hasil baginya dengan 5 adalah 0,1 atau 1,2 atau 2,3 atau 3,4 atau 4,0.
3. melalui kedua petunjuk diatas, maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 19 ---
Jika $a=b+2, a^2 = b^2 + 6$ dan $3(a+b)^2c+3(a+b)c^2+c^3=10+(a+b)^2$ maka nilai dari $c$ adalah ... .
Kunci : 1
Petunjuk !
1. melalui persamaan $a=b+2, a^2 = b^2 + 6$ temukan nilai $a$ dan $b$
2. substitusi nilai $a$ dan $b$ ke persamaan pada soal, kemudian jabarkan hingga menemukan nilai atau bentuk yang paling sederhana.
3. untuk menemukan nilai $c$ dapat digunakan metode horner, atau bisa juga memodifikasi persamaan pangkat 3 yang diperoleh ke bentuk yang lebih sederhana. Misalnya memecah $9c^2=10c^2-c^2$ dan $27c=37c-10c$
4. melalui ketiga petunjuk diatas, maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 20 ---
Jika segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6, AC = 10 dan AD adalah garis bagi sudut BAC, maka panjang AD adalah ... .
Kunci : $3 \sqrt {5}$
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam bentuk gambar, dan berikan keterangan panjang sesuai dengan apa yang ada di dalam soal.
2. untuk menemukan panjang $AD$ kita memerlukan nilai $BD$, maka misalkan $BD=x$
3. terapkan teorema garis bagi untuk menemukan nilai $x$ yang dimaksudkan oleh soal.
4. jika nilai x sudah ada maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 21 ---
Semua nilai x yang memenuhi persamaan $\sqrt{6x-2}-\sqrt{4x-3}=1$ adalah ... .
Kunci : 1 dan 3
Petunjuk !
1. pindahkan nilai $\sqrt{4x-3}$ ke kanan kemudian kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan nilai akar
2. melalui langkah 1, akan masih ditemukan nilai bentuk akar, ma kuadratkan lagi kedua ruasnya
3. melalui langkah 2 akan ditemukan sebuah persamaan kuadrat, maka temukan faktornya.
4. faktornya adalah jawaban yang dimaksudkan.
--- Soal No 22 ---
Jika rata-rata 1000 bilangan ganjil adalah 1012 maka bilangan terkecil dari bilangan-bilangan itu adalah ... .
Kunci : 1013
Petunjuk !
1. ingatlah " jika $a$ dan $Un$ adalah suku awal dan suku akhir suatu barisan aritmatika, maka rata-ratanya adalah suku tengah dari barisan itu, dimana nilainya adalah $Ut=\frac{a+Un}{2}$
2. maka dengan informasi diatas ingatlah rumus suku ke n yaitu $Un=a+(n-1)b$ dimana nilai $a$ dicari, nilai $b$ dan $n$ sudah ada di soal secara eksplisit.
3. melalui dua langkah diatas maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 23 ---
Jalan Majapahit sejajar dengan jalur kereta api yang membentang lurus. Anton menumpang bus OSN di jalan majapahit dengan kecepatan konstan 40 km/jam. Dari arah berlawanan, bus yang ditumpangi anton berpapasan dengan kereta api yang bergerak konstan 20 km/jam. Anton mencatat bahwa kereta api melewatinya selama seperempat menit terhitung mulai dari lokomotif $($ bagian paling depan $)$ sampai bagian paling belkang. Maka berapakah panjang kereta api tersebut ... .
Kunci : 250 m
Petunjuk !
1. perhatikan kecepatan kereta dan kecepatan bus yang ditumpangi anton. Karena bereka berpasasan maka kecepatan kereta jika dimisalkan bus diam adalah jumlah dari kecepatan kereta dan kecepatan bus.
2. panjang kereta bisa ditemukan dengan meneukan jarak yang ditempuh selama waktu yang diminta disoal
3. jangan lupa samakan satuanya agar bisa disederhanakan.
--- Soal No 24 ---
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan $(a,b,c,d,e,f)$ yang memuat sedikitnya satu huruf vokal ... .
Kunci : 48
Petunjuk !
1. ingat jika ada himpunan dengan anggota n, maka banyak himpunan bagiannya adalah $2^n$
2. untuk soal ini, agar ditemukan banyak anggota himpunan bagian yang memuat huruf vokal maka buatlah himpunan baruyang anggotanya huruf konsonan saja. Sehingga banyak himpunan bangian yang memuat huruf vokal sama dengan banyak himpunan bagian smuanya dikurnagi banyak himpunan bagian yang memuat huruf konsonan.
3. melalui ketiga petunjuk diatas soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 25 ---
bilangan $ab$ adalah bilangan terdiri dari dua angka. Jika bilangan itu ditambahkan dengan 45 maka bilangan yang diperoleh adalah ba. Pada bilangan ab jika diantara a dan b disisipkan angka 0 maka diperoleh bilangan $7\frac{2}{3}$ kali bilangan ab, maka bilangan ab tersebut adalah ... .
Kunci : 27
Petunjuk !
1. ingat jika ada bilangan $ab$ maka bilangan itu daat disimbolkan dengan $10a+b$ atau jika ada bilangan $abc$ nilainya sama dengan $100a+10b+c$
2. dengan konsep diatas, maka cobalah temukan bentuk persamaan sesuai dengan informasi dalam soal
3. berfikirlah mengenaik penyederhanaan persamaan ataupun metode eliminasi dan substitusi dalam menyelesaikan soal tersebut.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar