Pembagian Polinomial : Metode Horner | Jika Pembagi pangkat 1 dan pangkat 2

Pada pembahasan sebelumnya kita sudah belajar mengenai pembagian polinomial dengan cara bagan, nah kali ini akan dibahas metode lain untuk menemukan hasil bagi dan sisa pembagian suatu fungsi. Metode yang dibahas adalah metode horner, berikut penjelasan dan langkah-langkah menggunkan metode horner.

Jika pembagi pangkat 1

Sebelum dijelaskan mengenai langkah-langkah cara horner, fungsi yang digunakan akan dibatasi sampai pangkat 5 agar lebih mudah dalam penjelasanya sehingga untuk fungsi yang diatas pangkat 5 hanya perlu menambahkan koefisienya saja pada bagan horner. Misal diketahui suatu fungsi $f(x)=a_{1}x^5+a_{2}x^4+a_{3}x^3+a_{4}x^2+a_{5}x+a_{6}$ akan dibagi oleh fungsi $g(x)= mx - n$ maka langkahnya adalah sebagi berikut.

1. Buatlah bagan seperti dibawah ini.

nilai $a_1$ sampai $a_6$ adalah foefisien fungsi yang diambil secara terurut dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah $($ jika ada pangkat yang di loncati maka nilai koefiseianya adalah 0 $)$.

2.turunkan nilai $a_1$ ke bagian bawah dan mulai menghitung untuk menemukan nilai $b_1$ hingga $b_6$ dan $c_2$ hingga $c_6$

perhatikan bahwa nilai dari nilai $b_1$ hingga $b_6$ dan $c_2$ hingga $c_6$ diperoleh dengan cara.

$c_2=\frac{n}{m}.b_1$

$c_3=\frac{n}{m}.b_2$

$c_4=\frac{n}{m}.b_3$

$c_5=\frac{n}{m}.b_4$

$c_6=\frac{n}{m}.b_5$

dan nilai dari $b_2$ hingga $b_6$ diperoleh dengan menjumlahkan bilangan diatasnya.

3. jika ketiga langkah tesebut sudah benar maka sisa pembagannya adalah $b_6$ dan hasil baginya adalah $H(x)=b_{1}x^4+b_{2}x^3+b_{3}x^2+b_{4}x+b_{5}$.

Jika pembagi pangkat 2

Kemudian apabila pembagi dari fungsi merupakan fungsi kuadrat maka langkah untuk menemukan hasil bagi dan sisanya adalah sebagi berikut. maka Misal diketahui suatu fungsi $f(x)=a_{1}x^5+a_{2}x^4+a_{3}x^3+a_{4}x^2+a_{5}x+a_{6}$ akan dibagi oleh fungsi $g(x)= d_1x^2+d_2x - d_3$ maka langkahnya adalah sebagi berikut.

1. buatlah bagan seperti berikut.

perhatikan nilai $a_1$ sampai $a_6$ adalah merupakan koefisien fungsi dari pangkat tertinggi secara terurut, kemudian $d_1$ sampai $d_3$ dalah koefisien pembaginya. 

2. Kemudian hitung dan selesaikan seperti gambar berikut

Turunkan nilai $a_1$ ke $b_1$ sehingga nilai $a_1=b_1$ kemudian untuk nilai yang lainnya silahkan ikuti aturan berikut.

$c_2=-\frac{d_1}{d_2}.b_1$

$c_3=-\frac{d_1}{d_2}.b_2$

$c_4=-\frac{d_1}{d_2}.b_3$

$c_5=-\frac{d_1}{d_2}.b_4$

$m_3=-\frac{d_3}{d_1}.b_1$

$m_4=-\frac{d_3}{d_1}.b_2$

$m_5=-\frac{d_3}{d_1}.b_3$

$m_6=-\frac{d_3}{d_1}.b_4$

Kemudian untuk nilai $b_1$ sampai $b_4$ dan $n_1$ sampai $n_2$ diperoleh dari jumlahan nilai di bagan bagian atasnya.

3. jika sudah lengkap seperti pada gambar di atas, maka dapat disimpulkan bawha

sisa pemganianya adalah $s(x)=n_1x + n_2$

hasil baginya adalah $H(x)=\frac{b_{1}x^3+b_{2}x^2+b_{3}x+b_{4}}{d_1}$

METODE HORNER | Jika Pembagi Berpangkat 1


METODE HORNER | Jika Pembagi Berpangkat 2

Pada materi horner memberikan kemudahan bagi siswa untuk menemukan sisa dan hasil bagi dari suatu pembagian polinomial, namun umumnya siswa banyak mengalami kesalahan karena salah dalam melihat angka yang dikalikan. Oleh sebab itu sangatlah penting bagi siswa untuk paham secara detail metode horner ini, untuk itu silahkan simak contoh soal berikut untuk membantu pemahamanmu.

Contoh Soal

Soal No 1

Temukan sisa dan hasil bali dari pembagian fungsi $\frac{x^4-2x^2+x+9}{x-2}$adalah ... .

karena pembaginya memiliki pangkat 1 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak diatas diperoleh.

1. lihat pembagi fungsinya adalah $x-2$ maka pembuat nolnya adalah
$ \begin{align} x-2 &=0 \\ x &= 2 \end{align}$

2. perhatikan pangkat dari fungsi yang dibagi, terlihat bahwa ada nilai $x^3$ yang hilang sehingga akan ada nilai 0 di bagan hornernya.

3. tulis koefisien pada bagan, dan hitung sesuai langkah-langkah diatas.

angka 2 di sebelah kiri adalah pembaginya, angka di barisan paling atas adalah koefisien fungsi yang dibagi.

4. Sesuai cara diatas, maka sisa dari pembagianya adalah $19$ dam hasil baginya adalah $x^3+2x^2+2x+5$

Soal No 2
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =2x^3-x^2-x+4$ dibagi oleh fungsi $g(x)=x^2-1$, maka sisa dan hasil baginya adalah ...

karena pembaginya memiliki pangkat 2 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, temukan nilai pembaginya dengan cara.
$=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{0}{1} \right )=0$
$=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-1}{1} \right )=1$

maka dengan theorama horner diperoleh $($ jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya $)$

dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah $x+3$ dan
Hasil baginya adalah $2x-1$

Soal No 3
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =x^4-5x^3-2x+1$ dibagi oleh fungsi $g(x)=2x^2-2x-6$, maka sisa dan hasil baginya adalah ...

karena pembaginya memiliki pangkat 2 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, temukan nilai pembaginya dengan cara.
$=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-2}{2} \right )=1$
$=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-6}{2} \right )=3$

maka dengan theorama horner diperoleh $($ jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya $)$

dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah $-15x-2$ dan
Hasil baginya adalah $\frac{-x^2-4x-1}{d_1}=\frac{-x^2-4x-1}{2}$

Soal No 4
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =x^4-4x^3+6x^2-4x+1$ dibagi oleh fungsi $g(x)=x-1$, maka sisa dan hasil baginya adalah ...

karena pembaginya memiliki pangkat 1 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, kita perlu meilhat koefisien dari pangkat tertinggi hingga terendah dan dimasukan ke dalam bagan horner, namun sebelum itu cari dulu pembuat nol pembaginya, yaitu.
$ \begin{align} x-1 &=0 \\ x &= 1 \end{align}$

maka dengan theorama horner diperoleh $($ jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya $)$

dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah $0$ dan
Hasil baginya adalah $x^3-3x^2+3x-1$

Soal No 5
Diketahui sebuah fungsi $f(x) =x^{2024}+...4x^{100}+...+1$ maka derajat hasil pembagian $f(x)$ oleh $g(x)=x^{1002}+...+x^{78}+...+2$ adalah ...

Penting diingat, apabila suatu fungsi $f(x)$ dibagi dengan fungsi $g(x)$ maka sisa dari hasil baginya akan memiliki pangkat $1$ kurangnya dari pangkat pembaginya. Misal apabila pembagi memiliki derajat / pangkat tertingginya 2 maka sisa pembagianya adalah fungsi derajat 1 atau pangkat tertingginya 1, begitupula seterusnya.
Dalam soal pangkat tertinggi pembaginya adalah $1002$ maka sisa dari hasil baginya pasti memiliki derajat/pangkat tertinggi $1001$