Pada pembahasan sebelumnya kita sudah belajar mengenai pembagian polinomial dengan cara bagan, nah kali ini akan dibahas metode lain untuk menemukan hasil bagi dan sisa pembagian suatu fungsi. Metode yang dibahas adalah metode horner, berikut penjelasan dan langkah-langkah menggunkan metode horner.
Jika pembagi pangkat 1
Sebelum dijelaskan mengenai langkah-langkah cara horner, fungsi yang digunakan akan dibatasi sampai pangkat 5 agar lebih mudah dalam penjelasanya sehingga untuk fungsi yang diatas pangkat 5 hanya perlu menambahkan koefisienya saja pada bagan horner. Misal diketahui suatu fungsi f(x)=a_{1}x^5+a_{2}x^4+a_{3}x^3+a_{4}x^2+a_{5}x+a_{6} akan dibagi oleh fungsi g(x)= mx - n maka langkahnya adalah sebagi berikut.
1. Buatlah bagan seperti dibawah ini.
nilai a_1 sampai a_6 adalah foefisien fungsi yang diambil secara terurut dari pangkat tertinggi ke pangkat terendah ( jika ada pangkat yang di loncati maka nilai koefiseianya adalah 0 ).
2.turunkan nilai a_1 ke bagian bawah dan mulai menghitung untuk menemukan nilai b_1 hingga b_6 dan c_2 hingga c_6
perhatikan bahwa nilai dari nilai b_1 hingga b_6 dan c_2 hingga c_6 diperoleh dengan cara.
c_2=\frac{n}{m}.b_1
c_3=\frac{n}{m}.b_2
c_4=\frac{n}{m}.b_3
c_5=\frac{n}{m}.b_4
c_6=\frac{n}{m}.b_5
dan nilai dari b_2 hingga b_6 diperoleh dengan menjumlahkan bilangan diatasnya.
3. jika ketiga langkah tesebut sudah benar maka sisa pembagannya adalah b_6 dan hasil baginya adalah H(x)=b_{1}x^4+b_{2}x^3+b_{3}x^2+b_{4}x+b_{5}.
Jika pembagi pangkat 2
Kemudian apabila pembagi dari fungsi merupakan fungsi kuadrat maka langkah untuk menemukan hasil bagi dan sisanya adalah sebagi berikut. maka Misal diketahui suatu fungsi f(x)=a_{1}x^5+a_{2}x^4+a_{3}x^3+a_{4}x^2+a_{5}x+a_{6} akan dibagi oleh fungsi g(x)= d_1x^2+d_2x - d_3 maka langkahnya adalah sebagi berikut.
1. buatlah bagan seperti berikut.
perhatikan nilai a_1 sampai a_6 adalah merupakan koefisien fungsi dari pangkat tertinggi secara terurut, kemudian d_1 sampai d_3 dalah koefisien pembaginya.
2. Kemudian hitung dan selesaikan seperti gambar berikut
Turunkan nilai a_1 ke b_1 sehingga nilai a_1=b_1 kemudian untuk nilai yang lainnya silahkan ikuti aturan berikut.
c_2=-\frac{d_1}{d_2}.b_1
c_3=-\frac{d_1}{d_2}.b_2
c_4=-\frac{d_1}{d_2}.b_3
c_5=-\frac{d_1}{d_2}.b_4
m_3=-\frac{d_3}{d_1}.b_1
m_4=-\frac{d_3}{d_1}.b_2
m_5=-\frac{d_3}{d_1}.b_3
m_6=-\frac{d_3}{d_1}.b_4
Kemudian untuk nilai b_1 sampai b_4 dan n_1 sampai n_2 diperoleh dari jumlahan nilai di bagan bagian atasnya.
3. jika sudah lengkap seperti pada gambar di atas, maka dapat disimpulkan bawha
sisa pemganianya adalah s(x)=n_1x + n_2
hasil baginya adalah H(x)=\frac{b_{1}x^3+b_{2}x^2+b_{3}x+b_{4}}{d_1}
Pada materi horner memberikan kemudahan bagi siswa untuk menemukan sisa dan hasil bagi dari suatu pembagian polinomial, namun umumnya siswa banyak mengalami kesalahan karena salah dalam melihat angka yang dikalikan. Oleh sebab itu sangatlah penting bagi siswa untuk paham secara detail metode horner ini, untuk itu silahkan simak contoh soal berikut untuk membantu pemahamanmu.
Contoh Soal
Soal No 1
Temukan sisa dan hasil bali dari pembagian fungsi \frac{x^4-2x^2+x+9}{x-2}adalah ... .
Soal No 2
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =2x^3-x^2-x+4 dibagi oleh fungsi g(x)=x^2-1, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
Soal No 3
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =x^4-5x^3-2x+1 dibagi oleh fungsi g(x)=2x^2-2x-6, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
Soal No 4
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =x^4-4x^3+6x^2-4x+1 dibagi oleh fungsi g(x)=x-1, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
Soal No 5
Diketahui sebuah fungsi f(x) =x^{2024}+...4x^{100}+...+1 maka derajat hasil pembagian f(x) oleh g(x)=x^{1002}+...+x^{78}+...+2 adalah ...
karena pembaginya memiliki pangkat 1 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak diatas diperoleh.
1. lihat pembagi fungsinya adalah x-2 maka pembuat nolnya adalah
\begin{align} x-2 &=0 \\ x &= 2 \end{align}
2. perhatikan pangkat dari fungsi yang dibagi, terlihat bahwa ada nilai x^3 yang hilang sehingga akan ada nilai 0 di bagan hornernya.
3. tulis koefisien pada bagan, dan hitung sesuai langkah-langkah diatas. angka 2 di sebelah kiri adalah pembaginya, angka di barisan paling atas adalah koefisien fungsi yang dibagi.
4. Sesuai cara diatas, maka sisa dari pembagianya adalah 19 dam hasil baginya adalah x^3+2x^2+2x+5
1. lihat pembagi fungsinya adalah x-2 maka pembuat nolnya adalah
\begin{align} x-2 &=0 \\ x &= 2 \end{align}
2. perhatikan pangkat dari fungsi yang dibagi, terlihat bahwa ada nilai x^3 yang hilang sehingga akan ada nilai 0 di bagan hornernya.
3. tulis koefisien pada bagan, dan hitung sesuai langkah-langkah diatas. angka 2 di sebelah kiri adalah pembaginya, angka di barisan paling atas adalah koefisien fungsi yang dibagi.
4. Sesuai cara diatas, maka sisa dari pembagianya adalah 19 dam hasil baginya adalah x^3+2x^2+2x+5
Soal No 2
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =2x^3-x^2-x+4 dibagi oleh fungsi g(x)=x^2-1, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
karena pembaginya memiliki pangkat 2 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, temukan nilai pembaginya dengan cara.
=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{0}{1} \right )=0
=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-1}{1} \right )=1
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah x+3 dan
Hasil baginya adalah 2x-1
=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{0}{1} \right )=0
=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-1}{1} \right )=1
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah x+3 dan
Hasil baginya adalah 2x-1
Soal No 3
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =x^4-5x^3-2x+1 dibagi oleh fungsi g(x)=2x^2-2x-6, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
karena pembaginya memiliki pangkat 2 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, temukan nilai pembaginya dengan cara.
=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-2}{2} \right )=1
=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-6}{2} \right )=3
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah -15x-2 dan
Hasil baginya adalah \frac{-x^2-4x-1}{d_1}=\frac{-x^2-4x-1}{2}
=- \left ( \frac{d_2}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-2}{2} \right )=1
=- \left ( \frac{d_3}{d_1} \right )=- \left ( \frac{-6}{2} \right )=3
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah -15x-2 dan
Hasil baginya adalah \frac{-x^2-4x-1}{d_1}=\frac{-x^2-4x-1}{2}
Soal No 4
Apabila diketahui sebuah fungsi f(x) =x^4-4x^3+6x^2-4x+1 dibagi oleh fungsi g(x)=x-1, maka sisa dan hasil baginya adalah ...
karena pembaginya memiliki pangkat 1 maka Dengan langkah-langkah seperti pada kotak, kita perlu meilhat koefisien dari pangkat tertinggi hingga terendah dan dimasukan ke dalam bagan horner, namun sebelum itu cari dulu pembuat nol pembaginya, yaitu.
\begin{align} x-1 &=0 \\ x &= 1 \end{align}
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah 0 dan
Hasil baginya adalah x^3-3x^2+3x-1
\begin{align} x-1 &=0 \\ x &= 1 \end{align}
maka dengan theorama horner diperoleh ( jeli melihat koefisen fungsi, dan hati-hati dalam menghitungnya )
dari gambar di atas maka yang di dalam lingkaran merah adalah sisanya, sehingga
sisa pembagiannya adalah 0 dan
Hasil baginya adalah x^3-3x^2+3x-1
Soal No 5
Diketahui sebuah fungsi f(x) =x^{2024}+...4x^{100}+...+1 maka derajat hasil pembagian f(x) oleh g(x)=x^{1002}+...+x^{78}+...+2 adalah ...
Penting diingat, apabila suatu fungsi f(x) dibagi dengan fungsi g(x) maka sisa dari hasil baginya akan memiliki pangkat 1 kurangnya dari pangkat pembaginya. Misal apabila pembagi memiliki derajat / pangkat tertingginya 2 maka sisa pembagianya adalah fungsi derajat 1 atau pangkat tertingginya 1, begitupula seterusnya.
Dalam soal pangkat tertinggi pembaginya adalah 1002 maka sisa dari hasil baginya pasti memiliki derajat/pangkat tertinggi 1001
Dalam soal pangkat tertinggi pembaginya adalah 1002 maka sisa dari hasil baginya pasti memiliki derajat/pangkat tertinggi 1001
Tidak ada komentar:
Posting Komentar