Teorema Faktor

Suatu bentuk polinomial mungkin terbentuk dari perkalian polinomial lain, atau mungkin juga polinomial tidak bisa disederhanakan menjadi bentuk perkalian polinomial lainnya. Apabila suatu polinomial dapat disajikan ke dalam bentuk perkalian polinomial lain maka polinomial tersebut memiliki faktor atau pembuat nol fungsi. Jika diingat pembelajaran di bangku sekolah menengah pertama pada Bab Persamaan Kuadrat sudah diajarkan bagaimana cara memfaktorkan suatu fungs kuadrat, nah dalam pembahasan kali ini, akan dibahas mengenai cara memfaktorkan suatu polinomial. Silahkan simak penjelasan berikut ini.

Hal Penting
1. Apabila diketahui suatu fungsi $f(x)$ maka $(x-a)$ merupakan faktor dari fungsi $f(x)$ apabila $f(a)=0$.
2. Apabila $f(a)=0$ maka apabila fungsi $f(x)$ dibagi oleh $(x-a)$ akan memberikan sisa $0$ atau $a$ adalah pembuat nol fungsi $f(x)$

Cara Menemukan Faktor
Berikut akan dijelaskan bagaimana cara menemukan faktor dari suatu polinomial. silahkan ikuti langkah-langkahnya.
1. Misalkan diketahui suatu polinomial $f(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+...+a_n$.
2. Temukan faktor dari $\frac{a_n}{a_1}$
3. Substitusi nilai faktor yang diperoleh ke fungsi $f(x)$ dan pilih nilai faktor yang membuat $f(x)=0$ misalkan nilai yang membuat nol adalah $b$
4. Bagi fungsi $f(x)$ dengan pembagi $(x-b)$ dengan cara horner $($ agar lebih mudah $)$
5. Dari langkah 4 akan ditemukan sisa pembagian, kemudian ulangi langkah 1 - 4 terhadap sisa pembagian hingga ditemukan bentuk yang paling sederhana.

Ingat pula setelah suatu fungsi difaktorkan maka pembuat nol dari faktornya akan disebut dengan akar dari suatu fungsi, sehingga banyak akar dari suatu fungsi maksimak sebanyak pangkat tertinggi polinomial dan mungkin juga suatu polinomial tidak memiliki faktor atau tidak memiliki akar. Pada fungsi kuadrat suatu fungsi yang tidak memiliki akar disebut dengan definit positif dan definit negatif. Agar lebih paham dengan teorema faktor ini, silahkan simak beberapa contoh soal berikut

Contoh Soal

Soal No 1

Coba selidiki apakah $(x-1)$ merupakan faktor dari fungsi $f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$ ... .

Sesuai teorema yang dijelaskan diatas, maka untuk melihat apakah $(x-1)$ faktor dari $f(x)$, maka cari dulu pembuat nol faktornya yaitu.
$ \begin{align} x-1 &=0 \\ x &= 1 \end{align}$
langkah selanjutnya cek, apakah $f(1)=0$
$f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$
$f(1) =1^4-5.1^3+5.1^2+5.1-6$
$f(1) =1-5+5+5-6$
$f(1) =0$

karena $f(1) =0$ maka dapat disimpulkan bahwa $(x-1)$ adalah faktor dari $f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$

Soal No 2

Coba selidiki apakah $(x+2)$ merupakan faktor dari fungsi $f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$ ... .

Sesuai teorema yang dijelaskan diatas, maka untuk melihat apakah $(x+2)$ faktor dari $f(x)$, maka cari dulu pembuat nol faktornya yaitu.
$ \begin{align} x+2 &=0 \\ x &= -2 \end{align}$
langkah selanjutnya cek, apakah $f(-2)=0$
$f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$
$f(-2) =(-2)^4-5.(-2)^3+5.(-2)^2+5.(-2)-6$
$f(-2) =16+40+20-10-6$
$f(-2) =60$

karena $f(-2) =60$ maka dapat disimpulkan bahwa $(x+2)$ bukan faktor dari $f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$

Soal No 3

Temukan semua faktor dari fungsi $f(x) =x^3-6x^2+11x-6$ ... .

Sesuai teorema pada kotak diatas, temukan faktor dari $\frac{a_n}{a_1}=\frac{-6}{1}=6$, maka ingat faktor dari -6 adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Uji salah satu nilai faktornya, misal ambil $x=-1$ maka
$f(-1)=x^3-6x^2+11x-6$
$f(-1)=(-1)^3-6(-1)^2+11(-1)-6$
$f(-1)=-1-6-11-6$
$f(-1)=-2$

karena tidak nol, maka uji nilai $x$ yang lain, misal $x=1$
$f(1)=x^3-6x^2+11x-6$
$f(1)=(1)^3-6(1)^2+11(1)-6$
$f(1)=1-6+11-6$
$f(1)=0$

karena $f(1)=0$ maka $(x-1)$ adalah salah satu faktor $f(x)$ dan selanjutnya gunakan 1 sebagai pembagi untuk $f(x)$ sehingga dengan cara horner diperoleh.

Maka sesuai cara horner diatas diperoleh hasil bagi $x^2-5x+6$ sehingga diperoleh hubungan.
$f(x)=(x-1).H(x)$
$f(x)=(x-1).(x^2-5x+6)$..... Faktorkan
$f(x)=(x-1).(x-2).(x-3)$

maka faktor dari $f(x)$ adalah $(x-1),(x-2)$ dan $(x-3)$

Soal No 4

Temukan semua faktor dari fungsi $f(x) =x^4+3x^3-11x^2-3x+10$ ... .

Sesuai teorema pada kotak diatas, temukan faktor dari $\frac{a_n}{a_1}=\frac{10}{1}=10$, maka ingat faktor dari 10 adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$. Uji nilai faktornya yang membuat $f(x)=0$, misal ambil $x=-1$ maka
$f(x)=x^4+3x^3-11x^2-3x+10$
$f(-1)=(-1)^4+3(-1)^3-11(-1)^2-3(-1)+10$
$f(-1)=1-3-11+3+10$
$f(-1)=0$

karena $f(-1)=0$ maka $(x+1)$ adalah salah satu faktor $f(x)$ dan selanjutnya gunakan -1 sebagai pembagi untuk $f(x)$ sehingga dengan cara horner diperoleh.

Maka sesuai cara horner diatas diperoleh hasil bagi $x^3+2x^2-13x+10$. Karena hasil baginya masih merupakan pangkat 3 maka sulit menemukan faktornya secara langsung, sehingga perlu diulangi langkah sebelumnya yaitu, Temukan faktor dari $\frac{10}{1}$ yaitu sama seperti diatas. Sehingga ambil $x = 1$ unutk mengujinya. maka diperoleh.
$f(x)=x^4+3x^3-11x^2-3x+10$
$f(1)=(1)^4+3(1)^3-11(1)^2-3(1)+10$
$f(1)=1+3-11-3+10$
$f(1)=0$

Maka gunakan 1 sebagai pembagi pada cara horner, sehingga diperoleh.

karena sisa sudah pangkat 2 maka bisa langsung divari faktornya.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
$f(x)=(x+1).(x-1).(x^2+3x-10)$
$f(x)=(x+1).(x-1).(x+5).(x-2)$

maka faktor dari $f(x)$ adalah $(x-1),(x+1),(x-2)$ dan $(x+5)$

Soal No 5

Jika $(x-2)$ adalah faktor dari $f(x) =x^5+x^3-ax^2-3x+10$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ... .

Karena $(x-2)$ adalah faktor dari $f(x)$ maka sisa pembagiannya adalah $0$ atau $f(2)=0$ sehingga
$f(x)=x^5+x^3-ax^2-3x+10$
$f(2)=2^5+2^3-a.2^2-3.2+10$
$0=32+8-4a-6+10$
$0=-4a+44$
$4a=44$
$a=11$

Maka nilai yang memenuhi adalah $11$