Teorema Sisa

Sebelum mempelajari tentang konsep dari teorema sisa, akan sangat berguna apabila sudah memahami lebih dulu apa itu faktor dari polinomial yang telah dibahas pada materi sebelumnya yaitu Teorema Faktor dan Konsep Pembagian Polinomial ataupun pembagian bilangan. Pada intinya apabila dikaitkan dengan pembagian bilangan, kita harus bisa melihat hubungan yang mana hasil dan yang mana sisanya, sebagai contoh, $7:2=3$ sisa $1$ atau bisa juga dituliskan $7 = 2.3 + 1$, sehingga berdasarkan bayangan tersebut dapat diturunkan sebuah teorema yang sering disebut Teorema sisa. Berikut penjelasanya.

Hal Penting
1. Jika suatu fungsi $f(x)$ dibagi oleh $(ax-b)$ maka sisanya adalah $f\left ( \frac{b}{a} \right )$
2. Jika suatu fungsi $f(x)$ dibagi oleh $(x-a)(x-b)$ dengan sisa $px+q$ maka berlaku $f(a)=pa+q$ dan $f(b)=pb+q$

Bentuk Umum
Apabila diketahui suatu fungsi $f(x)$ dibagi oleh $Pe(x)$ dan memiliki hasil $H(x)$ dan sisa $S(x)$ maka dapat dituliskan sebagai berikut.
$f(x)=Pe(x).H(x)+S(x)$

Yang harus diingat dalam teorema ini adalah bentuk umumnya, karena hampir semua permasalahan teorema sisa ataupun teorema faktor dapat diselesaikan apabila pembagi, hasil bagi, sisa dan fungsinya disajikan ke dalam bentuk umumnya. Untuk lebih memahami mengenai teorema sisa, maka perhatikan dan simak beberapa contoh soal berikut.

Contoh Soal

Soal No 1
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =x^3+5x^2+5x-6$ akan dibagi oleh fungsi $g(x)=2x-4$, maka temukan sisa pembagian $f(x)$ oleh $g(x)$ ... .

Sesuai teorema yang dijelaskan diatas, maka untuk melihat sisa pembagian $f(x)$ oleh $g(x)$, maka harus ditemukan dulu pembuat nol pembaginya yaitu.
$ \begin{align} 2x-4 &=0 \\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \end{align}$
maka sisa pembagianya adalah $f(2)$
$f(x) =x^4-5x^3+5x^2+5x-6$
$f(2) =(2)^3+5.(2)^2+5.(2)-6$
$f(2) =8+20+10-6$
$f(2) =32$

maka sisa pembagianya adalah 2.

Soal No 2
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =2x^4-x^2-x+a$ memiliki sisa $20$ apabila dibagi oleh $g(x)=x-1$, maka nilai a yang mungkin adalah ...

Sesuai teorema maka temukan pembuat nol pemgainya lebih dulu, yaitu.
$ \begin{align} x-1 &=0 \\ x &= 1 \end{align}$
karena $f(x)$ dibagi oleh $g(x)$ memiliki sisa $20$ maka akan berlaku $f(1)=20$ sehingga
$f(x) =2x^4-x^2-x+a$
$f(1) =2(1)^4-(1)^2-(1)+a$
$20 =2-1-1+a$
$20 =a$

maka nilai a yang mungkin adalah $20$

Soal No 3
Apabila diketahui sebuah fungsi $f(x) =2x^4-x^2-bx+a$ memiliki sisa $20$ apabila dibagi oleh $(x-1)$, dan bersisa $10$ jika dibagi oleh $(x+1)$ maka nilai $a+b$ yang mungkin adalah ...

perhatikan pembuat nol dari pembaginya adalah $1$ dan $-1$, maka sesuai hal penting yang ditulis diatas maka berlaku.
$f(1)=20$ dan $f(-1)=10$
maka untuk $f(1)=20$ substitusi $x=1$ ke fungsinya, sehingga
$f(x)=2x^4-x^2-bx+a$
$f(1)=2(1)^4-(1)^2-b(1)+a$
$20 = 2-4-b+a$
$22 = -b+a$ ....... $(1)$

maka untuk $f(-1)=10$ substitusi $x=-1$ ke fungsinya, sehingga
$f(x)=2x^4-x^2-bx+a$
$f(-1)=2(-1)^4-(-1)^2-b(-1)+a$
$20 = 2-4+b+a$
$22 = b+a$ ........ $(2)$

Jika dilihat dari yang ditanyakan di soal yaitu nilai dari $a+b$ maka dari persamaan 2 langsung terjawab nilainya yaitu $22$, namun nilai $a$ dan $b$ bisa diperoleh dengen mengeliminasi persaman 1 dan 2

Soal No 4
suatu Fungsi $f(x)$ akan habis bersisa $5$ jika dibagi $(x-2)$ dan bersisa $12$ jika dibagi oleh $(x-1)$ maka sisa pembagian $f(x)$ oleh $×^2-3x+2$ adalah ...

perhatikan pembuat nol dari pembaginya adalah $2$ dan $1$, maka sesuai hal penting yang ditulis diatas maka berlaku.
$f(2)=5$ dan $f(1)=12$
maka karena pembaginya adalah fungsi kuadrat maka sisa pembagianya bisa dimisalkan dalam bentuk $ax+b$ dan sesuai teorema sisa hubungan hasil, sisa dan pembagi dapat ditulis dalam bentuk.
$f(x)=Pe(x).H(x)+S(x)$
$f(x)=(x^2-3x+2)H(x)+(ax+b)$
$f(x)=(x-2)(x-1)H(x)+(ax+b)$

ambil nilai pembuat nol dari pembaginya, yaitu $1$ dan $2$,
untuk $x=1$ maka
$f(1)=(1-2)(1-1)H(x)+(a(1)+b)$
$f(1)=(-1)(0)H(x)+(a(1)+b)$
$12=a+b$...........$(1)$

untuk $x=2$ maka
$f(2)=(2-2)(1-1)H(x)+(a(2)+b)$
$f(2)=(0)(1)H(x)+(a(2)+b)$
$5=2a+b$...........$(2)$

Eliminasi persamaan 1 dan 2 maka akan diperoleh nilai $a=-7$ dan $b=22$. maka sisa pembagian dari fungsi $f(x)$ adalah
$=ax+b$
$=-7x+22$

Soal No 5
Agar suatu Fungsi $\frac {x^2-px-12}{x^2+5x+6}$ memiliki sisa bilangan bulat maka salah satu nilai p yang mungkin adalah ...

Agar pecahan dapat disederhanakan maka salah satu dari faktor pembilangnya adalah faktor dari penyebutnya, maka salah satu faktor dari pembilang adalah faktor penyebut yaitu $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

misalkan $f(x)=x^2-px-12$ sesuai teorema diatas diperoleh, untuk faktor $(x+2)$ maka berlaku
$f(-2)=0$
$(-2)^2-p.(2)-12=0$
$4-2p-12=0$
$2p=-8$
$p=-4$

maka salah satu nilao $p$ yang mungkin adalah $-4$ silahkan cek nilai p yag lain untuk faktornya $(x+3)$