Teorema Vieta

Teorema vieta merupakan salah satu teorema yang membahas tentang hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial, baik jumlah akar, hasil kali akar maupun hasil kali berurutan dari akar-akar polinomial. Sebelum membahas lebih jauh tentang akar dari polinomial, harus dipahami dulu bahwa setiap pulinomial derajat n $($ pangkat tertinggi n $)$ maka polinomial tersebut maksimal memiliki sebanyak n akar dan mungkin tidak memiliki akar $($ akar imajiner $)$ sehingga dalam teorema vieta akan berlaku.

Teorema Vieta

1	Jika diketahui $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $ax^2+bx+c=0$ maka berlaku $x_1+x_2=-\frac{-b}{a}$ $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2	Jika diketahui $x_1,x_2$ dan $x_3$ adalah akar-akar dari $ax^3+bx^2+cx+d=0$ maka berlaku $x_1+x_2+x_3=-\frac{-b}{a}$ $x_1.x_2 +x_1.x_3+x_2.x_3 =\frac{c}{a}$ $x_1.x_2.x_3 =-\frac{d}{a}$
3	Jika diketahui $x_1,x_2,x_3$ dan $x_4$ adalah akar-akar dari $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ maka berlaku $x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{-b}{a}$ $x_1.x_2 +x_1.x_3+ ... + x_3.x_4 =\frac{c}{a}$ $x_1.x_2.x_3 +x_1.x_2.x_4+...+x_2.x_3.x_4 =-\frac{d}{a}$ $x_1.x_2.x_3.x_4 =\frac{e}{a}$

Bentuk diatas bisa diperumum untuk suatu polinomial dengan pangkat yang lebih tinggi.

Dalam penyelesaian soal teorema vieta sangat diperlukan kerampilan aljabar dasar untuk mengubah bentuk yang ditanya menjadi bentuk yang diketahui, sehingga agar mampu memahami teorema vieta dengan baik sangat diharapkan unutk banyak-banyak latihan soal, berikut disajikan beberapa conoth soal teorema vieta.

Contoh Soal

Soal No 1
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah faktor dari fungsi $f(x)=x^2-5x-3$ maka nilai dari $x_1^2+x_2^2$ adalah ... .

Sesuai penjelasan diatas akan diperoleh jumlah dan hasil kali akarnya adalah.
$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-(-5)}{1}=5$
$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$

kemudian paksalah bentuk yang ditanyakan menjadi bentuk yang diketahui, sehingga kita mulai dari $(x_1+x_2)^2$ maka

$\begin{align} (x_1+x_2)^2 &= (x_1+x_2)(x_1+x_2) \\ (x_1+x_2)^2 &= x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 \\ (x_1+x_2)^2&= x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 \\ x_1^2+x_2^2 &= 2x_1x_2-(x_1+x_2)^2 \end{align}$

hubungkan dengan yang diketahui sehingga
$\begin{align} x_1^2+x_2^2 &= 2x_1x_2 -(x_1+x_2)^2 \\ &= -3 - (5)^2 \\ &= -3 - 25 \\ &= -28 \end{align}$

maka nilai dari $x_1^2+x_2^2$ adalah $28$

Soal No 2
Hasil kali akar plinomial $(2x-3)(3x-1)(x-5)^2-(x-3)(x-1)^3$ adalah ... .

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menemukan bentuk umum dari polinomial dengan mengoperasikan bentuk diatas, sehingga diperoleh.

$=(2x-3)(3x-1)(x-5)^2-(x-3)(x-1)^3$
$=(6x^2-11x+3)(x^2-10x+25)-(x-3)(x^3-3x^2+3x-1)$
$=(6x^4-71x^3+263x^2-305x+75)-(x^4-6x^3+12x^2-10x+3)$
$=5x^4-65x^3+251x^2-295x+72$

Sehingga sesuai teorema diatas polinomial tersebut memiliki maksimal 4 akar, sehingga hasil kalinya diperoleh
$ \begin{align} x_1.x_2.x_3.x_4 &= \frac{e}{a} \\ & =\frac{72}{5} \\ &= 14 \frac{2}{5} \end{align}$