Kesamaan merupakan salah satu materi yang erat kaitanya dengan matematika, tidak hanya kesamaan matriks, pada polinomial juga dibahas mengenai kesamaan polinomial, dimana dua buah polinomial akan dikatakan sama apabila memenuhi beberapa syarat. Berikut akan dijelaskan beberapa syarat mengenai keamaan polinomial.
Kesamaan Polinomial
secara sederhana 2 buah polinomial dikatakan sama apabila koefisien suku-suku yang sama memiliki variabel yang sama, semisal diketahui
$F(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+ ... +a_{n-1}x+ a_n$
$G(x)=b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+ ... +b_{n-1}x+ b_n$
maka berlaku :
$a_1=b_1$
$a_2=b_2$
$a_3=b_3$
...
$a_{n-1}=b_{n-1}$
secara sederhana 2 buah polinomial dikatakan sama apabila koefisien suku-suku yang sama memiliki variabel yang sama, semisal diketahui
$F(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+ ... +a_{n-1}x+ a_n$
$G(x)=b_1x^n+b_2x^{n-1}+b_3x^{n-2}+ ... +b_{n-1}x+ b_n$
maka berlaku :
$a_1=b_1$
$a_2=b_2$
$a_3=b_3$
...
$a_{n-1}=b_{n-1}$
Dalam penyelesaian soal persamaan polinomial berfikirlah untuk membuat bentuk persamaan di kanan dan kirinya menjadi equivalen, sehingga setiap koefisien dengan suku yang sama dapat disamakan. Agar lebih paham mengenai persamaan polinomial berikut beberapa conoth soal yang dapat dipahami oleh siswa.
Contoh Soal
Soal No 1Jika diketahui fungsi $x^3+bx^2-3x+6 \equiv ax^3-cx+d$ maka nilai dari $a+b+c+d$ adalah ... .
Sesuai dengan konsep kesamaan polinomial maka samakan setiap koefisien di suku yang sama, oleh sebab itu
$x^3=ax^3$ maka $a=1$
$bx^2=0x^2$ maka $b = 0$, perhatikan polinomial di sebalah kanan terlihat jelas bahwa suku dari $x^2$ tidak ada
$-3x=-cx$ maka $c=3$
$6=d$
Sehingga nilai dari $a+b+c+d=1+0+3+6=10$
$x^3=ax^3$ maka $a=1$
$bx^2=0x^2$ maka $b = 0$, perhatikan polinomial di sebalah kanan terlihat jelas bahwa suku dari $x^2$ tidak ada
$-3x=-cx$ maka $c=3$
$6=d$
Sehingga nilai dari $a+b+c+d=1+0+3+6=10$
Soal No 2
Temukan nilai $a$ apabila diketahui $x^2-3x+23 \equiv (x-1)(x-2)+2a$ ... .
untuk dapat menyamakan koefisiennya maka operasikan dulu bentuk polinomial di sebelah kanannya, sehingga.
$ \begin{align} x^2-3x+20 & \equiv (x-1)(x-2)+2a \\ & \equiv x^2-3x+3+2a \end{align}$
Jika diperhatikan maka koefisien dari $x^2$ dan $x$ sudah sama, sehingga haruslah
$ 23 &= 3+2a \\ 23-3& =2a \\ \frac{20}{2}& =2a \\ 10 & =a \end{align}$
Maka nilai $a=10$
$ \begin{align} x^2-3x+20 & \equiv (x-1)(x-2)+2a \\ & \equiv x^2-3x+3+2a \end{align}$
Jika diperhatikan maka koefisien dari $x^2$ dan $x$ sudah sama, sehingga haruslah
$ 23 &= 3+2a \\ 23-3& =2a \\ \frac{20}{2}& =2a \\ 10 & =a \end{align}$
Maka nilai $a=10$
Soal No 3
Temukan nilai $A+B$ apabila diketahui $\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1} \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2}$ ... .
Jika menemukan soal bentuk ini, maka samakan penyebut bentuk polinomial di sebalah kiri dengan cara mengalikan silang, sehingga diperoleh
$ \begin{align} \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \\ \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x-1)(x+2)} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \\ \frac{Ax-A+Bx+2B}{x^2+x-2} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \end{align}$
Pada langkah ini, penyebut polinomial di kiri dan kanan sudah sama sehingga bisa disederhanakan menjadi
$ \begin{align} Ax-A+Bx+2B & \equiv 2x+3 \\ (A+B)x-A+2B & \equiv 2x+3 \end{align}$
setelah suku-sukunya dikumpulkan, maka tahap akhirnya adalah dengan cara menyamakan koefisien suku-suku sejenis, diperoleh
$A+B =2$ dan $-A+2B=3$
Karena di dalam soal yang ditanya adalah nilai dari $A+B$ maka dengan langsung nilainya diperoleh $=2$. Namun untuk menemukan nilai $A$ dan $B$ secara terpisah, bisa dilakukan dengan cara Substitusi atau Eliminasi
$ \begin{align} \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \\ \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x-1)(x+2)} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \\ \frac{Ax-A+Bx+2B}{x^2+x-2} & \equiv \frac{2x+3}{x^2+x-2} \end{align}$
Pada langkah ini, penyebut polinomial di kiri dan kanan sudah sama sehingga bisa disederhanakan menjadi
$ \begin{align} Ax-A+Bx+2B & \equiv 2x+3 \\ (A+B)x-A+2B & \equiv 2x+3 \end{align}$
setelah suku-sukunya dikumpulkan, maka tahap akhirnya adalah dengan cara menyamakan koefisien suku-suku sejenis, diperoleh
$A+B =2$ dan $-A+2B=3$
Karena di dalam soal yang ditanya adalah nilai dari $A+B$ maka dengan langsung nilainya diperoleh $=2$. Namun untuk menemukan nilai $A$ dan $B$ secara terpisah, bisa dilakukan dengan cara Substitusi atau Eliminasi
Soal No 4
Temukan nilai $a+b+c$ apabila diketahui $x^2+3+4 \equiv (ax+b)(x+2)+c$ ... .
Jika menemukan soal bentuk ini, maka sederhanakan bentuk polinomial di kanan dengan cara mengalikannya dan mengumpulkan suku-suku yang sejenis, maka diperoleh
$ \begin{align} x^2+3+4 & \equiv (ax^2+2ax+bx+2b)+c \\ x^2+3+4 & \equiv ax^2+(2a+b)x+2b+c \\ \end{align}$
Pada langkah ini, penyebut polinomial di kiri dan kanan sudah sama sehingga bisa disederhanakan menjadi
maka dengan sifat kesamaan polinomial akan diperoleh
$a=1$
$ \begin{align} 2a+b & = 3 \\ 2.(1)+b &=3 \\ b &= 3-2 \\ b &= 1 \end{align}$
$ \begin{align} 2b+c & = 4 \\ 2.(1)+c &=4 \\ c &= 4-2 \\ c &= 2 \end{align}$
Maka nilai dari
$ \begin{align} a+b+c & = 1+1+2 \\ &=4 \end{align}$
$ \begin{align} x^2+3+4 & \equiv (ax^2+2ax+bx+2b)+c \\ x^2+3+4 & \equiv ax^2+(2a+b)x+2b+c \\ \end{align}$
Pada langkah ini, penyebut polinomial di kiri dan kanan sudah sama sehingga bisa disederhanakan menjadi
maka dengan sifat kesamaan polinomial akan diperoleh
$a=1$
$ \begin{align} 2a+b & = 3 \\ 2.(1)+b &=3 \\ b &= 3-2 \\ b &= 1 \end{align}$
$ \begin{align} 2b+c & = 4 \\ 2.(1)+c &=4 \\ c &= 4-2 \\ c &= 2 \end{align}$
Maka nilai dari
$ \begin{align} a+b+c & = 1+1+2 \\ &=4 \end{align}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar