Merasionalkan Bentuk Akar

Ketika kita menyelesaikan permasalahan matematika yang berkaitan dengan bilangan berpangkat atau bilangan bentuk akar, maka sering sekali kita dihadapkan dengan hasil perhitungan yang bentuk akar yang ada di penyebut pecahan. Nah hal inilah yang pada pembelajaran kali ini akan di bahas, dimana merasionalkan bentuk akar adalah bagaimana cara kita untuk menghilangan bentuk akar yang pada penyebut pecahan atau bentuk merasionalkan bentuk akar biasa. Nah berikut ini akan dijelaskan beberapa metode yang dapat dilakukan untuk merasinalkan bentuk akar.

Merasionalkan Bentuk Akar

• Jika diketahui bentuk akar $\frac{a}{\sqrt{b}}$, maka cara merasionalkanya adalah dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$
• Jika diketahui bentuk akar $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ maka cara merasionakannya dengan cara mengalikan dengan $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
• jika diketahui bentuk akar $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$ maka cara merasionakannya dengan cara mengalikan dengan $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
• Jika diketahui bentuk $\sqrt{(a+b)+2.\sqrt{a.b}}$ maka bentuk sederhannya adalah $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• jika diketahui bentuk $\sqrt{(a+b)-2.\sqrt{a.b}}$ maka bentuk sederhannya adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Jika masih belum paham, silahkan simak video pembuktian dan pengertiannya dibawah ini

Pembuktian rumus bentuk 4 dan 5.
$($ LINK ALTERNATIF JIKA VIDEO TIDAK KELIHATAN $)$

Untuk lebih memahami materi merasionalkan bentuk akar silahkan perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Cobalah rasionalkan bentuk akar $\frac{2}{\sqrt{5}}$... .

sesuai cara 1 pada catatan diatas, kita peroleh
$\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{5}} & = \frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ & = \frac{2.\sqrt{5}}{5}\\ \end{align*}$

maka hasilnya adalah $\frac{2.\sqrt{5}}{5}$

--- Soal No 2 ---

Cobalah rasionalkan bentuk akar $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$... .

sesuai cara 2 pada catatan diatas, kita peroleh
$\begin{align*} \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} & = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \\ & = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{7-5} \\ & = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{2} \\ & = \sqrt{7}-\sqrt{5} \end{align*}$

maka hasilnya adalah $\sqrt{7}-\sqrt{5}$

--- Soal No 3 ---

Cobalah rasionalkan bentuk akar $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{12}}$... .

sesuai dengan cara 3 pada catatan diatas, kita peroleh
$\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}-\sqrt{12}} & = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}-2\sqrt{12}}.\frac{\sqrt{15}+\sqrt{12}}{\sqrt{15}+\sqrt{12}}\\ & = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{15}-\sqrt{12})}{15-12} \\ & = \frac{\sqrt{45}-\sqrt{36})}{3} \\ & = \frac{\sqrt{9.5}-6}{3} \\ & = \frac{3\sqrt{5}-6}{3} \\ & = \frac{3(\sqrt{5}-2)}{3} \\ & = \sqrt{5}-2 \end{align*}$

maka hasilnya adalah $\sqrt{5}-2$

--- Soal No 4 ---

Cobalah sederhanakan bentuk akar $\sqrt{9+2\sqrt{14}}$... .

Menyederhanakan bentuk soal ini dapat digunakan sifat ke 4 dimana kita harus bisa mengubah bentuk soal menjadi bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$, sehingga kita harus bisa menemukan dua buah bilangan dimana $a+b=9$ dan $a,b=14$ maka akan diperoleh

$\begin{align*} \sqrt{9+2\sqrt{14}} & = \sqrt{(7+2)+2\sqrt{7.2}}\\ & = \sqrt{7}+\sqrt{2}\\ \end{align*}$

maka hasilnya adalah $\sqrt{7}+\sqrt{2}$

--- Soal No 5 ---

Cobalah sederhanakan bentuk akar $\sqrt{15-4\sqrt{14}}$... .

Menyederhanakan bentuk soal ini dapat digunakan sifat ke 4 dimana kita harus bisa mengubah bentuk soal menjadi bentuk $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$, sehingga kita perlu memodifikasi soal agar menjadi bentuk yang umum yang diketahui.

$\begin{align*} \sqrt{15-4\sqrt{14}} & = \sqrt{15-2.4\sqrt{14}}\\ & = \sqrt{15-2.\sqrt{4}.\sqrt{14}}\\ & = \sqrt{15-2.\sqrt{4.14}}\\ & = \sqrt{15-2.\sqrt{56}}\\ & = \sqrt{(7+8)-2.\sqrt{7.8}}\\ & = \sqrt{8}-\sqrt{7} \\ & = \sqrt{4.2}-\sqrt{7} \\ & = 2\sqrt{2}-\sqrt{7} \\ \end{align*}$

maka hasilnya adalah $2\sqrt{2}+\sqrt{7}$

--- Soal No 6 ---

Cobalah sederhanakan bentuk akar $\frac{70}{\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{12}}$... .

Dengan mengelompokan penyebut bilangan diatas, dan menerapkan sifat yang ke dua dan ketiga maka akan diperoleh

$\begin{align*} \frac{70}{\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{12}} & = \frac{70}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})-\sqrt{12}}\\ & = \frac{70}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})-\sqrt{12}}.\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{7})+\sqrt{12}}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})+\sqrt{12}}\\ & = \frac{70.(\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{12})}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2- 12 }\\ & = \frac{70.(\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{4.3})}{5+\sqrt{35}+7- 12 }\\ & = \frac{70.(\sqrt{5}+\sqrt{7}-2\sqrt{3})}{\sqrt{35}}.\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}\\ & = \frac{70.\sqrt{35}.(\sqrt{5}+\sqrt{7}-2\sqrt{3})}{35}\\ & = 2.\sqrt{35}.(\sqrt{5}+\sqrt{7}-2\sqrt{3})\\ & = 2.(\sqrt{35.5}+\sqrt{35.7}-2\sqrt{35.3})\\ & = 2.(\sqrt{7.5.5}+\sqrt{5.7.7}-2\sqrt{105})\\ & = 2.(5\sqrt{7}+7\sqrt{5}-2\sqrt{105})\\ \end{align*}$

maka hasilnya adalah $2.(5\sqrt{7}+7\sqrt{5}-2\sqrt{105})$