Ketaksamaan QM -AM - GM - HM

ketaksamaan Rataan Kuadrat $(QM)$, Rataan Aritmatika $(AM)$, Rataan Geometri $(GM)$ dan Rataan Harmonik $(HM)$ merupakan suatu metode yang dapat dimanfaatkan untuk menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu bentuk aljabar. Dengan metode ini juga memungkinkan untuk menemukan banyaknya pasangan nilai yang memenuhi suatu persamaan. secara umum hubungan ketaksamaan ini adalah
$QM \geq AM \geq GM \geq HM$
dimana nilai QM -AM - GM - HM adalah sebagai berikut.

Rataan Kuadrat $(QM)$

Jika diketahui $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ adalah bilangan real non negatif maka rataan kuadratnya $(QM)$ adalah $\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2}{n}}$

Rataan Aritmatika $(AM)$

Jika diketahui $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ adalah bilangan real non negatif maka rataan Aritmatikanya $(AM)$ adalah $\frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}$

Rataan Geometri $(GM)$

Jika diketahui $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ adalah bilangan real non negatif maka rataan Geometrinya $(GM)$ adalah $ \sqrt[n]{x_1.x_2.x_3. . .x_n}$

Rataan Harmonik $(HM)$

Jika diketahui $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ adalah bilangan real non negatif maka rataan Harmoniknya $(HM)$ adalah $\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+...+\frac{1}{x_n}}$

Untuk lebih memahami materi Ketaksamaan QM -AM - GM - HM perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Jika diketahui $p,q,r > 0$ dan $p+q+r=1$, maka buktikan bahwa nilai dari $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

ambil 3 suku berlainan yaitu $p,q,r$ kemudian dengan menggunakan ketaksamaan $AM \geq HM$ maka akan diperoleh.
$\begin{align*} \frac{p+q+r}{3} & \geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}\\ \frac{1}{3}&\geq \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}} \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}&\geq 3.3 \\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}&\geq 9 \\ \end{align*}$

dengan ketaksamaan $AM \geq HM$ terbukti bahwa $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\geq 9$

--- Soal No 2 ---

Tunjukan benar bahwa untuk setiap bilangan real positif $a,b$ berlaku $a^2+b^2 \geq 2ab $

ambil 2 suku berlainan yaitu $a,b$ sesuai dengan soal kemudian dengan menggunakan ketaksamaan $QM \geq GM$ maka akan diperoleh.
$\begin{align*} \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} & \geq \sqrt{a.b} \\ \frac{a^2+b^2}{2} & \geq ab \\ a^2+b^2 & \geq 2ab \\ \end{align*}$

dengan ketaksamaan $QM \geq GM$ terbukti bahwa $a^2+b^2 \geq 2ab $

--- Soal No 3 ---

Untuk setiap $x > 0$ maka nilai minimum dari $x+\frac{1}{x^2}$ adalah ... .

pada bentuk soal ini jika diambil langsung dua nilai yaitu $x$ dan $\frac{1}{x^2}$ maka akan susah menyederhanakan bentuk AM - GM, sehingga perlu kita modifikasi bentuk soalnya dimana karena $x+\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}$ maka ambil 3 suku yaitu $\frac{x}{2},\frac{x}{2}$ dan $\frac{1}{x^2}$. Kemudian dengan persamaan AM - GM akan diperoleh
$\begin{align*} \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{1}{x^2}}{3} & \geq \sqrt[3]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.\frac{1}{x^2}} \\ {x+\frac{1}{x^2}} & \geq 3. \sqrt[3]{\frac{x^2}{4x^2}} \\ x+\frac{1}{x^2} & \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \\ \end{align*}$

dengan ketaksamaan $QM \geq GM$ maka nilai terkecil dari $x+\frac{1}{x^2}$ adalah $3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$