Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel (CS Engel) merupakan suatu bentuk aljabar yang sangat efektif untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan ketaksamaan untuk menemukan nilai maksimum dan minimum yang sering muncul dalam soal-soal olimpiade, selain theorema ini pahami juga bentuk QM-AM-GM-HM karena keduanya memiliki suatu kesamaan yang hampir sama. Pada ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel kita dituntut untuk mampu memiliki kemampuan memilih suatu bentuk aljabar sehingga apa yang ingin dihitung atau dibuktikan dapat terselesaikan. Berikut adalah bentuk umum dari Chaucy Schwarz Engel yangharus diingat.
Untuk lebih memahami materi Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel ( CS Engel ) perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
--- Soal No 1 ---
Jika diketahui a dan b adalah bilangan real positif, cobalah buktikan kebenaran dari ketaksamaan 8(a^4+b^4) \geq (a+b)^4
Ambil kesamaan bahwa bentuk a^4=\frac{a^4}{1} dan b^4=\frac{b^4}{1}, sehingga dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel 2 akan diperoleh bentuk
\begin{align*} \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{1+1}\\ & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} ...... (1)\\ \end{align*}
kemudian bentuk pembilang yang dikanan terapkan pula ketaksamaan chaucy dengan mengambil bentuk a^2=\frac{a^2}{1} dan b^2=\frac{b^2}{1}, sehingga diperoleh.
\begin{align*} \frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1} & \geq \frac{(a+b)^2}{1+1}\\ & \geq \frac{(a+b)^2}{2} ..... (2) \\ \end{align*}
kemudian substitusikan persamaan (2) dengan (1) akan diperoleh,
\begin{align*} \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{1+1} & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^2}{2} \right )^2}{1+1}\\ \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^2}{2} \right )^2}{1+1}\\ a^4 + b^4 & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^4}{4} \right )}{2}\\ a^4 + b^4 & \geq \frac{(a+b)^4}{8} \\ 8(a^4 + b^4) & \geq (a+b)^4 \\ \end{align*}
maka terbuktilah bentuk yang ingin dibuktikan.
\begin{align*} \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{1+1}\\ & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} ...... (1)\\ \end{align*}
kemudian bentuk pembilang yang dikanan terapkan pula ketaksamaan chaucy dengan mengambil bentuk a^2=\frac{a^2}{1} dan b^2=\frac{b^2}{1}, sehingga diperoleh.
\begin{align*} \frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1} & \geq \frac{(a+b)^2}{1+1}\\ & \geq \frac{(a+b)^2}{2} ..... (2) \\ \end{align*}
kemudian substitusikan persamaan (2) dengan (1) akan diperoleh,
\begin{align*} \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{1+1} & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^2}{2} \right )^2}{1+1}\\ \frac{(a^2)^2}{1} + \frac{(b^2)^2}{1} & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^2}{2} \right )^2}{1+1}\\ a^4 + b^4 & \geq \frac{\left ( \frac{(a+b)^4}{4} \right )}{2}\\ a^4 + b^4 & \geq \frac{(a+b)^4}{8} \\ 8(a^4 + b^4) & \geq (a+b)^4 \\ \end{align*}
maka terbuktilah bentuk yang ingin dibuktikan.
--- Soal No 2 ---
Tunjukan benar bahwa untuk setiap bilangan real positif a,b,c,d berlaku (a+b+c+d) \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right ) \geq 64
untuk menyelesaikan permasalahan ini cobalah melihat bentuk \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \right ) sama dengan bentuk \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ). Maka dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel 2 akan diperoleh.
\begin{align*} \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq \frac{(1+1+2+4)^2}{(a+b+c+d)} \\ \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq \frac{(8)^2}{(a+b+c+d)} \\ (a+b+c+d) \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq 64 \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
\begin{align*} \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq \frac{(1+1+2+4)^2}{(a+b+c+d)} \\ \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq \frac{(8)^2}{(a+b+c+d)} \\ (a+b+c+d) \left ( \frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \right ) & \geq 64 \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
--- Soal No 3 ---
Misalkan diketahui x,y,z > 0 maka buktikanlah bentuk \frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x} \geq \frac{9}{x+y+z}
pada bentuk soal ini kita ambil kesamaan bahwa
\frac{2}{x+y} = \frac{(\sqrt{2})^2}{x+y}
\frac{2}{y+z} = \frac{(\sqrt{2})^2}{y+z}
\frac{2}{z+x} = \frac{(\sqrt{2})^2}{y+x}
sehingga dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel akan diperoleh
\begin{align*} \frac{(\sqrt{2})^2}{x+y} + \frac{(\sqrt{2})^2}{y+z} + \frac{(\sqrt{2})^2}{y+x} & \geq \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{x+y+y+z+z+x} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{(3.\sqrt{2})^2}{2(x+y+z)} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{18}{2(x+y+z)} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{9}{(x+y+z)} \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
\frac{2}{x+y} = \frac{(\sqrt{2})^2}{x+y}
\frac{2}{y+z} = \frac{(\sqrt{2})^2}{y+z}
\frac{2}{z+x} = \frac{(\sqrt{2})^2}{y+x}
sehingga dengan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel akan diperoleh
\begin{align*} \frac{(\sqrt{2})^2}{x+y} + \frac{(\sqrt{2})^2}{y+z} + \frac{(\sqrt{2})^2}{y+x} & \geq \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}{x+y+y+z+z+x} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{(3.\sqrt{2})^2}{2(x+y+z)} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{18}{2(x+y+z)} \\ \frac{2}{x+y} + \frac{2}{y+z} + \frac{2}{y+x} & \geq \frac{9}{(x+y+z)} \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
--- Soal No 4 ---
Misalkan a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n adalah bilangan real positif sehingga a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n maka tunjukan bahwa \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} \geq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{2}
pada soal ini kita langsung mengambil bentuk pada soal sehingga dengan menerapkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel akan diperoleh.
\begin{align*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n} \\ \end{align*}
karena nilai a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n sehingga bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
\begin{align*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1+a_2+...+a_n)} \\ \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)}{2} \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
\begin{align*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n+b_1+b_2+...+b_n} \\ \end{align*}
karena nilai a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n sehingga bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
\begin{align*} \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1+a_2+...+a_n)} \\ \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n} & \geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)}{2} \\ \end{align*}
dengan ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel maka soal dapat dibuktikan
Tidak ada komentar:
Posting Komentar