Ukuran Pemusatan Data | Statistika Data Kelompok

Pada pembelajaran kali ini akan di mengenai ukuran pemusatan data, dimana ukuran pemusatan data merupakan nilai yang menunjukkan pusat atau kecenderungan sentral dari suatu himpunan data, dengan tujuan agar.
a. data yang disajikan lebih sederhana atau lebih ringkas
b. mempermudah membandingkan suatu data, hingga menganalisa suatu kejadian berdasarkan data yang dikumpulkan
sehingga sangat penting untuk memahami metode dan cara memusatkan data, berikut adalah beberapa rumus yang harus diingat untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan data.  

Ukuran Pemusatan Data

berikut adalah rumus-rumus yang perlu diingat untuk menyelesaikan persamasalahan ukuran pemusatan data
Rata-Rata $( \overline{x} )$
$\overline{x}=\frac{\sum x_i . f_i}{\sum f_i}$

Median $( Me )$
$Me=T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{n}{2}.- F_k\right ) }{f_m} \right ).p$

Modua $( Mo )$
$Me=T_b +\left ( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right ).p$

Quartil $( Qi )$
$Qi=T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{i.n}{4}.- F_k\right ) }{f_q} \right ).p$
dengan $i=1,2,3$
$Q1$ adalah quartil bawah, $Q2$ adalah quartil tengah atau median, $Q3$ adalah quartil atas

Desil $( Di )$
$Di=T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{i.n}{10}.- F_k\right ) }{f_d} \right ).p$
dengan $i=1,2,3,...,10$

Persentil $( Pi )$
$Pi=T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{i.n}{100}.- F_k\right ) }{f_p} \right ).p$
dengan $i=1,2,3,...,100$


Keterangan
a. $x_i$ = data ke-i, dengan $i=1,2,3,...n$
b. $f_i$ = frekuensi data ke i, dengan $i=1,2,3,...n$
c. $F_k$ = Jumlah frekuensi sebelum kelas median, kuartil, desin, persentil
d. $n$ = Banyak adata
e. $p$ = Panjang kelas
f. $T_b$ = Tepi bawah
g. $D_1$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya
h. $D_2$ = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi setelahnya
i. $f_m$ = frekuensi kelas median
j. $f_q$ = frekuensi kelas quartil
j. $f_d$ = frekuensi kelas desil

Untuk lebih memahami materi Ukuran Pemusatan Data | Statistika Data Kelompok perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

Jika diketahui sebaran data sebagai berikut,

maka coba temukan nilai rata-rata data tersebut.

untuk menemukan rata-rata data kita temukan dulu $x_i$ dengan cara $\frac{B_a+B_b}{2}$ dimna $B_a$ adalah batas atas, $B_b$ adalah batas bawah. Kemudian kalikan juga nilai $x_i$ dengan $f_i$ di kolom yang baru. sehingga tabelnya diperoleh

Sehingga rata-ratanya menjadi
$\begin{align*} \bar{x} &= \frac{\text{jumlah}x_i.f_i}{\text{total frekuensi}}\\ &= \frac{166.5 + 393 + 755 + 684 + 477.5}{3+6+10+8+5} \\ &= \frac{2476}{32} \\ &= 77,37 \\ \end{align*}$

maka rata-rata data tersebut adalah 77,37

--- Soal No 2---

Jika diketahui sebaran data sebagai berikut,

maka coba temukan nilai median dari data tersebut.

Sebelum menemukan nilai median data kita temukan dulu kelas mediannya dengan cara $\frac{n}{2}={32}{2}=16$, maka median akan terletak di jumlah frekuensi kumulatifnya gingga jumlahnya 16. kita jumlahkan tuga frekuensinya yaitu $3+6+10$ maka jumlahnya sudah lebih dari 16 sehingga median terletak di kelas ke 3 $(71-80)$. sehingga akan diperoleh
$Tb=71-0,5=70,5$
$n=32$
$fk=3+6=9$
$p=80-71+1=10$
sehingga masukan data diatas ke rumus median maka diperoleh
$\begin{align*} Me&= T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{n}{2}.- F_k\right ) }{f_m} \right ).p \\ &= 70,5 + \left ( \frac{\left ( \frac{32}{2}.- 9 \right ) }{32} \right ).10 \\ &= 70,5+\frac{7}{32}.10 \\ &= 70,5+2,18 \\ &= 72,68 \\ \end{align*}$

maka nilai mediannya adalah 72,68

--- Soal No 3---

Jika diketahui sebaran data nilai matematika siswa sebagai berikut,

maka coba temukan Modus dari data tersebut.

Sebelum menemukan nilai modus dari data tersebut, perhatikan data yang memiliki frekuensi tertinggi dimana frekuensi tertinggi berada di kelas ke 4 $(56 - 60)$ sehingga akan diperoleh data sebagai berikut
$T_b=56-0,5=55,5$
$D_1=15-5=10$
$D_2=15-6=9$
$n=35$
$p=60-56+1=5$
sehingga masukan data diatas ke rumus median maka diperoleh
$\begin{align*} Me&= T_b +\left ( \frac{D_1}{D_1+D_2} \right ).p \\ &= 55,5 +\left ( \frac{10}{10+9} \right ).5\\ &= 55,5+\frac{50}{19} \\ &= 55,5+2,63 \\ &= 58,13 \\ \end{align*}$

maka nilai Modusnya adalah 58,13

--- Soal No 4---

Cobalah perhatikan poligon berikut ini,

maka coba temukan Quartil atas dari poligon diatas.

Quartil atas pada suatu data merupakan nilai dari $Q_3$, dimana langkah dalam menemukan nilai $Q_3$ diawali dengan menemukan kelas kuartilnya dengan cara $\frac{3}{4}n=\frac{3}{4}.34=25,5$, sehingga kelas quartilnya berada di kelas 3 yaitu $(50,5-55,5)$ maka akan diperoleh data sebagai berikut.
$Tb=50,5$
$n=34$
$fk=3+10=13$
$p=55,5-50,5=5$
sehingga masukan data diatas ke rumus median maka diperoleh
$\begin{align*} Q_3&= T_b +\left ( \frac{\left ( \frac{i.n}{4}.- F_k\right ) }{f_q} \right ).p \\ &= 50,5 +\left ( \frac{\left ( \frac{3.34}{4}.- 13\right ) }{34} \right ).5 \\ &= 50,5+\frac{25,5-13}{34}.5 \\ &= 50,5+\frac{12,5}{34}.5 \\ &= 50,5+1,83 \\ &= 52,33 \\ \end{align*}$

maka nilai Quartil atasnya / $Q_3$ adalah 52,33