Persamaan Linier Tiga Variabel $($ SPLTV $)$

Pada pembelajaran sebelumnya kita telah mempelajari materi Persamaan Linier Dua Variabel yang mana untuk menemukan solusi dari persamaan yang ada dapat diselesaikan dengan metode eliminasi, substitusi dan campuran. Penyelesaiannyapun dapat ditemukan jika diketahui minimal 3 persamaan, namun mungkin juga kurang dari itu jika persamaannya memunginkan untuk menemukan variabelnya secara langsung. Berikut akan dijelaskan metode eliminasi, substitusi dan campuran dalam menyelesaiakan soal, silahkan simak.

Metode Eliminasi

Metode Eliminasi dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut.
1. Misalkan ada 3 persamaan yaitu persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3, Pilih variabel yang akan dieliminasi pertama.
2. Samakan koefisien variabel yang dipilih dengan cara mengalikan dengan sebuah bilangan.
3. Kurangi kedua persamaan jika koefisien memiliki tanda sama, dan jumlahkan kedua persamaan jika koefisien variabel memiliki tanda yang berbeda
4. lakukan langkah 1-3 untuk persamaan 1,2 dan 1,3 atau lainnya $($ asalkan beda pasangan $)$
5. dari langkah 1-4 akan ditemukan dua persamaan dua variabel yang baru, maka selesaikan dengan menggunakan konsep eliminasi dua variabel.

Metode Substitusi

Metode Substitusi dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut.
1. Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan persamaan tersebut ke dalam $x= y..z$ atau $y=..$ atau $z=...$
2. Substitusikan hasil pada langkah 1 ke persamaan yang laiinya, sehingga akan ditemukan dua buah persamaan linier dua variabel
3. lakukan hal yang sama dengan metode substitusi untuk kedua persamaan yang diperoleh di langkah 1-2

Metode Campuran

Metode campuran adalah campuran dari kedua metode diatas, yang biasanya kedua persamaan yang diketahui akan dieliminasi dulu kemdian variabel yang ditemukan dari langkah ini akan disubstitusikan ke salah satu persamaan yang diketahui. Metode ini tidak mutlak harus seperti itu mungkin saja dikembangkan sesuai dengan kebutuhan penggunannya.

Untuk lebih memahami materi Persamaan Linier Tiga Variabel $($ SPLTV $)$ perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

--- Soal No 1 ---

jika diketaui sistem persamaan
$\left \{\begin{matrix}x +y+z = 4 \\ 2x + y+z = 5 \\ 3x-y+z=4\end{matrix} \right.$
maka coba temukan nilai $x,y$ dan $z$ yang memenuhi ... .

Soal diatas akan diselesaikan dengan metode campuran, dimana akan diterapkan eliminasi dulu untuk menemukan SPLDV sehingga samakan koefisien $x$ dengan cara memisalkan dulu persamaannya yaitu
$x +y+z = 4$
$2x + y+2z = 7$
$3x-y+z=4$

ambil persamaan 1 dan persamaan 2
$\left.\begin{matrix}x +y+z = 4 \\ 2x + y+z = 5 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix}.2 \\ .1\end{matrix}\right|\begin{matrix} 2x+2y+2z=8 \\ \underline{2x+y+z=5}_-\end{matrix}$
karena koefisien $x$ sama, maka kurangi kedua persamaan diakhir tersebut maka akan diperoelh
$\begin{align*} (2y-y)+(2z-z)&=8-5 \\ y+z&=3 .......... \text{persamaan 4}\\ \end{align*}$

ambil persamaan 1 dan persamaan 3
$\left.\begin{matrix}x +y+z = 4 \\ 3x-y+z=4 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix}.3 \\ .1\end{matrix}\right|\begin{matrix} 3x+3y+3z=12 \\ \underline{3x-y+z=4}_-\end{matrix}$
karena koefisien $x$ sama, maka kurangi kedua persamaan diakhir tersebut maka akan diperoelh
$\begin{align*} (3y-(-y))+(3z-z)&=12-4 \\ 4y+2z&=8 .......... \text{persamaan 5}\\ \end{align*}$

ambil persamaan 4 dan 5
$\left.\begin{matrix} y+z = 3 \\ 4y+2z=8 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix}.4 \\ .1\end{matrix}\right|\begin{matrix} 4y+4z=12 \\ \underline{4y+2z=8}_-\end{matrix}$
karena koefisien $x$ sama, maka kurangi kedua persamaan diakhir tersebut maka akan diperoelh
$\begin{align*} (4z-2z)&=12-8 \\ 2z &= 4 \\ z &= \frac{4}{2} \\ z &= 2 \\ \end{align*}$

ketika salah satu nilai variabel sudah ada, maka laulkan substitusi ke persamaan-persamaan yang memuat variabel yang kita car. misal untuk menemukan nilai $y$ maka ambil persamaan 4, sehingga diperoleh.
$\begin{align*} y+z&=3 \\ y+2 &= 3 \\ y &= 1 \\ \end{align*}$

Untuk menemukan nilai $x$ ambil persamaan 1
$\begin{align*} x+y+z&=4 \\ x+1+2 &= 4 \\ x &= 1 \\ \end{align*}$

maka nilai $x=1,y=1$ dan $z=2$