Berikut disajikan Latihan Soal untuk Persiapan menghadapi PAT tahun ajaran 2023 - 2024, silahkan disimak dan dipahami dengan baik setiap pembahasan yang ada agar memperoleh hasil yang maksimal saat PAT nanti.
Soal No 1
Cobalah temukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(2,1)$ serta menyinggung garis $3x+4y-5=0$ … .
a. $(x+2)^2+(y-1)^2=1$
b. $(x-2)^2+(y-1)^2=1$
c. $(x+2)^2+(y+1)^2=1$
d. $(x-2)^2+(y+1)^2=1$
e. $(x-1)^2+(y-1)^2=1$
a. $(x+2)^2+(y-1)^2=1$
b. $(x-2)^2+(y-1)^2=1$
c. $(x+2)^2+(y+1)^2=1$
d. $(x-2)^2+(y+1)^2=1$
e. $(x-1)^2+(y-1)^2=1$
Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita harus temukan dulu jari-jari lingkaran dengan menghitung jarak pusat ke garisnya, sehingga diperoleh.
$ \begin{align*} \text{jarak} &= \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ &= \left| \frac{3.2+4.1+(-5)}{\sqrt{3^2+4^2}} \right| \\ &= \left| \frac{5}{1} \right| \\ &= 1\\ \end{align*}$
sehingga persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,1)$ berjari-jari 1 adalah $(x-2)^2+(y-1)^2=1$
$ \begin{align*} \text{jarak} &= \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ &= \left| \frac{3.2+4.1+(-5)}{\sqrt{3^2+4^2}} \right| \\ &= \left| \frac{5}{1} \right| \\ &= 1\\ \end{align*}$
sehingga persamaan lingkaran dengan pusat di titik $(2,1)$ berjari-jari 1 adalah $(x-2)^2+(y-1)^2=1$
Soal No 2
Jika diketahui sebuah persamaan lingkaran yang x^2+y^2-4x-6y+9=0, maka cobalah temukan persamaan garis singgung yang melalui titik (0,3) … .
a. $x=0$
b. $y=0$
c. $x=-3$
d. $y=6$
e. $x=3$
a. $x=0$
b. $y=0$
c. $x=-3$
d. $y=6$
e. $x=3$
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menemukan pusat dan jari-jarinya dengan cara.
Pusat Lingkaran
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}.(-4), -\frac{1}{2}.(-6) \right ) \\ &= (2,3) \\ \end{align*}$
Jari-jarinya
$ \begin{align*} \text{jari-jari} &= \sqrt { \left (-\frac{1}{2}.A\right )^2+ \left(-\frac{1}{2}.B\right )^2 - C} \\ &= \sqrt { 2^2+3^2 - 9}\\ &= 2 \\ \end{align*}$
Sehingga persamaan garis di titik $(0,3)$ adalah.
$ \begin{align*} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (0-2)(x-2)+(3-3)(y-3)&= 2^2\\ -2(x-2)&= 4 \\ (x-2)&= -2 \\ x &= 0 \\ \end{align*}$
Pusat Lingkaran
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}.(-4), -\frac{1}{2}.(-6) \right ) \\ &= (2,3) \\ \end{align*}$
Jari-jarinya
$ \begin{align*} \text{jari-jari} &= \sqrt { \left (-\frac{1}{2}.A\right )^2+ \left(-\frac{1}{2}.B\right )^2 - C} \\ &= \sqrt { 2^2+3^2 - 9}\\ &= 2 \\ \end{align*}$
Sehingga persamaan garis di titik $(0,3)$ adalah.
$ \begin{align*} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (0-2)(x-2)+(3-3)(y-3)&= 2^2\\ -2(x-2)&= 4 \\ (x-2)&= -2 \\ x &= 0 \\ \end{align*}$
Soal No 3
Coba temukan Puncak dan fokus dari parabola $y^2-4y-8x+20=0$ ... .
a. Puncak di $(2,1)$ dan fokus di $(-4,2)$
b. Puncak di $(1,2)$ dan fokus di $(2,4)$
c. Puncak di $(-2,2)$ dan fokus di $(2,-4)$
d. Puncak di $(2,2)$ dan fokus di $(4,2)$
e. Puncak di $-2,-2)$ dan fokus di $(4,2)$
a. Puncak di $(2,1)$ dan fokus di $(-4,2)$
b. Puncak di $(1,2)$ dan fokus di $(2,4)$
c. Puncak di $(-2,2)$ dan fokus di $(2,-4)$
d. Puncak di $(2,2)$ dan fokus di $(4,2)$
e. Puncak di $-2,-2)$ dan fokus di $(4,2)$
untuk menyelesaikan soal ini, akan diubah ke bentuk umum dari parabola yaitu.
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+20 &= 0 \\ (y-2)^2-2^2 &= 8x-20 \\ (y-2)^2&= 8x - 16 \\ (y-2)^2&=4.2(x-2) \\ \end{align*}$
jika dihubungkan dengan bentuk umum persamaan parabola yang berbentuk $(y-b)^2=4.p(x-a)$, dengan $(a,b)$ adalah pusat dan $p$ adalah fokusnya. maka diperoleh Puncak di $(2,2)$ dan fokus di $(4,2)$
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+20 &= 0 \\ (y-2)^2-2^2 &= 8x-20 \\ (y-2)^2&= 8x - 16 \\ (y-2)^2&=4.2(x-2) \\ \end{align*}$
jika dihubungkan dengan bentuk umum persamaan parabola yang berbentuk $(y-b)^2=4.p(x-a)$, dengan $(a,b)$ adalah pusat dan $p$ adalah fokusnya. maka diperoleh Puncak di $(2,2)$ dan fokus di $(4,2)$
Soal No 4
Jika diketahui sebuah persamaan parabola $(y-1)^2=4(x+2)$, maka persamaan garis singgung yang menyinggung parabola itu dan melalui titik $(2,5)$ ... .
a. $x-2y+8=0$
b. $-x-2y+8=0$
c. $x+2y+8=0$
d. $x+2y+8=0$
e. $x-2y-8=0$
a. $x-2y+8=0$
b. $-x-2y+8=0$
c. $x+2y+8=0$
d. $x+2y+8=0$
e. $x-2y-8=0$
dengan menggunakan konsep yang sama dengan soal no 3 maka diperoleh pusat parabola ada di $(-2,1)$ dan fokusnya adalah $1$, maka untuk menemukan PGS parabola di titik $(x_1,y_1)$ diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} (y_1-b)(y-b) &= 2p(x+x_1-2a) \\ (5-1)(y-1) &= 2.1(x+2-2.(-2)) \\ 4(y-1) &= 2(x+6) \\ 4y-4 &= 2x+12 \\ 4y-2x-16 &= 0 \\ 2y-x-8 &= 0 \\ x - 2y + 8 &= 0 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} (y_1-b)(y-b) &= 2p(x+x_1-2a) \\ (5-1)(y-1) &= 2.1(x+2-2.(-2)) \\ 4(y-1) &= 2(x+6) \\ 4y-4 &= 2x+12 \\ 4y-2x-16 &= 0 \\ 2y-x-8 &= 0 \\ x - 2y + 8 &= 0 \\ \end{align*}$
Soal No 5
Jika diketahui persamaan elips $4x^2+9y^2-48x+72y+144=0$, maka dimanakah salah satu titik puncak parabola itu … .
a. $(1,2)$
b. $(12,4)$
c. $(0,4)$
d. $(-6,0)$
e. $(12,-4)$
a. $(1,2)$
b. $(12,4)$
c. $(0,4)$
d. $(-6,0)$
e. $(12,-4)$
untuk menemukan puncaknya akan dibuat dulu persamaan elis menjadi bentuk umumnya, sehingga diperoleh
$ \begin{align*} 4x^2+9y^2-48x+72y+144 &= 0 \\ 4x^2+-48x+9y^2+72y+144 &= 0 \\ (2x-12)^2-144+(3y+12)-144+144 &= 0 \\ (2(x-6))^2+(3(y+4))^2 &= 144 \\ 4(x-6)^2+9(y+4)^2 &= 144 \\ \frac{4(x-6)^2}{144}+\frac{9(y+4)^2}{144} &= 1 \\ \frac{(x-6)^2}{36}+\frac{(y+4)^2}{16} &= 1 \\ \end{align*}$
Sehingga diperoleh pusat elips berada di titik $(p,q)=(6,-4)$ serta nilai $a=\sqrt{36}=6$ dan nilai $b=\sqrt{16}=4$ maka semua puncaknya akan berada di titik
1. $(p+a,q)=( 6+6,-4)=(12,-4)$
2. $(p-a,q)=( 6-6,-4)=(0,-4)$
3. $(p,q+b)=( 6,-4+(-4))=(6,-8)$
4. $(p,q-b)=( 6,-4-(-4))=(6,0)$
$ \begin{align*} 4x^2+9y^2-48x+72y+144 &= 0 \\ 4x^2+-48x+9y^2+72y+144 &= 0 \\ (2x-12)^2-144+(3y+12)-144+144 &= 0 \\ (2(x-6))^2+(3(y+4))^2 &= 144 \\ 4(x-6)^2+9(y+4)^2 &= 144 \\ \frac{4(x-6)^2}{144}+\frac{9(y+4)^2}{144} &= 1 \\ \frac{(x-6)^2}{36}+\frac{(y+4)^2}{16} &= 1 \\ \end{align*}$
Sehingga diperoleh pusat elips berada di titik $(p,q)=(6,-4)$ serta nilai $a=\sqrt{36}=6$ dan nilai $b=\sqrt{16}=4$ maka semua puncaknya akan berada di titik
1. $(p+a,q)=( 6+6,-4)=(12,-4)$
2. $(p-a,q)=( 6-6,-4)=(0,-4)$
3. $(p,q+b)=( 6,-4+(-4))=(6,-8)$
4. $(p,q-b)=( 6,-4-(-4))=(6,0)$
Soal No 6
Temukanlah persamaan garis singgung elips $\frac{(x-5)^2}{28}+\frac{(y-1)^2}{21}=1$ di titik $(9,4)$ …
a. $x+y+13=0$
b. $-x-y+13=0$
c. $-x+y+13=0$
d. $x-y+13=0$
e. $x+y-13=0$
a. $x+y+13=0$
b. $-x-y+13=0$
c. $-x+y+13=0$
d. $x-y+13=0$
e. $x+y-13=0$
jika kita perhatikan pusat elips ada ti titik $(p,q)=(5,1)$ dan nilai $a^2=28$ dan nilai $b^2=21$ sehingga persamaan garis singgungnya diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} \frac{(x_1-p)(x-p)}{a^2}+\frac{(y_1-b)(y-b)}{b^2} &= 1 \\ \frac{(9-5)(x-5)}{28}+\frac{(4-1)(y-1)}{21} &= 1 \\ \frac{4(x-5)}{28}+\frac{3(y-1)}{21} &= 1 \\ \frac{(x-5)}{7}+\frac{(y-1)}{7} &= 1 \\ (x-5)+(y-1)&= 7 \\ x+y-13 &= 0 \end{align*}$
$ \begin{align*} \frac{(x_1-p)(x-p)}{a^2}+\frac{(y_1-b)(y-b)}{b^2} &= 1 \\ \frac{(9-5)(x-5)}{28}+\frac{(4-1)(y-1)}{21} &= 1 \\ \frac{4(x-5)}{28}+\frac{3(y-1)}{21} &= 1 \\ \frac{(x-5)}{7}+\frac{(y-1)}{7} &= 1 \\ (x-5)+(y-1)&= 7 \\ x+y-13 &= 0 \end{align*}$
Soal No 7
Temukanlah salah satu persamaan asimptot hiperbola $\frac{(x+2)^2}{9}-\frac{(y-5)^2}{4}=1$ …
a. $3y-2x-12=0$
b. $3y-2x-19=0$
c. $3y+2x+12=0$
d. $3y+2x-13=0$
e. $3y+2x+11=0$
a. $3y-2x-12=0$
b. $3y-2x-19=0$
c. $3y+2x+12=0$
d. $3y+2x-13=0$
e. $3y+2x+11=0$
sebelum menemukan persamaan asimptotnya, sesuai dengan bentuk umum hiperbola maka pusatnya akan berada di titik $(p,q)=(-2,5)$, nilai $a=\sqrt{9}=3$ dan nilai $b=\sqrt{4}=2$. maka persamaan asimtot hiperbola tersebut diperoleh dengan cara.
$ \begin{align*} (y-q) &= \pm \frac{b}{a}(x-p) \\ (y-5) &= \pm \frac{2}{3}(x-(-2)) \\ y-5 &= \pm \frac{2}{3}(x+2) \\ \end{align*}$
maka nilai $\pm$ akan menyebabkan ditemukan dua buah asimtot, kita akan ambil nilai positif lebih dulu maka diperoleh
$ \begin{align*} y-5 &= \frac{2}{3}(x+2) \\ 3y-15 &= 2x+4 \\ 3y-2x-19 &= 0 \end{align*}$
Jika diambil nilai negatif diperoleh
$ \begin{align*} y-5 &= -\frac{2}{3}(x+2) \\ 3y-15 &= -2x-4 \\ 3y+2x-11 &= 0 \end{align*}$
maka persamaan asimtot yang diminta adalah $3y-2x-19=0$
$ \begin{align*} (y-q) &= \pm \frac{b}{a}(x-p) \\ (y-5) &= \pm \frac{2}{3}(x-(-2)) \\ y-5 &= \pm \frac{2}{3}(x+2) \\ \end{align*}$
maka nilai $\pm$ akan menyebabkan ditemukan dua buah asimtot, kita akan ambil nilai positif lebih dulu maka diperoleh
$ \begin{align*} y-5 &= \frac{2}{3}(x+2) \\ 3y-15 &= 2x+4 \\ 3y-2x-19 &= 0 \end{align*}$
Jika diambil nilai negatif diperoleh
$ \begin{align*} y-5 &= -\frac{2}{3}(x+2) \\ 3y-15 &= -2x-4 \\ 3y+2x-11 &= 0 \end{align*}$
maka persamaan asimtot yang diminta adalah $3y-2x-19=0$
Soal No 8
Temukanlah persamaan garis Singgung hiperbola x^2/20-y^2/5=1 yang tegak lurus dengan garis 34x+3y-7=0 …
a. $x-4y-10=0$
b. $3x+4y+10=0$
c. $x-4y-10=0$
d. $6x-4y-10=0$
e. $3x-4y-10=0$
a. $x-4y-10=0$
b. $3x+4y+10=0$
c. $x-4y-10=0$
d. $6x-4y-10=0$
e. $3x-4y-10=0$
Sesuai dengan unsur-unsur hiperbola maka diperoleh pusatnya ada di titik $(0,0)$ dan nilai $a^2=20$ dan nilai $b^2=5$, kemudian garis singgungnya tegak lurus dengan garis $4x+3y-7=0$ dimana gradiennya adalah $m=\frac{-4}{3}$ kemudian karena tegak lurus perlu kita balik nilainya yang mana gradien yang digunakan adalah $m=\frac{3}{4}$. kemudian persamaan garis singgungnya diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} y - q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y - 0 & = \frac{3}{4}(x-0) \pm \sqrt{20.\left (-\frac{3}{4}\right )^2-5} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20.\frac{9}{16}-5} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \frac{10}{4} \\ 4y & =3x \pm 10 \\ \end{align*}$
jadi salah satu persamaan garis singgung yang diminta adalah $3x-4y-10=0$
$ \begin{align*} y - q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y - 0 & = \frac{3}{4}(x-0) \pm \sqrt{20.\left (-\frac{3}{4}\right )^2-5} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{20.\frac{9}{16}-5} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \frac{5}{2} \\ y & = \frac{3}{4}x \pm \frac{10}{4} \\ 4y & =3x \pm 10 \\ \end{align*}$
jadi salah satu persamaan garis singgung yang diminta adalah $3x-4y-10=0$
Soal No 9
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x+2}$ = ... .
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 0
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 0
Penyelesaian limit ini dapat diselesaikan dengan konsep limit substitusi karena saat disubstitusi tidak menimbulkan bentuk tak tentu, sehingga
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x+2} & = \frac{2^2-4}{2+2} \\ & = \frac{4-4}{4} \\ &= 0 \end{align*}$
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x+2} & = \frac{2^2-4}{2+2} \\ & = \frac{4-4}{4} \\ &= 0 \end{align*}$
Soal No 10
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ = ... .
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 0
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 0
jika nilai $x$ langsung disubstitusikan, maka akan diperoleh bentuk tak tentu, sehingga penyelesaian limit dapat dilakukan dengan cara memfaktornya yaitu.
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} \\ & =\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{x}+1) \\ &= \sqrt{1}+1 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} \\ & =\displaystyle \lim_{x \to 1} \sqrt{x}+1) \\ &= \sqrt{1}+1 \\ &= 2 \\ \end{align*}$
Soal No 11
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6}{x^2-x-2}-\frac{2}{x-2} \right ) $ = ... .
a. $2$
b. $\frac{1}{3}$
c. $-\frac{1}{3}$
d. $\frac{2}{3}$
e. $-\frac{2}{3}$
a. $2$
b. $\frac{1}{3}$
c. $-\frac{1}{3}$
d. $\frac{2}{3}$
e. $-\frac{2}{3}$
Selesaikan/sederhanakan dulu bentuk di dalam kurungnya dengan menyamakan penyebutnya yaitu dengan cara.
nyelesaian limit dapat dilakukan dengan cara memfaktornya yaitu.
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6}{x^2-x-2}-\frac{2}{x-2} \right ) \\ & =\displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6}{(x+1)(x-2)}-\frac{2(x+1)}{)x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6-2x-2}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{4-2x}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{-2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{-2}{(x+1)} \right ) \\ &= \frac{-2}{2+1} \\ &= -\frac{2}{3} \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6}{x^2-x-2}-\frac{2}{x-2} \right ) \\ & =\displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6}{(x+1)(x-2)}-\frac{2(x+1)}{)x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{6-2x-2}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{4-2x}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{-2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2} \left ( \frac{-2}{(x+1)} \right ) \\ &= \frac{-2}{2+1} \\ &= -\frac{2}{3} \\ \end{align*}$
Soal No 12
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^{-6}-2x^2-3x}{3x^2-2x} \right ) $ = ... .
a. $0$
b. $\infty$
c. $\frac{2}{3}$
d. $-\frac{2}{3}$
e. $\frac{1}{3}$
a. $0$
b. $\infty$
c. $\frac{2}{3}$
d. $-\frac{2}{3}$
e. $\frac{1}{3}$
sesuai dengan konsep limit tak hingga, kita lihat pangkat tertinggi di pembilang dan penyebutnya. Sesuai dengan soal pangkat tertingginya adalah pangkat 2, maka nilainya tinggal ambil koefisiennya sehingga diperoleh
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^{-6}-2x^2-3x}{3x^2-2x} \right )=-\frac{2}{3}$
$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \frac{x^{-6}-2x^2-3x}{3x^2-2x} \right )=-\frac{2}{3}$
Soal No 13
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt{x^2+6x-7} \right ) $ = ... .
a. 5
b. -5
c. 1
d. -1
e. $\infty$
a. 5
b. -5
c. 1
d. -1
e. $\infty$
sesuai dengan konsep limit tak hingga bentuk $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r} \right )$ dengan $a=p$ maka diperoleh dengan mengalikan kawanya atau dengan cepat diperleh dengan rumus $\frac{b-q}{2\sqrt{a}}$, sehingga diperoleh
$ \begin{align*} & = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-4-6}{2.\sqrt{1}} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5\\ \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-4-6}{2.\sqrt{1}} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5\\ \end{align*}$
Soal No 14
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-(x-2)\right ) $ = ... .
a. 4
b. -4
c. 1
d. -1
e. 0
a. 4
b. -4
c. 1
d. -1
e. 0
sebelum menerapkan penyelesaian yang sama dengan soal no 13, maka perlu kita modifikasi bentuk soal menjadi.
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-(x-2)\right ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt{(x-2)^2}\right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt{x^2-4x+4}\right ) \\ \end{align*}$
sehingga sesuai dengan rumus pada soal no 13 akan diperoleh.
$ \begin{align*} & = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-4-(-4)}{2.\sqrt{1}} \\ &= \frac{0}{2} \\ &= 0\\ \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-(x-2)\right ) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt{(x-2)^2}\right ) \\ &= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( \sqrt{x^2-4x+6}-\sqrt{x^2-4x+4}\right ) \\ \end{align*}$
sehingga sesuai dengan rumus pada soal no 13 akan diperoleh.
$ \begin{align*} & = \frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{-4-(-4)}{2.\sqrt{1}} \\ &= \frac{0}{2} \\ &= 0\\ \end{align*}$
Soal No 15
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x.cosx}$ = ... .
a. 1
b. 3
c. 9
d. 12
e. 6
a. 1
b. 3
c. 9
d. 12
e. 6
seuai dengan sifat limit maka soal diatas bisa dipecah, dimana salah satu bentuk menggunakan sifat $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\frac{a}{b}$ dan limit substitusi akan diperoleh.
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x.cosx} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{cosx} \\ &= \frac{3}{1}.\frac{1}{cos0} \\ &= 3}.\frac{1}{1} \\ &= 3\\ \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x.cosx} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{x}.\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{cosx} \\ &= \frac{3}{1}.\frac{1}{cos0} \\ &= 3}.\frac{1}{1} \\ &= 3\\ \end{align*}$
Soal No 16
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(3x-6).sin3(x-2)}{cos^2(2x-4)-1}$ = ... .
a. $\frac{2}{9}$
b. $-\frac{2}{9}$
c. $-\frac{6}{2}$
d. $\frac{9}{2}$
e. $-\frac{9}{2}$
a. $\frac{2}{9}$
b. $-\frac{2}{9}$
c. $-\frac{6}{2}$
d. $\frac{9}{2}$
e. $-\frac{9}{2}$
serupa dengan kosep pada soal no 15, namun dalam hal ingin ingat perubahan bentuk $cos2x=1-2sin^2x$, maka akan diperoleh.
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(3x-6).sin3(x-2)}{cos^2(2x-4)-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3(x-2).sin3(x-2)}{1-2sin^22(x-2)-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3(x-2)}{-2sin(x-2}.\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3(x-2)}{sin(x-2} \\ & = -\frac{3}{2}.\frac{3}{1} \\ & = -\frac{9}{2} \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(3x-6).sin3(x-2)}{cos^2(2x-4)-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3(x-2).sin3(x-2)}{1-2sin^22(x-2)-1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3(x-2)}{-2sin(x-2}.\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3(x-2)}{sin(x-2} \\ & = -\frac{3}{2}.\frac{3}{1} \\ & = -\frac{9}{2} \\ \end{align*}$
Soal No 17
Temukanlah nilai dari $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{sin3x+sin9x}$ = ... .
a. $\frac{3}{6}$
b. $-\frac{3}{9}$
c. $\frac{3}{11}$
d. $-\frac{3}{12}$
e. $\frac{3}{12}$
a. $\frac{3}{6}$
b. $-\frac{3}{9}$
c. $\frac{3}{11}$
d. $-\frac{3}{12}$
e. $\frac{3}{12}$
untuk menelesaikan soal ini kita bisa memanfaatkan teknik menghitung yaitu dengan mengalikan $\frac{1}{x}$ pada pembilang dan penyebutnya dan memanfaatkan sifat limit, maka akan diperoleh.
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{sin3x+sin9x}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x.\frac{1}{x}}{(sin3x+sin9x).\frac{1}{x}}\\ & = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{x}}{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{x} +\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin9x}{x}} \\ & = \frac{3}{3+9}\\ & = \frac{3}{12} \end{align*}$
$ \begin{align*} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x}{sin3x+sin9x}\\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin3x.\frac{1}{x}}{(sin3x+sin9x).\frac{1}{x}}\\ & = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{x}}{\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{sin3x}{x} +\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin9x}{x}} \\ & = \frac{3}{3+9}\\ & = \frac{3}{12} \end{align*}$
Soal No 18
Jika diketahui $f(x)=2x^2-3x$, maka coba temukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ = ... . =⋯.
a. $6x-3$
b. $8x-3$
c. $4x-3$
d. $2x-3$
e. $2x+3$
a. $6x-3$
b. $8x-3$
c. $4x-3$
d. $2x-3$
e. $2x+3$
jika kita perhatikan bentuk $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ merupakan definisi dari turunan, sehingga untuk menemukan nilainya untuk $f(x)$ yang diketahui kita hanya perlu menemukan turunan fungsinya yaitu.
$ \begin{align*} f(x)& = 2x^2-3x\\ f'(x)& = 4x-3\\ \end{align*}$
$ \begin{align*} f(x)& = 2x^2-3x\\ f'(x)& = 4x-3\\ \end{align*}$
Soal No 19
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=3(2x^2-3x)^5$, maka cobalah temukan nilai dari $f'(0)$…. .
a. 0
b. 45
c. 15
d. -45
e. -15
a. 0
b. 45
c. 15
d. -45
e. -15
untuk penyelesaian soal ini, kita bisa terapkan aturan rantai untuk menemukan hasilnya. Namun agar lebih mudah dalam soal ini akan diselesaikan dengan menurunkan fungsi pangkatnya kemudian dikalikan dengan turunan fungsi di dalamnya, maka diperoleh.
$ \begin{align*} f(x)& = 3(2x^2-3x)^5\\ f'(x)& = 3.5(2x^2-3x)^{5-1}.(4x-3)\\ & = 15(2.0^2-3.0)^{5-1}.(4.0-3)\\ & = 0\\ \end{align*}$
$ \begin{align*} f(x)& = 3(2x^2-3x)^5\\ f'(x)& = 3.5(2x^2-3x)^{5-1}.(4x-3)\\ & = 15(2.0^2-3.0)^{5-1}.(4.0-3)\\ & = 0\\ \end{align*}$
Soal No 20
Jika diketahui suatu fungsi $f(x)=\frac{2x^2-1}{x-1}$ maka coba temukan turunan pertama fungsi $f(x)$
a. $f'(x)=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\frac{6x^2-4x+1}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\frac{2x^2-4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\frac{6x^2-4x-1}{(x-1)^2}$
e. $f'(x)=\frac{2x^2+4x+1}{(x-1)^2}$
a. $f'(x)=\frac{2x^2-4x+1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\frac{6x^2-4x+1}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\frac{2x^2-4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\frac{6x^2-4x-1}{(x-1)^2}$
e. $f'(x)=\frac{2x^2+4x+1}{(x-1)^2}$
untuk menyelesaikan soal ini akan digunakan konsep turunan pembagian dimana jika diketahui $f(x)=\frac{u}{v}$ maka turunanya adalah $f'{x}=\frac{u'v-v'u}{v^2}$ sehingga ambil nilai
$u=2x^2-1$ maka $u'=4x$
$v=x-1$ maka $v'=1$
maka masukan ke rumus yang sudah kita ketahui.
$ \begin{align*} f'(x)& = \frac{u'v-v'u}{v^2} \\ f'(x)& = \frac{4x(x-1)-1(2x^2-1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{4x^2-4x-2x^2+1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{2x^2-4x+1}{(x-1)^2} \\ \end{align*}$
$u=2x^2-1$ maka $u'=4x$
$v=x-1$ maka $v'=1$
maka masukan ke rumus yang sudah kita ketahui.
$ \begin{align*} f'(x)& = \frac{u'v-v'u}{v^2} \\ f'(x)& = \frac{4x(x-1)-1(2x^2-1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{4x^2-4x-2x^2+1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{2x^2-4x+1}{(x-1)^2} \\ \end{align*}$
Soal No 21
Jika suatu fungsi $f(x)=(2x+4)(x-4)^4$, maka cobalah temukan turunan pertama fungsi tersebut … .
a. $(x-4)^3 (10x+24)$
b. $(x-4)^3 (10x-8)$
c. $(x-4)^4 (10x+8)$
d. $(x-4)^3 (6x-24)$
e. $(x-4)^3 (10x+8)$
a. $(x-4)^3 (10x+24)$
b. $(x-4)^3 (10x-8)$
c. $(x-4)^4 (10x+8)$
d. $(x-4)^3 (6x-24)$
e. $(x-4)^3 (10x+8)$
untuk menyelesaikan soal ini akan digunakan konsep turunan pembagian dimana jika diketahui $f(x)=u.v$ maka turunanya adalah $f'{x}=u'v+v'u$ sehingga ambil nilai
$u=2x+4$ maka $u'=2$
$v=(x-4)^4$ maka $v'=4(x-4)^3$
sehingga masukan ke rumus yang sudah kuta ketahui.
$ \begin{align*} f'(x)& = u'v+v'u \\ f'(x)& = 2(x-4)^4+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = 2(x-4)^{3+1}+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = 2(x-4)^3.(x-4)^1+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = (x-4)^3[2(x-4)+4(2x+4)] \\ & = (x-4)^3[2x-8+8x+16] \\ & = (x-4)^3[10x+8] \\ \end{align*}$
$u=2x+4$ maka $u'=2$
$v=(x-4)^4$ maka $v'=4(x-4)^3$
sehingga masukan ke rumus yang sudah kuta ketahui.
$ \begin{align*} f'(x)& = u'v+v'u \\ f'(x)& = 2(x-4)^4+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = 2(x-4)^{3+1}+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = 2(x-4)^3.(x-4)^1+4(x-4)^3(2x+4) \\ & = (x-4)^3[2(x-4)+4(2x+4)] \\ & = (x-4)^3[2x-8+8x+16] \\ & = (x-4)^3[10x+8] \\ \end{align*}$
Soal No 22
Diketahui fungsi $f(x)=x^3-\frac{15}{2}x^2+18x-17$, pada interval mana fungsi akan naik …
a. $x > 3$
b. $2 < x < 3$
c. $x > -3$
d. $x > 2$
e. $x > 3$ atau $x > 2$
a. $x > 3$
b. $2 < x < 3$
c. $x > -3$
d. $x > 2$
e. $x > 3$ atau $x > 2$
fungsi akan naik saat $f'(x) > 0$ maka cara dulu turunan fungsinya dengan cara
$ \begin{align*} f(x)& = 2(x-4)^4+4(x-4)^3(2x+4) \\ f'(x)& = x^3-\frac{15}{2}x^2+18x-17 \\ & = 3x^2-15x+18\\ \end{align*}$
kemudian temukan pembuat nolnya dengan cara $f'(x)=0$ sehingga diperoleh .
$ \begin{align*} f'(x)& = 0 \\ 3x^2-15x+18& = 0 \\ x^2-5x+6& = 0\\ (x-2)(x-3)& = 0\\ \end{align*}$
maka pembuat nolnya adalah $x=2$ dan $x=3$ kemudian uji titik ini ke garis bilangan yang terbagi menjadi 3 daerah. kemudian ambil nilai $x=0$ dan uji ke $f'(x)$ maka diperoleh $f'(0)=6$. Maka ambil tandanya dan akan terbagi menjadi 3 daerah yaitu.
untuk daerah $x < 2$ tanda potitif, maka fungsinya naik
untuk daerah $2 < x < 3$ tanda negatif, maka fungsinya turun
untuk daerah $x > 3$ tanda potitif, maka fungsinya naik
$ \begin{align*} f(x)& = 2(x-4)^4+4(x-4)^3(2x+4) \\ f'(x)& = x^3-\frac{15}{2}x^2+18x-17 \\ & = 3x^2-15x+18\\ \end{align*}$
kemudian temukan pembuat nolnya dengan cara $f'(x)=0$ sehingga diperoleh .
$ \begin{align*} f'(x)& = 0 \\ 3x^2-15x+18& = 0 \\ x^2-5x+6& = 0\\ (x-2)(x-3)& = 0\\ \end{align*}$
maka pembuat nolnya adalah $x=2$ dan $x=3$ kemudian uji titik ini ke garis bilangan yang terbagi menjadi 3 daerah. kemudian ambil nilai $x=0$ dan uji ke $f'(x)$ maka diperoleh $f'(0)=6$. Maka ambil tandanya dan akan terbagi menjadi 3 daerah yaitu.
untuk daerah $x < 2$ tanda potitif, maka fungsinya naik
untuk daerah $2 < x < 3$ tanda negatif, maka fungsinya turun
untuk daerah $x > 3$ tanda potitif, maka fungsinya naik
Soal No 23
Diketahui fungsi $f(x)=x^3-6x^2+9x-2$, cobalah temukan nilai maksimum fungsi tersebut …
a. 2
b. 6
c. 8
d. -6
e. -2
a. 2
b. 6
c. 8
d. -6
e. -2
Nilai maksimum akan terjadi saat $f'(x)=0$ sehingga temukan dulu nilai $x$ yang memenuhi yaitu.
$ \begin{align*} f'(x)& = 0 \\ 3x^2-12x+9& = 0 \\ x^2-4x+3& = 0\\ (x-1)(x-3)& = 0\\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ dan $=3$ kemudian nilai maksimum akan diperoleh saat disubstitusi nilai $x$ ke $f(x)$
untuk $x=1$ maka
$ \begin{align*} f(x)& = x^3-6x^2+9x-2 \\ f(1)& = (1)^3-6(2)^2+9.1-2 \\ & = 1-6+9-2\\ & = 2 \\ \end{align*}$
untuk $x=3$ maka
$ \begin{align*} f(x)& = x^3-6x^2+9x-2 \\ f(1)& = (3)^3-6(3)^2+9.3-2 \\ & = 27-54+27-2\\ & = -2 \\ \end{align*}$
maka nilai maksimumnya adalah 2
$ \begin{align*} f'(x)& = 0 \\ 3x^2-12x+9& = 0 \\ x^2-4x+3& = 0\\ (x-1)(x-3)& = 0\\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ dan $=3$ kemudian nilai maksimum akan diperoleh saat disubstitusi nilai $x$ ke $f(x)$
untuk $x=1$ maka
$ \begin{align*} f(x)& = x^3-6x^2+9x-2 \\ f(1)& = (1)^3-6(2)^2+9.1-2 \\ & = 1-6+9-2\\ & = 2 \\ \end{align*}$
untuk $x=3$ maka
$ \begin{align*} f(x)& = x^3-6x^2+9x-2 \\ f(1)& = (3)^3-6(3)^2+9.3-2 \\ & = 27-54+27-2\\ & = -2 \\ \end{align*}$
maka nilai maksimumnya adalah 2
Soal No 24
Sebuah kotak tanpa tutup akan dibuat dari karton. Jika alas kotak berbentuk persegi dan luas permukaan kotak tersebut adalah 300 cm$^2$, maka berapakah volume maksimum kotak tersebut … cm$^3$.
a. 400
b. 500
c. 550
d. 600
e. 650
a. 400
b. 500
c. 550
d. 600
e. 650
misalkan rusuk alasnya adalah $x$ dan tingginya adalah $y$, maka jika kita temukan fungsi luas permukaannya akan diperoleh.
$ \begin{align*} \text{luas}& = 300 \\ x^2+4xy& = 300 \\ 4xy& = 300-x^2\\ y& = \frac{300-x^2}{4x}\\ \end{align*}$
kemudian yang akan dimaksimumkan adalah volumenya, maka temukan fungsi volumenya
$ \begin{align*} & = \text {volume} \\ & = x.x.y \\ & = x^2.\frac{300-x^2}{4x}\\ & = \frac{300x-x^3}{4}\\ \end{align*}$
maka volume akan maksimum saat turunan pertamanya samadengan nol. maka $ \begin{align*} f'{x}& = 0 \\ \frac{300-3x^2}{4}& = 0 \\ 300-3x^2& = x^2.\frac{300-x^2}{4x}\\ 3x^2& = 300\\ x & = 10 \\ \end{align*}$
karena $x=10$ maka $y = \frac{300-x^2}{4x} = 5$
maka volumenya adalah $x.x.y=10.10.5=500$
$ \begin{align*} \text{luas}& = 300 \\ x^2+4xy& = 300 \\ 4xy& = 300-x^2\\ y& = \frac{300-x^2}{4x}\\ \end{align*}$
kemudian yang akan dimaksimumkan adalah volumenya, maka temukan fungsi volumenya
$ \begin{align*} & = \text {volume} \\ & = x.x.y \\ & = x^2.\frac{300-x^2}{4x}\\ & = \frac{300x-x^3}{4}\\ \end{align*}$
maka volume akan maksimum saat turunan pertamanya samadengan nol. maka $ \begin{align*} f'{x}& = 0 \\ \frac{300-3x^2}{4}& = 0 \\ 300-3x^2& = x^2.\frac{300-x^2}{4x}\\ 3x^2& = 300\\ x & = 10 \\ \end{align*}$
karena $x=10$ maka $y = \frac{300-x^2}{4x} = 5$
maka volumenya adalah $x.x.y=10.10.5=500$
Soal No 25
Persamaan garis singgung parabola $f(x)=x^3-8x$ yang tegak lurus dengan garis $x+4y+7=0$
a. $4x+y-16=0$
b. $-4x-y-16=0$
c. $-4x+y-16=0$
d. $4x-y-16=0$
e. $-4x+y+16=0$
a. $4x+y-16=0$
b. $-4x-y-16=0$
c. $-4x+y-16=0$
d. $4x-y-16=0$
e. $-4x+y+16=0$
temukan dulu gradien garisnya dengan cara mengubahnya menjadi $y=mx+c$ yaitu.
$ \begin{align*} x+4y+7 & = 0 \\ y & = -\frac{1}{4}x-7 \\ \end{align*}$
maka gradiennya adalah $-\frac{1}{4}$ maka gradien yang digunakan harus dibalik karena tegak lurus yaitu $\frac{4}{1}=4$
kemudian temukan titik singgungnya dari turunan pertama fungsi, yang mana turunannya adalah gradien maka.
$ \begin{align*} f'(x) & = 8 \\ 3x^2-8 & = 4 \\ 3x^2 & = 12 \\ x^2& = 4 \\ x & = 2 \\ \end{align*}$
kemudian temukan nilai $y_1$ dengan cara mensubstitusi nilai $x$ ke fungsi awal yaitu. $f(2)=2^3-8.2=-8$ maka titik singgunynga adalah $(2,-8)$ dan gradienya adalah $4$
sehingga persamaan garis singgungnya adalah.
$ \begin{align*} (y-y_1) & = m(x-x_1) \\ (y+8) & = 4(x-2) \\ y - 4x +16 & = 0 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} x+4y+7 & = 0 \\ y & = -\frac{1}{4}x-7 \\ \end{align*}$
maka gradiennya adalah $-\frac{1}{4}$ maka gradien yang digunakan harus dibalik karena tegak lurus yaitu $\frac{4}{1}=4$
kemudian temukan titik singgungnya dari turunan pertama fungsi, yang mana turunannya adalah gradien maka.
$ \begin{align*} f'(x) & = 8 \\ 3x^2-8 & = 4 \\ 3x^2 & = 12 \\ x^2& = 4 \\ x & = 2 \\ \end{align*}$
kemudian temukan nilai $y_1$ dengan cara mensubstitusi nilai $x$ ke fungsi awal yaitu. $f(2)=2^3-8.2=-8$ maka titik singgunynga adalah $(2,-8)$ dan gradienya adalah $4$
sehingga persamaan garis singgungnya adalah.
$ \begin{align*} (y-y_1) & = m(x-x_1) \\ (y+8) & = 4(x-2) \\ y - 4x +16 & = 0 \\ \end{align*}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar