Definisi Logaritma dan Sifat-Sifatnya

di Pembelajaran sebelumnya kita telah memahami apa itu bilangan berpangkat yang sering disebut dengan bilangan eksponen. Dimana jika kita melihat bentuk $2^3$ itu memiliki arti perkalian 2 sebanyak 3 kali, namun ada kalanya kita diminta menemukan nilai pangkat yang memenuhi suatu persamaan misalnya "berapakah nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^x=5$ nah tentunya masalah ini sangat susah dikerjakan dengan kalkulator sehingga muncullah konsep logaritma untuk menemukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan. Untuk itu silahkan perhatikan definisi dan sifat-sifat logaritma berikut ini.

Definisi Logaritma

Logaritma adalah inverse dari eskponen dimana jika ada bentuk $a^b=c$ maka jika dibuat dalam bentuk logaritma akan diperoleh $^a log c =b$. ada beberapa hal yang harus dipahami yaitu.
1. $a$ disebut basis logaritma, dimana jika basisnya tidak ditulis itu memiliki arti logaritma memiliki basis 10.
2. $b$ adalah bilangan yang dilogaritmakan
3. $c$ adalah hasil logaritmanya
4. Bentuk $^alogb$ memiliki arti yang sama dengan $log_ab$

Sifat-Sifat Logaritma

untuk $a > 0, a \neq 0, b >0$ dan $c > 0$, maka akan berlaku :
1. $^alog(b.c) = ^alog(b)+^alog(c)$
2. $^{a}log \left ( \frac{b}{c} \right ) = ^alogb-^alogc$
3. $^alogb^blogc=^alogc$
4. $^{a^m}logb^n=\frac{n}{m}^alogb$
5. $^alogb=\frac{1}{^bloga}$
6. $^alogb=\frac{^xlogb}{^xloga}$, dimana $x \neq 1, x > 0$
7. $a^{^alogb}=b$
8. $^alog^a=1$
9. $^alog1=0$

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Definisi dan sifat-sifat logaritma, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenaimateri logaritma.

--- Soal No 1 ---

Cobalah temukan nilai logaritma berikut ini.
a. $^2log64$
b. $^3log81$

Jawaban a
$\begin{align*} ^2log64 &= ^2log 2^6 \\ &=6. ^2log2 \\ &=6.1 \\ &= 6 \end{align*}$

Jawaban b
$\begin{align*} ^3log 81 &= ^2log 3^4 \\ &=4. ^3log3 \\ &=4.1 \\ &= 4 \end{align*}$

--- Soal No 2 ---

Jika diketahui suatu persamaan loharitma $^3log2=p$, maka cobalah temukan nilai dari $^3log36$

dengan menggunakan sifat logaritma diatas maka akan diperoleh
$\begin{align*} ^3log 36 &= ^3log 9.4\\ &=^3log9+^3log4\\ &= ^3log3^2 + ^3log2^2 \\ &= 2. ^3log3 + 2.^3log2 \\ &= 2.1+2p \\ &=2+2p \\ \end{align*}$

--- Soal No 3 ---

Cobalah temukan bentuk yang paling sederhana dari bentuk logaritma berikut $\frac{(^3log12)^2-(^3log4)^2}{^3log \sqrt{36}}$.

dengan menggunakan sifat logaritma diatas dan sifat aljabar $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ maka akan diperoleh
$\begin{align*} \frac{(^3log12)^2-(^3log4)^2}{^3log \sqrt{36}} &=\frac{(^3log12+^3log4)(^3log12-^3log4)}{^3log \sqrt{36}}\\ &=\frac{(^3log(12.4))(^3log(12:3))}{^3log \sqrt{36}} \\ &= \frac{^3log36.^3log3}{\frac{1}{2}^3log36}\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}}\\ &= 1.\frac{2}{1}\\ &=2 \\ \end{align*}$

--- Soal No 4 ---

Jika $^{10}logx = b$ maka berapakah nilai dari $^{10x}log 100$= ... .

dengan menggunakan sifat logaritma yang ke 4,5 maka akan diperoleh ... .
$\begin{align*} ^{10x}log 100 &= ^{10x}log 10^2 \\ &= 2^{10x}log 10 \\ &= 2 \left ( ^{10x}log 10 \right ) \\ &= 2 \left ( \frac{1}{^{10}log10x} \right ) \\ &= 2 \left ( \frac{1}{^{10}log10+^{10}logx} \right ) \\ &= 2 \left ( \frac{1}{1+b} \right ) \\ &= \frac{2}{1+b} \\ \end{align*}$

--- Soal No 5 ---

Jika $a=0,111...$ maka nilai dari $^alog729$ adalah... .

Sebelum menyelesaikan soal ini kita akan temukan dulu nilai $a$ dengan cara.
$a=0.111...$
$ \underline{10a=1,111...}$ -
$-9a=-1$
$a=\frac{1}{9}$ maka dengan menggunakan sifat logaritma yang ke 4 maka akan diperoleh ... .
$\begin{align*} ^{\frac{1}{9}}log729 &= {3^{-2}}log3^6 \\ &= \frac{6}{-2} ^3log3 \\ &= -3.1\\ &= -3 \\ \end{align*}$

untuk lebih memahami materi limit Definisi dan sifat-sifat logaritma, silahkan selesaikan soal berikut.

LATIHAN SOAL

1	jika diketahui $^2log5=p$ maka temukanlah nilai dari $^2 log20$
2	Apabila $^2log3=a$ dan $^3log5=b$ makancobalah temukan jilai dari $^8log150$ dalam variabel $a$ dan $b$