Irisan kerucut | Hiperbola dan Garis Singgungnya

Hiperobola merupakan salah satu bentuk irisan kerucut yang menyerupai parabola, hanya saja hiperbola adalah objek yang dibangun oleh dua buah parabola yang saling tercermin satu sama lainnya dengan suatu persamaan garis. Bentuk hiperbola yang akan dibahas pada pembelajaran kali ini terbatas pada bentuk yang simetrinya sejajar dengan sumbu x ataupun sumbu y. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan penjelasnya berikut ini.

Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua dua buah titik tetap, kedua titik tersebut disebut dengan titik Fokus.

Persamaan hiperbola $\frac{((x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ memiliki
1. Pusat $(p,q)$
2. Fokus $(p-c,q)$ dan $(p+c,q)$ dengan $c=\sqrt{a^2+b^2}$
3. Puncak di $(p-a,q)$ dan $(p+a,q)$
4. Sumbu utamanya di $y=q$ dan sumbu sekawanya adalah $x=p$
5. Panjang sumbu nyata adalah $2a$ dan sumbu imajinernya $2b$
6. eksentrisitasnya $e=\frac{c}{a}$
7. persamaan direktrisnya $x=-\frac{a^2}{c}+p$ dan $x= \frac{a^2}{c}+p$

untuk persamaan berbentuk $-\frac{((x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$, memiliki unsur-unsur yang serupa hanya saja bedanya sumbu utama di garis $y=o$

Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Persamaan garis singgung pada hiperbola pada pembahasan kali ini akan dibedakan menjadi dua yaitu.
Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien $m$ Pada Hiperbola
1. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$
2. $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $y=mx \pm \sqrt{a^2-b^2m^2}$
3. $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $y-q=m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2-b^2}$
4. $-\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $y-q=m(x-p) \pm \sqrt{a^2-b^2m^2}$

Persamaan Garis Singgung Dengan Titik $(x_1,y_1)$ Pada Hiperbola
1. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{x_1.x}{a^2}-\frac{y_1.y}{b^2}=1$
2. $-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $-\frac{x_1.x}{a^2}+\frac{y_1.y}{b^2}=1$
3. $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{(x_1-p)(x-p)}{a^2}-\frac{(y_1-q)(y-q)}{b^2}=1$
4. $-\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $-\frac{(x_1-p)(x-p)}{a^2}+\frac{(y_1-q)(y-q)}{b^2}=1$

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi irisan kerucut khhususnya hiperbola, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi irisan kerucut khhususnya hiperbola.

--- Soal No 1 ---

Diketahui persamaan hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, maka temukanlah.
a. kordinat pusat elips
b. kordinat puncak elips
c. kordinat fokusnya
d. panjang sumbu mayornya
e. panjang sumbu minornya
f. sumbu utamanya
g. sumbu kawannya

.
$ \begin{align*} &=\\ \end{align*} $