Pertumbuhan dan Peluruhan

Pertumbuhan dan peluruhan merupakan salah satu dari penerapan konsep barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita jumpai dalam kondisi tertentu dan akan kita pelajari pada postingan kali ini. Banyak sekali hal yang dapat kita modelkan dengan konsep ini yang tentunya akan membantu dalam memecahkan suatu masalah, baik dalam penentuan umur objek hingga mampu memperkirakan sesuatu di masa yang akan datang yang tentunya didasarkan atas data-data yang ada sebelumnya. Penerapan kosep peluruhan dan pertumbuhan dapat dilihat dari konsep peluruhan radioaktif pada pembelajaran kimia yang berguna untuk mengetahui umur objek purbakala yang merupakan peninggalan zaman dahulu. Contoh lain dari penerapan konsep ini adalah dapat meramalkan jumlah penduduk yang terjadi di masa yang akan datang yang didasarkan atas data jumlah penduduk di tahun tahun sebelumnya.

Pada pembelajaran kali ini konsep pertumbuhan dan peluruhan yang kita pelajari ada dua jenis yaitu peluruhan dan pertumbuhan secara liner dan secara eksponensial. Secara sederhana peluruhan dan pertumbuhan secara linier memiliki arti bahwa perubahan objek secara konsisten nah memenuhi kurva linier yang dapat disajikan dalam bentuk garis lurus, sedangkan peluruhan dan pertumbuhan secara eksponensial adalah perubahan objek yang konsisten memenuhi kurva eksponensial. Nah untuk mengetahuinya, silahkan simak penjelasan berikut.

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan adalah bertambahnya suatu objek secara konsisten mengikuti suatu pola tertentu, ada dua jenis pertumbuhan yaitu
Pertumbuhan Linier
$P_n=P_0(1+n.b)$

Pertumbuhan Eksponensial
$P_n=P_0(1+b)^n$


PELURUHAN

Peluruhan adalah berkurangnya suatu objek secara konsisten mengikuti suatu pola tertentu, ada dua jenis perluruhan yaitu
Peluruhan Linier
$P_n=P_0(1-n.b)$

Peluruhan Eksponensial
$P_n=P_0(1-b)^n$


Keterangan
$ \begin{align*} P_n &=\text{Nilai akhir setelah n periode} \\ P_o &= \text{Nilai mula-mula} \\ n &= \text{Banyaknya Periode} \\ b &= \text{Tingkat pertumbuhan atau peluruhan} \\ \end{align*} $

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi Anuitas/angsuran, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi Anuitas/angsuran.

--- Soal No 1 ---

Pertumbuhan penduduk di banjar Benawah kangin Petak Gianyar mengalami peningkatan sebanyak 2% setiap tahun secara eksponensial, Jika di tahun 2024 jumlah penduduk di Desa benawah adalah 5000 jiwa, maka berapakah jumlah penduduk di tahun 2030.

Ini merupakan konsep pertumbuhan, sehingga jumlah penduduk diperoleh dengan rumus pertumbuhan eksponensial dengan
$T_o=5000$
$b=2$%
$n=6$
sehingga
$ \begin{align*} T_6 &= T_o(1+i)^n\\ &= 5000(1+0,02)^6\\ &= 5000. 1,13 \\ &=5650 \\ \end{align*} $

--- Soal No 2 ---

Dalam sebuah danau telah tercemar zat A sebanyak 10.000 liter. Untuk membersihkan danau tersebut akan dibersihkan dengan cara dialiri air mengalir secara terus menerus sehingga kandungan zat A dapat berkurang mengikuti bentuk peluruhan eksponensial sebesar 3% setiap bulan, maka kapan kandungan zat A dalam danau akan berkurang setengahnya.

Ini merupakan konsep peluruhan eksponensial, dan yang ditanya adalah kapan danau terbebas dari zat A $(T_a=\frac{1}{2}10.000)$ sehingga diperoleh
$T_o=10.000$
$b=3$%
$T_a=5000$
$n=x$
sehingga akan diperoleh.
$ \begin{align*} 5000 &= T_o(1-i)^n\\ \frac{5000}{10.000}&= 10.000(1-0,03)^n\\ \frac{1}{2}&= (0,97)^n \\ n &= 22,75\\ \end{align*} $
maka kandungan zat A dalam danau akan menjadi setengahnya terjadi dalam waktu 22,75 bulan.

--- Soal No 3 ---

Dalam sebuah kolam kolam di isi oleh dua jenis ikan yaitu ikan wader dan ikan aligator. Ikan wader dalam kolam adalan makanan dari ikan aligator, dimana ikan aligator dapat memakan 5% dari jumlah ikan wader yang ada setiap 2 harinya sekali Jika dalam kolam disediakan 1000 ekor ikan wader, maka dalam 10 hari jumlah ikan wader di dalam kolam adalah

Ini merupakan konsep peluruhan eksponensial, sehingga diperoleh
$T_o=1000$
$b=5$%
$n=\frac{10}{2}=5$
sehingga akan diperoleh.
$ \begin{align*} T_a &= T_o(1+i)^n\\ &= 1000(1+0,05)^5\\ &= (1,05)^n \\ &= 773,78\\ \end{align*} $
maka kandungan zat A dalam danau akan menjadi setengahnya terjadi dalam waktu 75,59 bulan.

Untuk lebih memahami konsep pertumbuhan dan peluruhan, cobalah selesaikan beberpa permasalahan berikut ini

LATIHAN SOAL

1	Disebuah kota A yang memiliki jumlah penduduk sebanyak 3 juta jiwa pada tahun 2024, jika pertumbuhan penduduk di kota A meningkat sebanyak 2% setiap tahun, maka berapakah jumlah penduduk di kota A pada tahun 2030
2	Dalam sebuah danau yang tercemar limbah telah diteliti dan diketahui banyak kandungan logam berat di dalamnya ada sebanyak 2 ton, untuk mengurangi limbah tersebut akan dialiri air bersih secara terus menerus dan diketahui setiap 1 bulan kandungan logam berat berkutang 1% dari bulan sebelumnya. Jika pada bulan januari 2024 baru mulai dialiri air, maka berapakah jumlah kandingan logam berat dalam danau hingga bulan desember 2027
3	Seorang arkeolog memiliki bahan radioaktif A dengan massa 100 gram. jika bahan radioaktif A tersebut menyusut 5% tiap 5 hari, maka berapakah massa bahan A setelah 200 hari.
4	Pak Agung membeli mobil A dengan harga 100 juta di awal tahun 2024, telah diketahui bahwa mobil A akan mengalami penurunan harga 10% tiap tahun dari harga sebelumnya. jika pada akhir tahun 2028 Pak Angung akan menjual mobil tersebut, maka berapa harga mobil Pak Agung.
5	Diketahui jumlah penduduk di suatu daerah pada awal tahun 2007 berjumlah 200.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan 2,5 % per tahun. Pada tahun berapakah jumlah penduduk mencapai 300.000 jiwa.
6	Pada awal tahun 2020 harga mobil A adalah 400.000.000 dan diketahui harga mobil A menyusut 5% setiap tahun dari tahun sebelumnya. Jika mobil akan dijual di akhir tahun 2024 maka berapa persen kerugian yang dialami pemilik mobil dari harga belinya.
7	Suatu Zat Radioaktif dengan massa 100 gram memiliki waktu paruh 4 tahun $($ waktu paruh adalah waktu yang menyebabkan zat menjadi setengahnya dari keadaan awal$)$. Berapa tahun waktu yang diperlukan zat tersebut sehingga massanya menjadi 25 gram
8	Suatu Zat Radioaktif dengan massa awal diketahui 100 gram meluruh sebesar 5% setiap 2 tahun, dan zat tersebut ditemukan tahun 2024 dengan massa 5 gram, berapa tahunkah umur zat tersebut
9	Adi adalah seorang arkeolog dia telah menemukan sebuah zat, dan saat ditemukan zat tersebut memiliki massa 20 gram. Setelah diteliti ternyata zat tersebut telah berumur 100 tahun, jika ia mengetahui zat tersebut meluruh 1% setiap tahun, maka berapakah massa awal zat tersebut.