Jika di Pembelajaran sebelumnya kita telah mengenal parabola dengan bentuk umum persamaanmya adalah $y=ax^2+bx+c$, maka pada pembelajadan kali ini parabola yang dimaksud adalah parabola yang diperoleh dengan cara mengiris kerucut dengan irisan yang sejajar dengan garis pelukisnya sehingga akan terbentuk sebuah parabola yang hampir mirib dengan parabola di pembelajaran sebelumnya. Bedanya terletak pada unsur-unsurnya dimana parabola pada irisan kerucut dapat dibuat melalui beberapa unsur yang diketahui diantaranaya Fokus Parabola, Persamaan direktriknya dan persamaan sumbu simetrinya.
Posisi parabola yang dibahas sebelumnya pun terbatas pada parabola yang terbuka keatas atau ke bawah, namun pada pembelajaran kali ini akan di bahas lebih luas yaitu jika parabola terbuka ke kanan ataupun ke kiri jika disajikan ke dalam kordinat kartesius. Kedepan cobalah untuk mengkaji bagaimana jika parabola memiliki posisi yang miring atau sumbu simetrinya tidak tegak lurus dengan sumu x ataupun sumbu y. Namun pada pembelajaran kali ini akan terbatas membahas parabola yang sejajar dengan sumu x dan sumbu y.
Posisi parabola yang dibahas sebelumnya pun terbatas pada parabola yang terbuka keatas atau ke bawah, namun pada pembelajaran kali ini akan di bahas lebih luas yaitu jika parabola terbuka ke kanan ataupun ke kiri jika disajikan ke dalam kordinat kartesius. Kedepan cobalah untuk mengkaji bagaimana jika parabola memiliki posisi yang miring atau sumbu simetrinya tidak tegak lurus dengan sumu x ataupun sumbu y. Namun pada pembelajaran kali ini akan terbatas membahas parabola yang sejajar dengan sumu x dan sumbu y.
Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu. titik tertentu disebut dengan Fokus dan garis tertentu disebut dengan direktiknya. Maka persamaan dan unsur-unsur parabolanya adalah.
Titik puncak $(0,0)$ dengan persamaan $y^2=4px$ maka
1. Fokus : $(p,0)$
2. Persamaan Direktriks : $x=-p$
3. persamaan sumbu simetrinya : $y=0$
Titik puncak $(0,0)$ dengan persamaan $x^2=4py$ maka
1. Fokus : $(0,p)$
2. Persamaan Direktriks : $y=-p$
3. persamaan sumbu simetrinya : $x=0$
Titik puncak $(a,b)$ dengan persamaan $(y-b)^2=4p(x-a)$ maka
1. Fokus : $(p+a,b)$
2. Persamaan Direktriks : $x=-p+a$
3. persamaan sumbu simetrinya : $y=b$
Titik puncak $(a,b)$ dengan persamaan $(x-a)^2=4p(y-b)$ maka
1. Fokus : $(0,p+b)$
2. Persamaan Direktriks : $y=-p+b$
3. persamaan sumbu simetrinya : $x=a$
Garis Singgung Parabola
Garis singgung pada parabola dapat ditemukan dengan langkah seperti berikut, sesuai dengan apa yang diketahui.
Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$ pada parabola
1. $y^2=4px$ adalah $y=mx+\frac{p}{m}$
2. $x^2=4py$ adalah $y=mx-m^2p$
3. $(y-b)^2=4p(x-a)$ adalah $y-b=m(x-a)+\frac{p}{m}$
4. $(x-a)^2=4p(y-b)$ adalah $y-b=m(x-a)-m^2p$
Persamaan Garis Singgung di titik $(x_1,y_1)$ pada parabola
1. $y^2=4px$ adalah $y.y_1=2p(x+x_1)$
2. $x^2=4py$ adalah $x.x_1=2p(y+y_1)$
3. $(y-b)^2=4p(x-a)$ adalah $(y-b)(y_1-b)=2p(x+x_1-2a)$
4. $(x-a)^2=4p(y-b)$ adalah $(x_1-a)(x-a)=2p(y+y_1-2b)$
Untuk memahami lebih jauh mengenai materi irisan kerucut khhususnya parabola, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi irisan kerucut khhususnya parabola.
--- Soal No 1 ---
Jika diketahui persamaan parabola $y^2=24x$ maka temukanlah
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
Persamaan diatas dapat dibuat ke dalam bentuk umumya yaitu $y^2=4.6x$, sehingga nilai $p=6$ dan akan diperoleh
a. Puncaknya jelas ada di $(0,0)$
b. Persamaan sumbu simetrinya sesuai dengan rumus diatas adalah dengan mengambil nilai $y$ di puncaknya sehingga diperoleh $x=0$
c. Kordinat fokusnya adalah $(p,0)$ maka diperoleh $(6,0)$
d. Persamaan direktriknya adalah di $(y=-p)$ maka diperoleh $y=-6$
a. Puncaknya jelas ada di $(0,0)$
b. Persamaan sumbu simetrinya sesuai dengan rumus diatas adalah dengan mengambil nilai $y$ di puncaknya sehingga diperoleh $x=0$
c. Kordinat fokusnya adalah $(p,0)$ maka diperoleh $(6,0)$
d. Persamaan direktriknya adalah di $(y=-p)$ maka diperoleh $y=-6$
--- Soal No 2 ---
Jika diketahui persamaan parabola $x^2=24y$ maka temukanlah
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
Persamaan diatas dapat dibuat ke dalam bentuk umumya yaitu $x^2=4.6y$, sehingga nilai $p=6$ dan akan diperoleh
a. Puncaknya jelas ada di $(0,0)$
b. Persamaan sumbu simetrinya sesuai dengan rumus diatas adalah dengan mengambil nilai $x$ di puncaknya sehingga diperoleh $y=0$
c. Kordinat fokusnya adalah $(0,p)$ maka diperoleh $(0,6)$
d. Persamaan direktriknya adalah di $(x=-p)$ maka diperoleh $x=-6$
a. Puncaknya jelas ada di $(0,0)$
b. Persamaan sumbu simetrinya sesuai dengan rumus diatas adalah dengan mengambil nilai $x$ di puncaknya sehingga diperoleh $y=0$
c. Kordinat fokusnya adalah $(0,p)$ maka diperoleh $(0,6)$
d. Persamaan direktriknya adalah di $(x=-p)$ maka diperoleh $x=-6$
--- Soal No 3 ---
Jika diketahui persamaan parabola $y^2-4y-8x+20=0y$ maka temukanlah
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
a. kordinat puncaknya
b. persamaan sumbu simetrinya
c. kordinat titik fokusnya
d. persamaan direktrisnya
Ubah dulu bentuk persamaan diatas ke bentuk persamaan umum parabola yaitu dengan cara
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+20 &= 0\\ (y-2)^2-4-8x+20 &= 0\\ (y-2)^2-8x+16 &= 0\\ (y-2)^2 &= 8x-16\\ (y-2)^2 &= 4.2(x-2)\\ \end{align*} $
maka diperoleh nilai $p=2$
a. puncanya ada di $(a,b)$ yaitu di $(2,2)$
b. persamaan sumbu simetrinya ada di $y=b$ yaitu di $y=2$
c. kordinat Fokusnya ada di titik $(p+a,b)$ sehingga diperoleh $(4,2)$
d. Persamaan direktriknya ada di $x=-p+a$ maka diperoleh $x=0$
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+20 &= 0\\ (y-2)^2-4-8x+20 &= 0\\ (y-2)^2-8x+16 &= 0\\ (y-2)^2 &= 8x-16\\ (y-2)^2 &= 4.2(x-2)\\ \end{align*} $
maka diperoleh nilai $p=2$
a. puncanya ada di $(a,b)$ yaitu di $(2,2)$
b. persamaan sumbu simetrinya ada di $y=b$ yaitu di $y=2$
c. kordinat Fokusnya ada di titik $(p+a,b)$ sehingga diperoleh $(4,2)$
d. Persamaan direktriknya ada di $x=-p+a$ maka diperoleh $x=0$
--- Soal No 4 ---
Cobalah temukan persamaan parabola dengan fokus di titik $(4,0)$ dan persamaan direktriknya $x=-2$
Dari definisi parabola diperoleh bawah puncak parabola berada di tengah antara fokus dan direktriknya sehingga diperoleh puncaknya berada di $\frac{4-(-2)}{2}=1$, maka puncanya berada di titik $(1,0)$ dan nilai $p=4-1=3$, sehingga dengan persamaan umumnya diperoleh
$ \begin{align*} (y-b)^2 &= 4.p(x-a)\\ (y-0)^2 &= 4.3(x-1)\\ y^2 &= 12x-12\\ \end{align*} $
$ \begin{align*} (y-b)^2 &= 4.p(x-a)\\ (y-0)^2 &= 4.3(x-1)\\ y^2 &= 12x-12\\ \end{align*} $
--- Soal No 5 ---
jika $(a,b)$ adalah pusat dan $(c,p)$ adalah fokus parabola $y^2-4y-8x+12=0$ maka nilai dari $a+b+c$ adalah ... .
Ubah terlebih dahulu bentun soal ke bentuk umunya dengan menggunkan konsep aljabar, maka diperoleh.
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+12 &= 0\\ (y-2)^2-4-8x+12 &= 0\\ (y-2)^2-8x+8 &= 0\\ (y-2)^2 &= 8x-8\\ (y-2)^2 &= 8(x-1)\\ \end{align*} $
dari langkah diatas diperoleh pusatnya berada di titik $(1,2)$ dan fokusnya berada di $(3,2)$, sehingga nilai dari $a+b+c=1+2+3=6$
$ \begin{align*} y^2-4y-8x+12 &= 0\\ (y-2)^2-4-8x+12 &= 0\\ (y-2)^2-8x+8 &= 0\\ (y-2)^2 &= 8x-8\\ (y-2)^2 &= 8(x-1)\\ \end{align*} $
dari langkah diatas diperoleh pusatnya berada di titik $(1,2)$ dan fokusnya berada di $(3,2)$, sehingga nilai dari $a+b+c=1+2+3=6$
Untuk lebih memahami konsep parabola dan Garis singgungnya, cobalah selesaikan beberpa permasalahan berikut ini
LATIHAN SOAL
| 1 | Jika diketahui persamaan parabola $y^2=40x$, maka coba temukan
a. kordinat puncaknya b. persamaan sumbu simetrinya c. kordinat titik fokusnya d. persamaan direktrisnya |
| 2 | Jika diketahui persamaan parabola $(y-3)^2=20x-80$, maka coba temukan
a. kordinat puncaknya b. persamaan sumbu simetrinya c. kordinat titik fokusnya d. persamaan direktrisnya |
| 3 | Jika diketahui persamaan parabola $y^2-2y-4x+9=0$, maka coba temukan
a. kordinat puncaknya b. persamaan sumbu simetrinya c. kordinat titik fokusnya d. persamaan direktrisnya |
| 4 | Coba temukan persamaan garis singgung parabola $(y-1)^2=4(x+2)$ di titik $(2,5)$ |
| 5 | Tentukan persamaan garis singgung yang dapat ditarik dari titik $P(-3,1)$ terhadap parabola $y^2=x$. |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar