Irisan Kerucut | Elips dan Garis Singgungnya ~ MELAJAH MATEMATIKA

Jika di pembelajaran sebelumnya kita sudah mengetahui apa itu lingkaran dan unsur-unsurnya dimana untuk membuat lingkaran diperlukan sebuah titik pusat dan jari-jari atau bisa juga ditemukan dengan cara memotong kerucut dengan sebuah bidang yang sejajar dengan bidang alasnya. Namun apabila perpotongannya dibuat miring atau tidak sejajar dengan bidang alas ataupun garis pelukisnya, maka akan diperoleh sebuah bangun yang disebut dengan elips. Selain dengan cara tersebut Elips dapat dibuat dengan cara mengambil dua buah titik $($ yang nantinya disebut titik Fokus $)$ dan sebuah titik yang tidak segaris dengan kedua titik fokus, kemudian elips akan terbentuk jika kita ilustrasikan melalui kedua fokus ditarik sebuah benang ke titik lain sehingga panjang benang tetap maka dengan menggerakan titik lain tersebut akan diperoleh sebuah elips.

Jika diilustrasikan pada kordinat kartesius, maka elips yang dibahas pada pembelajaran kali ini akan terbatas pada elips yang garis yang melalui puncak elips sejajar dengan sumbu x dan sumbu y. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan penjelasna berikut ini.

Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai hasil penjumlahan jarak terhadap dua titik tertentu tetap nilainya. Kedua titik tertentu akan disebut dengan titik Fokus $(F)$, maka untuk menemukan persamaan elipsnya ikuti langkah berikut.

Persamaan Elips Dengan Pusat di titik $(0,0)$ dan persamaan berbentuk $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
1. Pusat $(0,0)$
2. Fokus $F_1(c,0)$ dan $F_2(-c,0)$ jika $a > b$ dengan $c=\sqrt{a^2-b^2}$ serta Fokus di $F_1(0,c)$ dan $F_2(0,c)$ jika $b > a$ dengan $c=\sqrt{b^2-a^2}$
3. puncak berada di titik $(a,0),(-a,0)$ dan $(0,b),(0,-b)$
4. Sumbu utamanya adalah $y=0$ jika $a > b$ dan $x=0$ jika $b > a$. Sumbu utama adalah sumbu elips yang paling panjang
5. Panjang sumbu mayor adalah $2a$ dan panjang sumbu minor adalah $2b$

Persamaan Elips Dengan Pusat di titik $(p,q)$ dan persamaan berbentuk $\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$
1. Pusat $(p,q)$
2. Fokus $F_1(p+c,q)$ dan $F_2(p-c,q)$ jika $a > b$ dengan $c=\sqrt{a^2-b^2}$ serta Fokus di $F_1(p,q+c)$ dan $F_2(p,q-c)$ jika $b > a$ dengan $c=\sqrt{b^2-a^2}$
3. puncak berada di titik $(p+a,q),(p-a,q)$ dan $(p,q+b),(p,q-b)$
4. Sumbu utamanya adalah $y=q$ jika $a > b$ dan $x=p$ jika $b > a$. Sumbu utama adalah sumbu elips yang paling panjang
5. Panjang sumbu mayor adalah $2a$ dan panjang sumbu minor adalah $2b$

Garis Singgung Elips

Persamaan garis singgung pada elips diperoleh dengan langkah berikut.

Persamaan Garis Singgung Dengan Gradien $m$ Pada Elis
1. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $y=mx \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$
2. $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ dengan $y=mx \pm \sqrt{a^2+b^2m^2}$
3. $\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $y-q=m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2+b^2}$
4. $\frac{(y-q)^2}{a^2}+\frac{(x-p)^2}{b^2}=1$ dengan $y-q=m(x-p) \pm \sqrt{a^2+b^2m^2}$

Persamaan Garis Singgung Dengan titik $(x_1,y_1)$ Pada Elis
1. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{x_1.x}{a^2}+\frac{y_1.y}{b^2}=1$
2. $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{y_1.y}{a^2}+\frac{x_1.x}{b^2}=1$
3. $\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{(x_1-p)(x-p)}{a^2}+\frac{(y_1-q)(y-q)}{b^2}=1$
4. $\frac{(y-q)^2}{a^2}+\frac{(x-p)^2}{b^2}=1$ dengan $\frac{(y_1-p)(y-p)}{a^2}+\frac{(x_1-q)(y-q)}{b^2}=1$

Untuk memahami lebih jauh mengenai materi irisan kerucut khhususnya elips, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi irisan kerucut khhususnya elips.

--- Soal No 1 ---

Diketahui persamaan elips $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, maka temukanlah.
a. kordinat pusat elips
b. kordinat puncak elips
c. kordinat fokusnya
d. panjang sumbu mayornya
e. panjang sumbu minornya
f. sumbu utamanya
g. sumbu kawannya