--- Soal No 1 ---
Di samping kolam ikan berbentuk segitiga, dibangun jalan berbentuk L dengan panjang 3 meter dan lebar x meter, seperti yang terlihat pada gambar berikut !
Jika luas segitiga tersebut sama dengan luas daerah yang berbentuk L, maka nilai x adalah ... meter.
A. $3-\sqrt{6}$
B. $2\sqrt{3}-3$
C. $3+\sqrt{6}$
D. $2\sqrt{3}+3$
A. $3-\sqrt{6}$
B. $2\sqrt{3}-3$
C. $3+\sqrt{6}$
D. $2\sqrt{3}+3$
Kunci : A. $3-\sqrt{6}$
Petunjuk !
1. buatlah garis bantu yang membuat jalan berbentuk L akan menjadi dua buah bangun persegi panjang.
2. temukan semua panjang sisi pada bangun kemudian gunakan rumus luas persegi panjang dan luas segitiga kemudian samakan.
3. dari langkah 2, akan ditemukan sebuah persamaan dalam $x$, maka selesaikan persamaanya.
Petunjuk !
1. buatlah garis bantu yang membuat jalan berbentuk L akan menjadi dua buah bangun persegi panjang.
2. temukan semua panjang sisi pada bangun kemudian gunakan rumus luas persegi panjang dan luas segitiga kemudian samakan.
3. dari langkah 2, akan ditemukan sebuah persamaan dalam $x$, maka selesaikan persamaanya.
--- Soal No 2 ---
A bergerak mendekati B yang berjarak 55 km dengan kecepatan 5 km/jam. Satu jam kemudian, B bergerak menuju A dengan kecepatan 𝑥 km/jam, dengan 𝑥 adalah waktu $($dalam jam$)$ ketika B berangkat sampai bertemu A. Grafik yang menyatakan hubungan antar waktu $($t$)$ yang dibutuhkan A bertemu B dengan jarak $($S$)$ A dan B adalah....
Kunci : Jawaban B
Petunjuk !
1. jelas sekali 1 jam pertama akan diperoleh fungsi $55-5t$
2. untuk jem berikutnya A dan B sama sama bergerek, dimana A bergerak dengan fungsi $5(t-1)$ dan B bergerak dengan fungsi $(t-1)t$
3. kurangi sisa jaraj yang masih tersisa dengan fungsi pergerakan A dan B, kemudian temukan fungsi yang memenuhi dan pilih gambar yang cocok. $($ Ingatlah bagaimana sifat-sifat fungsi kuarat $)$
Petunjuk !
1. jelas sekali 1 jam pertama akan diperoleh fungsi $55-5t$
2. untuk jem berikutnya A dan B sama sama bergerek, dimana A bergerak dengan fungsi $5(t-1)$ dan B bergerak dengan fungsi $(t-1)t$
3. kurangi sisa jaraj yang masih tersisa dengan fungsi pergerakan A dan B, kemudian temukan fungsi yang memenuhi dan pilih gambar yang cocok. $($ Ingatlah bagaimana sifat-sifat fungsi kuarat $)$
--- Soal No 3 ---
Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 adalah bilangan-bilangan bulat positif yang berbeda sehingga 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐, dan 𝑎 + 𝑑 bilangan ganjil sekaligus bilangan kuadrat. Nilai 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 terkecil yang mungkin adalah….
A. 33
B. 67
C. 81
D. 83
A. 33
B. 67
C. 81
D. 83
Kunci : B. 67
Petunjuk !
1. perhatikan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka nilainya pasti lebih dari 1 karena 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐, dan 𝑎 + 𝑑 adalah bilangan ganjil dan kuadrat
2. ambil 3 bilangan kuadra ganjil terkecil, kemudian jumlahkan hasilnya.
3. dengan langkah 1 dan 2 soal dapat diselesaikan.
Petunjuk !
1. perhatikan 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka nilainya pasti lebih dari 1 karena 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐, dan 𝑎 + 𝑑 adalah bilangan ganjil dan kuadrat
2. ambil 3 bilangan kuadra ganjil terkecil, kemudian jumlahkan hasilnya.
3. dengan langkah 1 dan 2 soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 4 ---
Diketahui $x^2+\sqrt{xy}+y^2=168$ dan $x-\sqrt{xy}+y=10$ maka nilai dari $x+\sqrt{xy}+y$ yang mungkin adalah ....
A. 14
B. 27
C. 44
D. 62
A. 14
B. 27
C. 44
D. 62
Kunci :D. 62
Petunjuk !
1. melalui persamaan yang ada di soal, misalkan bentuk $\sqrt{xy}=a$ dan $xy=a^2$ kemudian perhatikan pula bentuk $x^2+\sqrt{xy}+y^2=168$ bisa diubah menjadi $(x+y)^2-2xy+\sqrt{xy}=168$ dan persamaan $x-\sqrt{xy}+y=10$ ubah menjadi $x+y=\sqrt{xy}+10$ kemudian substitusikan kedua persamaan tersebut.
2. dari langkah yang pertama akan diperoleh nilai $a$ yang memenuhi. dan jika nilai $a$ sudah ada, maka soal bisa diselesaika.
3. dari langkah 2 akan ditemukan dua buah nilai $a$ maka temukan nilai $x+\sqrt{xy}+y$ untuk kedua nilai $a$ yang diperoleh dan jumlahkan
Petunjuk !
1. melalui persamaan yang ada di soal, misalkan bentuk $\sqrt{xy}=a$ dan $xy=a^2$ kemudian perhatikan pula bentuk $x^2+\sqrt{xy}+y^2=168$ bisa diubah menjadi $(x+y)^2-2xy+\sqrt{xy}=168$ dan persamaan $x-\sqrt{xy}+y=10$ ubah menjadi $x+y=\sqrt{xy}+10$ kemudian substitusikan kedua persamaan tersebut.
2. dari langkah yang pertama akan diperoleh nilai $a$ yang memenuhi. dan jika nilai $a$ sudah ada, maka soal bisa diselesaika.
3. dari langkah 2 akan ditemukan dua buah nilai $a$ maka temukan nilai $x+\sqrt{xy}+y$ untuk kedua nilai $a$ yang diperoleh dan jumlahkan
--- Soal No 5 ---
Diketahui sebuah dadu seimbang bersisi 6 semula memiliki mata dadu 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Dadu tersebut dilambungkan satu kali dan diamati hasilnya. Jika yang muncul angka ganjil, maka angka tersebut diganti dengan angka 8. Namun, Jika yang muncul angka genap, maka angka tersebut diganti dengan angka 1, kemudian dadu yang mata dadunya telah diganti tersebut dilambungkan kembali, peluang munculnya mata dadu ganjil adalah....
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $1$
Kunci : C. $\frac{1}{2}$
Petunjuk !
1. Dalam soal ini akan ada dua buah kondisi yaitu, pada pelemparan pertama dan kedua muncul angka ganjil dan pada pelemparan pertama muncuk genap dan kedua muncul ganjil.
2. temukan peluang kemungkinan pada langkah 1, dan jangan lupa untuk lemparan kedua ada penambahan ruang sampel dadu karena adanya penggantian mata dadu
3. jumlahkan kedua hasil yang diperoleh.
Petunjuk !
1. Dalam soal ini akan ada dua buah kondisi yaitu, pada pelemparan pertama dan kedua muncul angka ganjil dan pada pelemparan pertama muncuk genap dan kedua muncul ganjil.
2. temukan peluang kemungkinan pada langkah 1, dan jangan lupa untuk lemparan kedua ada penambahan ruang sampel dadu karena adanya penggantian mata dadu
3. jumlahkan kedua hasil yang diperoleh.
--- Soal No 6---
Seorang milliarder sedang membangun hotel. Kamar-kamar hotel tersebut diberi nomor secara berurutan dengan menggunakan bilangan asli mulai dari angka 1. Nomor kamar dibuat dari plat besi seharga Rp8.000 per digit. Sebagai contoh No. 7 perlu biaya Rp8.000 dan No. 11 perlu biaya Rp16.000. Jika hotel tersebut menghasikan biaya sebesar Rp33.416.000 untuk membuat seluruh nomor kamar, maka banyaknya kamar pada hotel tersebut adalah....
A. 1.288
B. 1.321
C. 2.700
D. 4.177
A. 1.288
B. 1.321
C. 2.700
D. 4.177
Kunci :
Petunjuk !
1. temukan banyak angka 1 digit, 2 digti, 3 digit dan 4 digit. kemudian jumlahkan banyaknya bilangan-bilangan yang terbantuk
2. kalikan banyak bilangan 1 digit dengan Rp 8000, 2 digit dengan Rp 16000, 3 digit dengan Rp 23000 dan 4 digit dengan Rp 32000
3. maka bandingkan dengan jumlah uang yang dimiliki oelh milyader tersebut.
Petunjuk !
1. temukan banyak angka 1 digit, 2 digti, 3 digit dan 4 digit. kemudian jumlahkan banyaknya bilangan-bilangan yang terbantuk
2. kalikan banyak bilangan 1 digit dengan Rp 8000, 2 digit dengan Rp 16000, 3 digit dengan Rp 23000 dan 4 digit dengan Rp 32000
3. maka bandingkan dengan jumlah uang yang dimiliki oelh milyader tersebut.
--- Soal No 7 ---
Aima mendapatkan kesempatan makan malam gratis di suatu resto dari tanggal 1 hingga 10 juni 2023. Aima boleh memilih lebih dari satu tanggal kedatangan pada periode tersebut selama bukan tanggal berurutan. Jika Aima berencana datang setidaknya satu kali, maka banyaknya kemungkinan jadwal kedatangan yang dapat dibuat oleh Aima adalah ....
A. 45
B. 143
C. 144
D. 2025
A. 45
B. 143
C. 144
D. 2025
Kunci : B. 143
Petunjuk !
1. Permasalahan ini identik dengan memilih $x$ bilangan berbeda dari himpunan $a_1,a_2,...a_x$ dengan syarat $a_n-a_{n-1} > 1$, yang mana dapat dicari dengan cara $ \binom{n-(x-1)}{x}$. denan $n$ adalah banyak pilihan dan $x$ adalah banyak yang dipilih.
2. Temukan banyak kemungkinan dengan mengambil nilai $x$ sebagai banyak kedatangan yangdi inginkan Aima, misal ia ingin datang sekali dua kali dan seterusnya
3. Sesuai kasusnya, Aima tidak akan mungkin datang 6 kali ke restoran karena kedatanganya harus selang seling. Sehungga kemungkinan nilai $x=1,2,3,4,5$. Jumlahkan semua hasil dari nilai $x$
Petunjuk !
1. Permasalahan ini identik dengan memilih $x$ bilangan berbeda dari himpunan $a_1,a_2,...a_x$ dengan syarat $a_n-a_{n-1} > 1$, yang mana dapat dicari dengan cara $ \binom{n-(x-1)}{x}$. denan $n$ adalah banyak pilihan dan $x$ adalah banyak yang dipilih.
2. Temukan banyak kemungkinan dengan mengambil nilai $x$ sebagai banyak kedatangan yangdi inginkan Aima, misal ia ingin datang sekali dua kali dan seterusnya
3. Sesuai kasusnya, Aima tidak akan mungkin datang 6 kali ke restoran karena kedatanganya harus selang seling. Sehungga kemungkinan nilai $x=1,2,3,4,5$. Jumlahkan semua hasil dari nilai $x$
--- Soal No 8 ---
Suatu bak penampungan air berbentuk kerucut terbalik (seperti gambar) berisi air dengan volume 1 liter. Jika bak penampungan tersebut ditambahkan air sebanyak 331 mililiter, maka perbandingan antara tinggi air di dalam bak penampungan mula-mula dan setelah ditambahkan air adalah….....
A. 10∶ 11
B. 11∶ 13
C. 331∶ 1000
D. 1000∶ 1331
A. 10∶ 11
B. 11∶ 13
C. 331∶ 1000
D. 1000∶ 1331
Kunci : A. 10∶ 11
Petunjuk !
1. Gunakanlah teorema bahwa "Jika perbandingan tinggi dua bangun ruang yang sebangun adalah $𝑎:𝑏$, maka perbandingan volumnya akan sama dengan $𝑎^3:𝑏^3$".
2. selain menggunkan teorema pada langkah 1, soal ini bisa diselesaikan dengan membandingkan volume kerucut awal dan setelah ditambahkan air dan menghubungkan dengan konseo kesebangunan untuk menemukan hubungan sisi-sisinya.
3. jeli dalam melihat hubungan antar persamaan adalah kunci dalam penyelesaianya
Petunjuk !
1. Gunakanlah teorema bahwa "Jika perbandingan tinggi dua bangun ruang yang sebangun adalah $𝑎:𝑏$, maka perbandingan volumnya akan sama dengan $𝑎^3:𝑏^3$".
2. selain menggunkan teorema pada langkah 1, soal ini bisa diselesaikan dengan membandingkan volume kerucut awal dan setelah ditambahkan air dan menghubungkan dengan konseo kesebangunan untuk menemukan hubungan sisi-sisinya.
3. jeli dalam melihat hubungan antar persamaan adalah kunci dalam penyelesaianya
--- Soal No 9 ---
Perhatikan gambar berikut!
Di dalam persegi ABCD terdapat dua setenagn lingkaran dengan diameter AD dan BC. Ruas garis EF dan GH sejajar AB. Jika EK = 3 cm, LH = 6 cm, dan EG = 9 cm, maka luas daerah persegi ABCD adalah... 𝑐𝑚2.
A. 180
B. 360
C. 90
D. 150
A. 180
B. 360
C. 90
D. 150
Kunci : A. 180
Petunjuk !
1. Buatlah titik pusat P pada AD, kemudian kita akan berfokus menemukan PG atau PA
2. untuk menemukan PG atau PA, cobalah menarik garia PG dan PQ, dengan Q adalah titik potong lingkaran berdiameter AB dengan garis GHSehingga akan dtemukan dua buah segitiga siku-siku.
3. melalui segitiga siku-siku yang diperoleh, maka coba terapkan rumus pytagoras unutk menemukan panjang PG atauPA
4. jika PG atau PA sudah ada, maka luas ABCD bisa ditemukan
Petunjuk !
1. Buatlah titik pusat P pada AD, kemudian kita akan berfokus menemukan PG atau PA
2. untuk menemukan PG atau PA, cobalah menarik garia PG dan PQ, dengan Q adalah titik potong lingkaran berdiameter AB dengan garis GHSehingga akan dtemukan dua buah segitiga siku-siku.
3. melalui segitiga siku-siku yang diperoleh, maka coba terapkan rumus pytagoras unutk menemukan panjang PG atauPA
4. jika PG atau PA sudah ada, maka luas ABCD bisa ditemukan
--- Soal No 10 ---
Diketahui dua buah segitiga OAB dan OCB dengan O(0, 0), A(4, 0), B(0, 3), dan C(2, 3). Jika segitiga OCB digeser searah sumbu-𝑥 sehingga titik O terletak di tengah sisi OA, maka perbandingan antara luas irisan kedua segitiga mula-mula dan luas irisan kedua segitiga setelah segitiga OCB digeser adalah...
A. 3 : 2
B. 2 : 1
C. 3 : 1
D. 4 : 1
A. 3 : 2
B. 2 : 1
C. 3 : 1
D. 4 : 1
Kunci : D. 4 : 1
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar yang dilengkapi dengan panjang sisi-sisinya sesuai dengan soal.
2. perhatikan kedua segitiga yang terbentuk akibat pergeseranya, kedua segitiga tersebut merupakan dua buah segitiga yang sebangun.
3. Sesuai teorema, pada dua buah bangun yang sebangun dengan perbandingan sisi $a:b$, maka perbadingan luas bangun tersebut adalah $a^2:a^2$
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar yang dilengkapi dengan panjang sisi-sisinya sesuai dengan soal.
2. perhatikan kedua segitiga yang terbentuk akibat pergeseranya, kedua segitiga tersebut merupakan dua buah segitiga yang sebangun.
3. Sesuai teorema, pada dua buah bangun yang sebangun dengan perbandingan sisi $a:b$, maka perbadingan luas bangun tersebut adalah $a^2:a^2$
--- Soal No 11 ---
Misalakan populasi ikan A semula adalah 𝑥 dan populasi ikan B semula adalah 𝑦. Sekarang, populasi ikan A meningkat 28% dan populasi B berkurang 28%, sehngga rasio populasi ikan A dan B menjadi 𝑦/𝑥. Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingakan total populasi ikan semula adalah...
A. 0%
B. 4%
C. 28%
D. 33%
A. 0%
B. 4%
C. 28%
D. 33%
Kunci : B. 4%
Petunjuk !
1. Temukan nilai $x$ dan $y$ yang diperoleh dengan cara membandingkan pupulasi setelah mengalami kenaikan atau penurunan.
2. untuk menemumukan besar selisih perubahan populasi, maka kalikan besar perbandingan yang diperoleh dengan besar perubahan populasinya kemudian dikurangi dengan 100% kalikan jumlah perbandingan x dan y.
3. untuk menemukan porsentase, bandingkan besar perubahan dan totalnya.
Petunjuk !
1. Temukan nilai $x$ dan $y$ yang diperoleh dengan cara membandingkan pupulasi setelah mengalami kenaikan atau penurunan.
2. untuk menemumukan besar selisih perubahan populasi, maka kalikan besar perbandingan yang diperoleh dengan besar perubahan populasinya kemudian dikurangi dengan 100% kalikan jumlah perbandingan x dan y.
3. untuk menemukan porsentase, bandingkan besar perubahan dan totalnya.
--- Soal No 12 ---
Diketahui $𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒$ merupakan bilangan bulat positif dengan $𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑒$ dan $𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑎.𝑏.𝑐.𝑑.𝑒$. Nilai terbesar yang mungkin dari $𝑒$ adalah....
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
Kunci : C. 5
Petunjuk !
1. perhatikan persamaan $𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑎.𝑏.𝑐.𝑑.𝑒$, ambilah nilai $a.b.c.d=1$ maka nilai e akan ditemukan tidak terdefinisi. Kemudian lanjutkan ambil nilai $a.b.c.d=2$ hal ini akan mengakibatkan nilai $d=2$ dan nilai $e$ juga bisa ditemukan
2. lanjutkan langkah pada point pertama hingga ditemukan nilai $e$ yang paling tinggi
Petunjuk !
1. perhatikan persamaan $𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑎.𝑏.𝑐.𝑑.𝑒$, ambilah nilai $a.b.c.d=1$ maka nilai e akan ditemukan tidak terdefinisi. Kemudian lanjutkan ambil nilai $a.b.c.d=2$ hal ini akan mengakibatkan nilai $d=2$ dan nilai $e$ juga bisa ditemukan
2. lanjutkan langkah pada point pertama hingga ditemukan nilai $e$ yang paling tinggi
--- Soal No 13 ---
Segitiga $𝐴𝐵𝐶$ terletak pada setengah lingkaran berdiameter $𝐴𝐵$ dengan $∠𝐴𝐵𝐶 = 30°$. Titik $𝐸$ terletak pada $𝐴𝐵$ sehingga $𝐴𝐵 = 4 𝐸𝐵$ dan $𝐸𝐶 = 14$ cm. Luas segitiga $𝐵𝐸𝐶$ sama dengan… $𝑐𝑚^2$.
A. $14\sqrt{3}$
B. $16\sqrt{7}$
C. $28\sqrt{3}$
D. $32\sqrt{3}$
A. $14\sqrt{3}$
B. $16\sqrt{7}$
C. $28\sqrt{3}$
D. $32\sqrt{3}$
Kunci :A. $14\sqrt{3}$
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal pada gambar, kemudian misalkan O adalah pusat lingkarab dan akibatnya AOC adalah segitiga sama sisi. dari segitiga sama sisi AOB buatlah garis bantu CP yang merupakan tinggi segitiga $($ nisalkan t $)$
2. melalui informasi $𝐴𝐵 = 4 𝐸𝐵$, maka misalkan panjang $EB,EO,EP$ dan $PA$ ke dalam variabel $x$ dan perhatikan untuk menemukan $t$ dapat menerapkan pytagoras pada segtiga $ECP$ dan $CPA$
3. melalui langkah kedua, maka akan ditemukan nilai $x$
4. jika nilai $x$ ada, maka luas segitiga BEC bisa diemukan.
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal pada gambar, kemudian misalkan O adalah pusat lingkarab dan akibatnya AOC adalah segitiga sama sisi. dari segitiga sama sisi AOB buatlah garis bantu CP yang merupakan tinggi segitiga $($ nisalkan t $)$
2. melalui informasi $𝐴𝐵 = 4 𝐸𝐵$, maka misalkan panjang $EB,EO,EP$ dan $PA$ ke dalam variabel $x$ dan perhatikan untuk menemukan $t$ dapat menerapkan pytagoras pada segtiga $ECP$ dan $CPA$
3. melalui langkah kedua, maka akan ditemukan nilai $x$
4. jika nilai $x$ ada, maka luas segitiga BEC bisa diemukan.
--- Soal No 14 ---
Segitiga ABC siku-siku di A dan ADEC adalah persegi panjang. Titik H terletak pada DE dan lingkaran dengan pusat H menyinggung ketiga sisi segitiga ABC. Jika FG = 2 cm dan EF = 4 cm, maka luas segitiga ABC adalah ... 𝑐𝑚$^2$.
A. 8
B. 27
C. 54
D. 108
A. 8
B. 27
C. 54
D. 108
Kunci : C. 54
Petunjuk !
1. tariklah garis HP dimana P merupakan titik singgung lingkaran pada garis BC
2. perhatikan segitiga CEF dan HPF merupakan dua buah segitiga yang sebangun, sehingga pada semua sisi pada segitiga HPF diketahui walaupun dalam variabel $r$ dimana $r$ adalah jari-jari lingkaran
3. dengan menerapkan theorema pytagoras pada segitiga HPF maka nilai r dapat ditemukan.
4. jika nilai $r$ ada maka panjang sisi $AB$ dan $AC$ yang merupakan alas dan tinggi segitiga dapat ditemukan.
5. Gunakan rumus luas segitiga untuk menemukan luas bangun ABC
Petunjuk !
1. tariklah garis HP dimana P merupakan titik singgung lingkaran pada garis BC
2. perhatikan segitiga CEF dan HPF merupakan dua buah segitiga yang sebangun, sehingga pada semua sisi pada segitiga HPF diketahui walaupun dalam variabel $r$ dimana $r$ adalah jari-jari lingkaran
3. dengan menerapkan theorema pytagoras pada segitiga HPF maka nilai r dapat ditemukan.
4. jika nilai $r$ ada maka panjang sisi $AB$ dan $AC$ yang merupakan alas dan tinggi segitiga dapat ditemukan.
5. Gunakan rumus luas segitiga untuk menemukan luas bangun ABC
--- Soal No 15 ---
Empat orang siswa dipilih mewakili suatu sekolah untk OSK SMP 2023. Peluang ada siswa yang lahir di bulan yang sama adalah….
A. 0,4271
B. 0,5729
C. 0,2747
D. 0,4115
A. 0,4271
B. 0,5729
C. 0,2747
D. 0,4115
Kunci : A. 0,4271
Petunjuk !
1. untuk mendapatkan peluang siswa yang lahir di bulan yang sama, maka hal ini bisa didapatkan dengan cara menemukan selisih semua kemungkinan $($ 1 $)$ dengan banyak kemungkinan semua siswa lahir di bulan yang berbeda
2. untuk menemukan banyak kemungkinan semua siswa lahir di bulan yang berbeda dapat ditemukan dengan konsep permutasi.
3. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinan siswa lahir di bulan yang berbeda
Petunjuk !
1. untuk mendapatkan peluang siswa yang lahir di bulan yang sama, maka hal ini bisa didapatkan dengan cara menemukan selisih semua kemungkinan $($ 1 $)$ dengan banyak kemungkinan semua siswa lahir di bulan yang berbeda
2. untuk menemukan banyak kemungkinan semua siswa lahir di bulan yang berbeda dapat ditemukan dengan konsep permutasi.
3. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinan siswa lahir di bulan yang berbeda
--- Soal No 16 ---
Dua kapal memiliki tempat bersandar $($berlabuh$)$ yang sama di suatu pelabuhan. Diketahui bahwa waktu kedatangan kedua kapal saling bebas dan memiliki kemungkinan yang sama untuk bersandar pada suatu hari Minggu $($jam 00.00 - 24.00$)$. Jika waktu bersandar kapal pertama adalah 2 jam dan waktu bersandar kapal kedua adalah 4 jam, peluang bahwa satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar dapat digunakan adalah....
A. $\frac{67}{44}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{67}{288}$
D. $\frac{23}{144}$
A. $\frac{67}{44}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{67}{288}$
D. $\frac{23}{144}$
Kunci :C. $\frac{67}{288}$
Petunjuk !
1. misalkan dulu kapal 1 ada d sumbu x dan kapal 2 ada disumbu y pada kordinat dengan semesta dari kejadianya berbentuk persegi dengan sisi 24, karena lama waktu yang diminta adalah 0-24 jam.
2. karena peluang bersandar sama, maka garis y=x bisa diasumsikan menjadi garis pembatas antara peluang bersandar kapal 1 dan kapal 2
3. karena kapal 1 bersandar selama 2 jam dan kapal 4 jam maka dapat dibuatkan sebuah pertaksamaan yaitu $x < y < x + 2$ memiliki makna bahwa kapal 2 $($ y $)$ menunggu selama 2 jam setelah kapal 1 bersandar.
4. karena kapal 1 bersandar selama 2 jam dan kapal 4 jam maka dapat dibuatkan sebuah pertaksamaan yaitu $y < x < y + 4$ memiliki makna bahwa kapal 1 $($ x $)$ menunggu selama 4 jam setelah kapal 2 bersandar.
5. satukan selang pada langkah 3 dan 4 dngan mengalikan negatif, sehingga diperoleh $-4 < y-x < 2$ atau $x-4 < y < 2+x$
6. gambarlah kedua persamaan garis pada persegi yang telah diperoleh pada langkah 1, maka peluangnya adalah perbandingan luas yang dibentuk oleh kedua garis dengan persegi yang diperoleh pada langkah 1
Petunjuk !
1. misalkan dulu kapal 1 ada d sumbu x dan kapal 2 ada disumbu y pada kordinat dengan semesta dari kejadianya berbentuk persegi dengan sisi 24, karena lama waktu yang diminta adalah 0-24 jam.
2. karena peluang bersandar sama, maka garis y=x bisa diasumsikan menjadi garis pembatas antara peluang bersandar kapal 1 dan kapal 2
3. karena kapal 1 bersandar selama 2 jam dan kapal 4 jam maka dapat dibuatkan sebuah pertaksamaan yaitu $x < y < x + 2$ memiliki makna bahwa kapal 2 $($ y $)$ menunggu selama 2 jam setelah kapal 1 bersandar.
4. karena kapal 1 bersandar selama 2 jam dan kapal 4 jam maka dapat dibuatkan sebuah pertaksamaan yaitu $y < x < y + 4$ memiliki makna bahwa kapal 1 $($ x $)$ menunggu selama 4 jam setelah kapal 2 bersandar.
5. satukan selang pada langkah 3 dan 4 dngan mengalikan negatif, sehingga diperoleh $-4 < y-x < 2$ atau $x-4 < y < 2+x$
6. gambarlah kedua persamaan garis pada persegi yang telah diperoleh pada langkah 1, maka peluangnya adalah perbandingan luas yang dibentuk oleh kedua garis dengan persegi yang diperoleh pada langkah 1
--- Soal No 17 ---
Perhatikan kedua persamaan $A=\frac{(p^2+q^2+r^2)^2}{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}$ dan $\frac{q^2-pr}{p^2+q^2+r^2}$ jika nilai $p+q+r=0$ maka nilai dari $A^2-4B$ adalah ....
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
Kunci :D. 14
Petunjuk !
1. sederhanakan nilai A dan B dengan konsep aljabar
2. mulailah menyederhakan $A$ dari $(p+q+r)^2$ untuk menemukan nilai $p^2+q^2+r^2$ kemudian setelah ketamu kuadratkan sekali lagi hingga ditemukan bentuk $(p^2+q^2+r^2)^2$ dan ingat bahwa $p+q+r=0$ maka dari langkah ini akan dutemukan nilai A yang lebih sederhana
3. selanjutnya untuk menyederhakan nilai $B$ mulailah dari $𝑝^2+𝑞^2+𝑟^2=−2(𝑝𝑞+𝑞𝑟+𝑟𝑝)$ dengan $p+q+r=0$
4. melalui langkah 2 dan 3 nilai A dan B dapat ditemukan.
Petunjuk !
1. sederhanakan nilai A dan B dengan konsep aljabar
2. mulailah menyederhakan $A$ dari $(p+q+r)^2$ untuk menemukan nilai $p^2+q^2+r^2$ kemudian setelah ketamu kuadratkan sekali lagi hingga ditemukan bentuk $(p^2+q^2+r^2)^2$ dan ingat bahwa $p+q+r=0$ maka dari langkah ini akan dutemukan nilai A yang lebih sederhana
3. selanjutnya untuk menyederhakan nilai $B$ mulailah dari $𝑝^2+𝑞^2+𝑟^2=−2(𝑝𝑞+𝑞𝑟+𝑟𝑝)$ dengan $p+q+r=0$
4. melalui langkah 2 dan 3 nilai A dan B dapat ditemukan.
--- Soal No 18 ---
Diketahui barisan bilangan
$x_1+x_3+...+x_{2023}=25-[x_2+x_4+...+x_{2022}]$
$x_1^2+x_3^2+...+x_{2023}^2=125-[x_2^2+x_4^2+...+x_{2022}^2]$
$-2 \leq x_i \leq 1$ untuk $i=1,2,3,..., 2023$
maka nilai terkecil yang mungkin dari $x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_{2023}^3$ adalah ....
A. -100
B. -71
C. -51
D. -16
$x_1+x_3+...+x_{2023}=25-[x_2+x_4+...+x_{2022}]$
$x_1^2+x_3^2+...+x_{2023}^2=125-[x_2^2+x_4^2+...+x_{2022}^2]$
$-2 \leq x_i \leq 1$ untuk $i=1,2,3,..., 2023$
maka nilai terkecil yang mungkin dari $x_1^3+x_2^3+x_3^3+...+x_{2023}^3$ adalah ....
A. -100
B. -71
C. -51
D. -16
Kunci :B. -71
Petunjuk !
1. melalui persamaan pertama temukan nilai $x_1+x_2+x_3+...+x_{2023}$ dengan pindah ruas beberapa sukunya.
2. melalui persamaan kedua temukan nilai $x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_{2023}^2$ dengan pindah ruas beberapa sukunya.
3. karena $x_i=-2,-1,0,1$ maka misalkan banyaknya nilai $-2, -1, 0$ dan $1$ yang diwakili oleh masing-masing variabel $p,q,r$ dan $s$, kemudian dari langkah 1 akan diperoleh sebuah persamaan dalam bentuk $p,q,s$ karena $r=0$ tidak mempengarauhi jumlahnya. Lakukan hal yang sama untuk langkah yang kedua yaitu nilai kuadratnya.
4. untuk bentuk yang ditanya yaitu nilai terkecil yang mungkin dari $x_1^3+x_2^3x_3^3+...+x_{2023}^3$ maka akan diperoleh persamaan $-8p-q+s$ maka ini akan diminimalkan, namun sebelum diminimalkan eliminasi atau substitusi dengan persamaan yang diperoleh di langkah ketiga. dan temukan nilai yng terkecilnya.
Petunjuk !
1. melalui persamaan pertama temukan nilai $x_1+x_2+x_3+...+x_{2023}$ dengan pindah ruas beberapa sukunya.
2. melalui persamaan kedua temukan nilai $x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_{2023}^2$ dengan pindah ruas beberapa sukunya.
3. karena $x_i=-2,-1,0,1$ maka misalkan banyaknya nilai $-2, -1, 0$ dan $1$ yang diwakili oleh masing-masing variabel $p,q,r$ dan $s$, kemudian dari langkah 1 akan diperoleh sebuah persamaan dalam bentuk $p,q,s$ karena $r=0$ tidak mempengarauhi jumlahnya. Lakukan hal yang sama untuk langkah yang kedua yaitu nilai kuadratnya.
4. untuk bentuk yang ditanya yaitu nilai terkecil yang mungkin dari $x_1^3+x_2^3x_3^3+...+x_{2023}^3$ maka akan diperoleh persamaan $-8p-q+s$ maka ini akan diminimalkan, namun sebelum diminimalkan eliminasi atau substitusi dengan persamaan yang diperoleh di langkah ketiga. dan temukan nilai yng terkecilnya.
--- Soal No 19 ---
Suatu bilangan prima disebut “prima kanan” jika dapat diperoleh bilangan prima dengan menghilangkan setidaknya satu angka di sebelah kiri. Sebagai contoh. 223 adalah “prima kanan” sebab setelah menghilangkan angka 2 paling kiri, bilangan yang tersisa adalah 23 yang merupakan bilangan prima. Contoh lainnya 127. Dengan menghilangkan 2 angka paling kiri maka angka yang tersisa adalah 7 yang merupakan bilangan prima. Banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah....
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
A. 24
B. 26
C. 28
D. 30
Kunci : A. 24
Petunjuk !
1. perhatikan semua bilangan prima dua angka yang angka satuanya adalah 3 dan 7 merupakan bilangan prima kanan
2. perhatikan semua bilangan tiga angka yang prima, yang dua angka akhirnya adalah prima, maka itu juga merupakan bilangan prima kanan.
Petunjuk !
1. perhatikan semua bilangan prima dua angka yang angka satuanya adalah 3 dan 7 merupakan bilangan prima kanan
2. perhatikan semua bilangan tiga angka yang prima, yang dua angka akhirnya adalah prima, maka itu juga merupakan bilangan prima kanan.
--- Soal No 20 ---
jika diketahui !
$M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2003}}{1+\frac{1}{1.2003}+\frac{1}{3.2001}+\frac{1}{5.2019}+...+\frac{2003}{1}}$
maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari M adalah ... .
A. 10
B. 17
C. 30
D. 36
$M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2003}}{1+\frac{1}{1.2003}+\frac{1}{3.2001}+\frac{1}{5.2019}+...+\frac{2003}{1}}$
maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari M adalah ... .
A. 10
B. 17
C. 30
D. 36
Kunci :D. 36
Petunjuk !
1. ide dari pengerjaan soal ini adalah menemukan bentuk yang bisa disederhanakan ataupun bisa dengan menggukanan teleskoping. pada pembhasan kali ini akan dilakukan penyederhanaan antara bentuk pembilang dan penyebutnya.
2. penyederhanaan yang dimaksud dapat dilakukan dengan menggabungkan suku pertama dan suku terakhir dari suku-suku pada pembilang dan penyebutnya. setelah digabungan cobalah untuk mengoperasikannya yaitu dengan menyamakan penyebut atau langsung menjumlahkannya.
3. setelah selesai dioperasikan, maka cobalah untuk memfaktorkan bentuk pembilang dan penyebutnya sehingga ada bentuk yang bisa disederhanakan.
Petunjuk !
1. ide dari pengerjaan soal ini adalah menemukan bentuk yang bisa disederhanakan ataupun bisa dengan menggukanan teleskoping. pada pembhasan kali ini akan dilakukan penyederhanaan antara bentuk pembilang dan penyebutnya.
2. penyederhanaan yang dimaksud dapat dilakukan dengan menggabungkan suku pertama dan suku terakhir dari suku-suku pada pembilang dan penyebutnya. setelah digabungan cobalah untuk mengoperasikannya yaitu dengan menyamakan penyebut atau langsung menjumlahkannya.
3. setelah selesai dioperasikan, maka cobalah untuk memfaktorkan bentuk pembilang dan penyebutnya sehingga ada bentuk yang bisa disederhanakan.
--- Soal No 21 ---
Jika $(𝑥,𝑦)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi $𝑥^2+2023𝑥+2023=𝑦^2$ dengan $𝑥 > 𝑦$. Banyaknya $(𝑥,𝑦)$ yang mungkin adalah....
A. 0
B. 2
C. 4
D. tak hingga
A. 0
B. 2
C. 4
D. tak hingga
Kunci :A. 0
Petunjuk !
1. berfikirlah mengubah bentuk persamaan dalam soal menjadi $a.b=c.d$ dimana $c$ dan $d$ adalah suatu bilangan tertentu serta $a$ dan $b$ adalah bentuk yang memuat variabel $x$ dan $y$
2. untuk membuat persamaan menjadi seperti pada langkah 1, maka kalikanlah semua persamaan dengan 4, kemudian faktorkan dan pindahkan yang tidak ada variabel ke sebelah kanan.
3. jika sudah terpisah antara variabel dan angkanya, maka akan ditemukan kontradiksi untuk apa yang diketahui disoal yaitu$𝑥 > 𝑦$, d
Petunjuk !
1. berfikirlah mengubah bentuk persamaan dalam soal menjadi $a.b=c.d$ dimana $c$ dan $d$ adalah suatu bilangan tertentu serta $a$ dan $b$ adalah bentuk yang memuat variabel $x$ dan $y$
2. untuk membuat persamaan menjadi seperti pada langkah 1, maka kalikanlah semua persamaan dengan 4, kemudian faktorkan dan pindahkan yang tidak ada variabel ke sebelah kanan.
3. jika sudah terpisah antara variabel dan angkanya, maka akan ditemukan kontradiksi untuk apa yang diketahui disoal yaitu$𝑥 > 𝑦$, d
--- Soal No 22 ---
Jika $\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!.k!}$ dengan $n!=n.(n-1).(n-2)...$ dan $0!=1$, maka nilai dari
$\frac{1}{1}\binom{20}{0}+\frac{1}{2}\binom{20}{1}+\frac{1}{3}\binom{20}{2}+\frac{1}{4}\binom{20}{3}+...+\frac{1}{21}\binom{20}{20}$ adalah ....
A. $\frac{2^{21}-1}{21}$
B. $\frac{2^{20}-1}{21}$
C. $\frac{2^{21}}{21}$
D. $\frac{2^{20}}{21}$
A. $\frac{2^{21}-1}{21}$
B. $\frac{2^{20}-1}{21}$
C. $\frac{2^{21}}{21}$
D. $\frac{2^{20}}{21}$
Kunci : A. $\frac{2^{21}-1}{21}$
Petunjuk !
1. ingatlah bahwa bentuk koefisien binomial dapat direpresentasikan ke dalam bentuk segitiga pascal, dimana nilai-nilai kombinasinya akan memenuhi bentuk segitiga pascal, sehingga secara sederhana bisa kita buat ke dalam bentuk $\frac{1}{0}\binom{21}{0}+\binom{21}{1}+\binom{21}{2}+\binom{21}{3}+...+\binom{21}{21}=2^{21}$.
2. bentuk kombinasi deret pada soal bisa dibuat dalam bentuk $\frac{1}{r}\binom{20}{r-1}$, maka dengan rumus kombinasi akan diperoleh bentuk yang sama yaitu $\frac{1}{21}\binom{21}{r}$
3. maka dengan menambahkan $\frac{1}{1}\binom{20}{0}$ pada bentuk soal, dan dengan menggunkana konsep pada langkah 1, maka soal dapat diselesaikan.
Petunjuk !
1. ingatlah bahwa bentuk koefisien binomial dapat direpresentasikan ke dalam bentuk segitiga pascal, dimana nilai-nilai kombinasinya akan memenuhi bentuk segitiga pascal, sehingga secara sederhana bisa kita buat ke dalam bentuk $\frac{1}{0}\binom{21}{0}+\binom{21}{1}+\binom{21}{2}+\binom{21}{3}+...+\binom{21}{21}=2^{21}$.
2. bentuk kombinasi deret pada soal bisa dibuat dalam bentuk $\frac{1}{r}\binom{20}{r-1}$, maka dengan rumus kombinasi akan diperoleh bentuk yang sama yaitu $\frac{1}{21}\binom{21}{r}$
3. maka dengan menambahkan $\frac{1}{1}\binom{20}{0}$ pada bentuk soal, dan dengan menggunkana konsep pada langkah 1, maka soal dapat diselesaikan.
--- Soal No 23 ---
Banyaknya himpunan bagian dari {1,2,3,4,5,6,7,8,9} yang berisi 3 bilangan dan memuat tepat dua bilangan ganjil adalah .....
A. 40
B. 84
C. 30
D. 48
A. 40
B. 84
C. 30
D. 48
Kunci :A. 40
Petunjuk !
1. temukan banyak cara mengambil 2 bilangan genap
2. temukan banyak cara mengambil 1 bilangan ganjil
3. kalikan dua kemungkinan pada langkah 1 dan langkah 2
Petunjuk !
1. temukan banyak cara mengambil 2 bilangan genap
2. temukan banyak cara mengambil 1 bilangan ganjil
3. kalikan dua kemungkinan pada langkah 1 dan langkah 2
--- Soal No 24 ---
Banyaknya bilangan asli tujuh digit yang disusun dari 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah...
A. 11
B. 17
C. 21
D. 22
A. 11
B. 17
C. 21
D. 22
Kunci : A. 11
Petunjuk !
1. bilangan akan habis dibagi 6 apabila bilangan itu habis dibagi 3 dan 2, maka bilangan itu harus genap dan jumlah digitnya habis dibagi 3.
2. dengan sifat pada langkah 1, maka haruslah satuannya 0 dan angka paling depan tidak boleh 0
3. kemudian banyak angka 1 dalam bilangan itu haruslah 3 atau 6, maka coba temukan cara menyusunya dengan permutasi unsur sama.
Petunjuk !
1. bilangan akan habis dibagi 6 apabila bilangan itu habis dibagi 3 dan 2, maka bilangan itu harus genap dan jumlah digitnya habis dibagi 3.
2. dengan sifat pada langkah 1, maka haruslah satuannya 0 dan angka paling depan tidak boleh 0
3. kemudian banyak angka 1 dalam bilangan itu haruslah 3 atau 6, maka coba temukan cara menyusunya dengan permutasi unsur sama.
--- Soal No 25 ---
Diketahui suatu konstanta $𝑘 > 0$. Garis 𝑙 dengan persamaan $𝑦 = 2𝑘𝑥 + 3𝑘^2$ memotong parabola dengan persamaan $𝑦 = 𝑥^2$ pada titik $𝑃$ di kuadran I dan $𝑄$ di kuadran II. Jika koordinat $𝑂(0,0)$ dan luas daerah segitiga 𝑃𝑂𝑄 adalah 48 satuan luas, maka kemiringan garis 𝑙 adalah....
....
A. $\frac{2}{3}$
B. $2$
C. $\frac{4}{3}$
D. $4$
A. $\frac{2}{3}$
B. $2$
C. $\frac{4}{3}$
D. $4$
Kunci : D. $4$
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar.
2. temukan titik potong kedua kurva dengan mensubstitusikan kedua persamaan kemudian temukan faktor persamaan kuadart yang diperoleh.
3. dari persamaan akan diperoleh titik $(x,y)$ dengan mensubstitusikan nilai faktor ke persamaan kurvanya.
4. dari ilustrasi gambar yang telah dibuat, maka nilai $k$ diperoleh dengan menggunkan informasi luas POQ denan bangun yang dibentuk oleh garis l dan kurva $y=x^2$.
5. jika nilai $k$ sudah ada maka gradien garis l adalah $2.k$
Petunjuk !
1. ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar.
2. temukan titik potong kedua kurva dengan mensubstitusikan kedua persamaan kemudian temukan faktor persamaan kuadart yang diperoleh.
3. dari persamaan akan diperoleh titik $(x,y)$ dengan mensubstitusikan nilai faktor ke persamaan kurvanya.
4. dari ilustrasi gambar yang telah dibuat, maka nilai $k$ diperoleh dengan menggunkan informasi luas POQ denan bangun yang dibentuk oleh garis l dan kurva $y=x^2$.
5. jika nilai $k$ sudah ada maka gradien garis l adalah $2.k$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar