Olimpiade Sains Nasional $($ OSN $)$ atau sekarang sering disebut dengan Kompetisi Sains Nasional $($ KSN $)$ merupakan hal yang sama saja, kompetisi ini diperunutkan untuk siswa yang berada di jenjang SD, SMP, dan SMA. Berikut ini merupakan soal KSN matematika SMA tahun 2019, untuk melihat Kumpulan Soal OSN Matemematika SMA yang lainnya silahkan KLIK DISINI___
Sebelum mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu untuk kemajuan blog ini.
Sebelum mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu untuk kemajuan blog ini.
--- Soal No 1 ---
Pak Budi Memiliki Sawah berbenuk huruf L, Jika diketahui bahwa sawah pak budi memiliki sisi yang panjangnya 5 meter dan 10 meter dan semua sudut sawahnya adalah siku-siku, luas sawah pak budi adalah ... meter persegi.
A. 25
B. 50
C. 75
D. 85
E. 100
A. 25
B. 50
C. 75
D. 85
E. 100
Kunci : C. 75
Petunjuk !
Karena sawah berbentuk L dan panjang sisinya hanya 10m dan 5m maka bentuk sawah pak Budi berbentuk huruf L yang dibentuk 3 persegi yang identik
Petunjuk !
Karena sawah berbentuk L dan panjang sisinya hanya 10m dan 5m maka bentuk sawah pak Budi berbentuk huruf L yang dibentuk 3 persegi yang identik
--- Soal No 2 ---
Jika sebuah jam sekarang menunjukan pukul 13.00 maka 2019 menit sebelumnya menunjukan pukul ... .
A. 03.21
B. 02.39
C. 03.39
D. 02.21
E. 14.21
A. 03.21
B. 02.39
C. 03.39
D. 02.21
E. 14.21
Kunci : A. 03.21
Petunjuk !
1. Ubahlah 2019 menit menjadi sekian hari, sekian jam dan sekian menit
2. Temukan selisih waktu hari ini dengan 2019 menit sebelumnya.
Petunjuk !
1. Ubahlah 2019 menit menjadi sekian hari, sekian jam dan sekian menit
2. Temukan selisih waktu hari ini dengan 2019 menit sebelumnya.
--- Soal No 3 ---
Kedua akar persamaan kuadrat $x^{2}-111x+k=0$ adalah bilangan prima, maka nilai k yang memenuhi adalah ... .
A. 218
B. 109
C. 111
D. 121
E. 128
A. 218
B. 109
C. 111
D. 121
E. 128
Kunci : A. 218
Petunjuk !
1. ingatlah sifat akar-akar dan hubungannya dengan nilai a,b dan c pada persamaan kuadrat. Dimana jika ada sebuah persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan tersebut, maka akan berlaku $x_1+x_2=-frac{b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. Mka temukan nilai $x_1$ dan $x_2$ ang memenuhi persamaan tersebut.
Petunjuk !
1. ingatlah sifat akar-akar dan hubungannya dengan nilai a,b dan c pada persamaan kuadrat. Dimana jika ada sebuah persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dengan $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan tersebut, maka akan berlaku $x_1+x_2=-frac{b}{a}$ dan $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
2. Mka temukan nilai $x_1$ dan $x_2$ ang memenuhi persamaan tersebut.
--- Soal No 4 ---
Ani dan Banu bermain dadu enam sisi. Jika dadu yang keluar bernilai genap maka Ani mendapatkan skor 1. Pemenang dari permainan ini adalah orang pertama yang mendapatkan skor 5. Setelah dilakukan pelemparan dadu sebanyak 5 kali Ani mendapat skor 4 dan Banu mendapatkan skor 1. Peluang Ani memenangkan permainan ini adalah ... .
A. $\frac{5}{16}$
B. $\frac{3}{16}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{15}{16}$
E. $\frac{11}{16}$
A. $\frac{5}{16}$
B. $\frac{3}{16}$
C. $\frac{1}{16}$
D. $\frac{15}{16}$
E. $\frac{11}{16}$
Kunci : D. $\frac{15}{16}$
Petunjuk !
1. Masalah ini bisa diselesaikan dengan peluang binomial atau juga peluang biasa. dalam hal ini akan dijelaskan dengan peluang biasa saja. Dimana Banu akan menang jika mendapat lagi 4 point dan Ani akan menang hanya butuh 1 point saja.
2. Karena dadu dengan sisi 6, maka peluang muncul dadu ganjil sama dengan peluang muncul dadu genap.
3. Peluang Badu menang = $($ Muncul dadu Genap $)^{4}$
4. Maka peluang Ani menang adalah 1 - peluang Banu menang.
Petunjuk !
1. Masalah ini bisa diselesaikan dengan peluang binomial atau juga peluang biasa. dalam hal ini akan dijelaskan dengan peluang biasa saja. Dimana Banu akan menang jika mendapat lagi 4 point dan Ani akan menang hanya butuh 1 point saja.
2. Karena dadu dengan sisi 6, maka peluang muncul dadu ganjil sama dengan peluang muncul dadu genap.
3. Peluang Badu menang = $($ Muncul dadu Genap $)^{4}$
4. Maka peluang Ani menang adalah 1 - peluang Banu menang.
--- Soal No 5 ---
Diketahui $a+2b=1$ , $b+2c=2$ dan $b \neq 0$. jika $a+nb+2018c=2019$ maka nilai n adalah ... .
A. 1007
B. 2019
C. 1010
D. 1011
E. 1009
A. 1007
B. 2019
C. 1010
D. 1011
E. 1009
Kunci : D. 1011
Petunjuk !
1. Temukan hubungan antara persamaan yang diketahui dengan apa yang ditanyakan, dimana nilai b dan c pada persamaan yang ditanya dan diketahui bisa disamakan terlebih dahulu.
2. jumlahkan atau kurai persamaan yang diketahui agar menemukan persamaan yang diminta.
Petunjuk !
1. Temukan hubungan antara persamaan yang diketahui dengan apa yang ditanyakan, dimana nilai b dan c pada persamaan yang ditanya dan diketahui bisa disamakan terlebih dahulu.
2. jumlahkan atau kurai persamaan yang diketahui agar menemukan persamaan yang diminta.
--- Soal No 6 ---
Misalkan $a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}$ dan $b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}$. Jika $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$ dengan $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat, maka nilai dari $x + y$ adalah... .
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Kunci : C. 2
Petunjuk !
1. misalkan $p=2\sqrt{2}$ dan $q=\sqrt{8-4\sqrt{2}}$, maka temukan nilai a dan b dalam p dan q
2. ubah bentuk $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$ dengan menyamakan penyebut di sebelah kanan, kemudian hubungan dengan pernyataan pada point 1.
3. dengan kesamaan bentuk polinomial $($ dimana koefisien yang sama di ruas kanan dan kiri memiliki nilai yang sama $)$
4. soal bisa diselesaikan
Petunjuk !
1. misalkan $p=2\sqrt{2}$ dan $q=\sqrt{8-4\sqrt{2}}$, maka temukan nilai a dan b dalam p dan q
2. ubah bentuk $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$ dengan menyamakan penyebut di sebelah kanan, kemudian hubungan dengan pernyataan pada point 1.
3. dengan kesamaan bentuk polinomial $($ dimana koefisien yang sama di ruas kanan dan kiri memiliki nilai yang sama $)$
4. soal bisa diselesaikan
--- Soal No 7 ---
Diberikan suatu trapesium ABCD dengan AB sejajar CD. Misalkan titik P dan Q berturut-turut pada AD dan BC sedemikian hingga PQ sejajajr AB dan membagi trapesium menjadi dua bagian yang sama luasnya. Jika AB = 17 dan DC = 7 maka berapakah nilai PQ adalah ... .
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
Kunci : D. 13
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar yang sesuai dengan pernyataanya.
2. buatlah garis bantu dari D memotong AB di titik R dan memotong PQ di S sehingga DR sejajar BC. Misalkan PQ = x maka PS = x -7
3. perhatikan segitiga ADR dan DPS merupakan dua buah segitiga yang sebangun, maka disana akan ada sebuah perbandingan yang bisa dicari dengan konsep kesebangunan.
4. dengan membuat garis tinggi pada segitiga ADR maka dari langkah ini akan diperoleh perbandingan dalam bentuk k $($ tinggi segitiga PDS sekaligus tinggi Trapesium 1 $)$ dan l $($ tinggi Trapesium 2 $)$, temukan hubungan K kan L, dimana perbandingan k:l = DP : PA
5. dengan informasi tersebut selesaikan masalah pada soal
6. Cara lain : kita ketahui suatu konsep "apabila adal sebuah segitiga ABC dengan DE memotong segitiga dan sejajar AB, maka akan berlaku $\frac{L_{ABC}}{L_{DEC}}=\frac{AB^2}{DE^2}$
Petunjuk !
1. Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar yang sesuai dengan pernyataanya.
2. buatlah garis bantu dari D memotong AB di titik R dan memotong PQ di S sehingga DR sejajar BC. Misalkan PQ = x maka PS = x -7
3. perhatikan segitiga ADR dan DPS merupakan dua buah segitiga yang sebangun, maka disana akan ada sebuah perbandingan yang bisa dicari dengan konsep kesebangunan.
4. dengan membuat garis tinggi pada segitiga ADR maka dari langkah ini akan diperoleh perbandingan dalam bentuk k $($ tinggi segitiga PDS sekaligus tinggi Trapesium 1 $)$ dan l $($ tinggi Trapesium 2 $)$, temukan hubungan K kan L, dimana perbandingan k:l = DP : PA
5. dengan informasi tersebut selesaikan masalah pada soal
6. Cara lain : kita ketahui suatu konsep "apabila adal sebuah segitiga ABC dengan DE memotong segitiga dan sejajar AB, maka akan berlaku $\frac{L_{ABC}}{L_{DEC}}=\frac{AB^2}{DE^2}$
--- Soal No 8 ---
7 buah bendera dengan motif yang berbeda,akan dipasang pada 4 tiang bendera. Pada masing-masing tiang bendera dapat dipasang 0, 1, 2, atau lebih dari sebuah bendera. Banyak cara memasang bendera pada tiang tersebut adalah ... .
A. 120
B. 5040
C. 151.200
D. 604.800
E. 1.814.400
A. 120
B. 5040
C. 151.200
D. 604.800
E. 1.814.400
Kunci : D. 604.800
Petunjuk !
1. Karean bendera akan dipasang pada 4 tiang maka akan ada pengulangan jumlah bendera pada tiang tertentu, maka masalah ini dapat diselesaikan dengan metode BAR and STAR dimana banyak kemungkinannya diperoleh dengan cara $C((n+r-1) r-1)$ dengan n banyak bendera dan r adalah banyak tiangnya.
2. Ingat juga karena bendera memiliki motif yang berbeda, maka kemungkinan pada point 1 harus dikalikan 7! karena setiap bendera pada tiang bisa ditukar-tukar.
3. Hati-hati memahami masalah ini dan temukan kemungkian cara lain untuk menyelesaikannya.
Petunjuk !
1. Karean bendera akan dipasang pada 4 tiang maka akan ada pengulangan jumlah bendera pada tiang tertentu, maka masalah ini dapat diselesaikan dengan metode BAR and STAR dimana banyak kemungkinannya diperoleh dengan cara $C((n+r-1) r-1)$ dengan n banyak bendera dan r adalah banyak tiangnya.
2. Ingat juga karena bendera memiliki motif yang berbeda, maka kemungkinan pada point 1 harus dikalikan 7! karena setiap bendera pada tiang bisa ditukar-tukar.
3. Hati-hati memahami masalah ini dan temukan kemungkian cara lain untuk menyelesaikannya.
--- Soal No 9 ---
Misalkan $n$ adalah bilangan asli terkecil yang semuadigitnya sama dan sedikitnya terdiri dari 2019 digit bilangan. Jika $n$ habis dibagi 126, maka hasil penjumlahan semua digit dari $n$ adalah ... .
A. 8.136
B. 16.272
C. 12.132
D. 6.102
E. 4.068
A. 8.136
B. 16.272
C. 12.132
D. 6.102
E. 4.068
Kunci : C. 12.132
Petunjuk !
1. karena $126=2.3^2.7$ maka haruslah $n$ merupakan bilangan genap, karena salah satu faktor dari 126 adalah 2. Selain itu $n$ juga harus habis dibagi 2,3,7,9.
2. Nilai $n$ yang mungkin sesuai definisi di soal adalah $444...4$ atau bisa juga ditulis $4[111...1]$. Sehingga agar $n$ habis dibagi 9 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 9, agar $n$ habis dibagi 3 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 3, agar $n$ habis dibagi 7 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 6. dan agar $n$ habis dibagi 2 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 2
3. karena $n$ genap maka kemungkinan nilai n adalah $222...2$ atau $444...4$ atau $666...6$ atau $888...8$ sehingga ubah bentuknya menjadi bentuk $2[111...1]$ atau $4[111...1]$ atau $6[111...1]$ atau $8[111...1]$
4. kemudian temukan kasus setiap bilangan, seperti contoh kita ambil bilangan $2[111...1]$, maka bilangan ini akan habis dibagi 126 jika ia habis dibagi 9 dan habis dibagi 7 $($ bagi 2 dan 3 sudah menjadi satu dengan bilangan ini bilangan genap dan habis dibagi 9 $)$. Temukan semua kemungkinan yang lain untuk keempat bilangan genap yang diperoleh. kemudian pilih digit yang terkecil.
5. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinan, dan akan ada 4 buah kemungkinan untuk langkah ke 4
Petunjuk !
1. karena $126=2.3^2.7$ maka haruslah $n$ merupakan bilangan genap, karena salah satu faktor dari 126 adalah 2. Selain itu $n$ juga harus habis dibagi 2,3,7,9.
2. Nilai $n$ yang mungkin sesuai definisi di soal adalah $444...4$ atau bisa juga ditulis $4[111...1]$. Sehingga agar $n$ habis dibagi 9 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 9, agar $n$ habis dibagi 3 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 3, agar $n$ habis dibagi 7 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 6. dan agar $n$ habis dibagi 2 maka banyak angka 1 terkecilnya ada sebanyak 2
3. karena $n$ genap maka kemungkinan nilai n adalah $222...2$ atau $444...4$ atau $666...6$ atau $888...8$ sehingga ubah bentuknya menjadi bentuk $2[111...1]$ atau $4[111...1]$ atau $6[111...1]$ atau $8[111...1]$
4. kemudian temukan kasus setiap bilangan, seperti contoh kita ambil bilangan $2[111...1]$, maka bilangan ini akan habis dibagi 126 jika ia habis dibagi 9 dan habis dibagi 7 $($ bagi 2 dan 3 sudah menjadi satu dengan bilangan ini bilangan genap dan habis dibagi 9 $)$. Temukan semua kemungkinan yang lain untuk keempat bilangan genap yang diperoleh. kemudian pilih digit yang terkecil.
5. hati-hati dalam menemukan semua kemungkinan, dan akan ada 4 buah kemungkinan untuk langkah ke 4
--- Soal No 10 ---
Untuk sembarang bilangan $\left \lfloor x\right \rfloor $ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar dari $x$ sedangkan $\left \lceil x\right \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dari $x$. Jika interval $[a,b]$ menyatakan himpunan semua bilangan real yang memenuhi $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$, maka nilai dari $a.b$ adalah ... .
A. 1,5
B. 2
C. 2,5
D. 3
E. 3,5
A. 1,5
B. 2
C. 2,5
D. 3
E. 3,5
Kunci : D. 3
Petunjuk !
1. untuk menemukan nilai $[a,b]$ maka akand dibagi ke dalam tiga kasus yaitu.
a. untuk $x$ bilangan bulat maka $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2x$ dan $\left \lceil x\right \rceil=x$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
b. untuk $x$ bukan bilangan bulat dimana akan diambil $x=\left \lfloor x\right \rfloor + p$,
b1. dimana untuk $ 0 < p < 0,5$ maka ambil $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2 \left \lfloor x\right \rfloor$ dan $\left \lceil x\right \rceil=\left \lfloor x\right \rfloor +1$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
b2. dimana untuk $ 0,5 \leq p < 1 $ maka ambil $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2 \left \lfloor x\right \rfloor + 1$ dan $\left \lceil x\right \rceil=\left \lfloor x\right \rfloor +1$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
2. dari langkah b2 akan ditemukan dua buah nilai $x$ yaitu $\left \lfloor x\right \rfloor=-\frac{7}{4}$ dan $\left \lfloor x\right \rfloor=1$ maka karena $\left \lfloor x\right \rfloor$ adalah bilangan bulat maka ambil nilai $\left \lfloor x\right \rfloor=1$ kemudian tambahkan dengan rentangan nilai pada langkah b2 yaitu $ 0,5 \leq p < 1 $, maka akan diperoleh nilai $a=1,5$ dan $b=2$
Petunjuk !
1. untuk menemukan nilai $[a,b]$ maka akand dibagi ke dalam tiga kasus yaitu.
a. untuk $x$ bilangan bulat maka $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2x$ dan $\left \lceil x\right \rceil=x$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
b. untuk $x$ bukan bilangan bulat dimana akan diambil $x=\left \lfloor x\right \rfloor + p$,
b1. dimana untuk $ 0 < p < 0,5$ maka ambil $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2 \left \lfloor x\right \rfloor$ dan $\left \lceil x\right \rceil=\left \lfloor x\right \rfloor +1$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
b2. dimana untuk $ 0,5 \leq p < 1 $ maka ambil $\left \lfloor 2x\right \rfloor =2 \left \lfloor x\right \rfloor + 1$ dan $\left \lceil x\right \rceil=\left \lfloor x\right \rfloor +1$ maka selesaikan bentuk $\left \lfloor 2x\right \rfloor =\left \lceil x\right \rceil +7$. Jika nilai $x$ diperoleh dalam bentuk rasional maka nilainya tidak memenuhi.
2. dari langkah b2 akan ditemukan dua buah nilai $x$ yaitu $\left \lfloor x\right \rfloor=-\frac{7}{4}$ dan $\left \lfloor x\right \rfloor=1$ maka karena $\left \lfloor x\right \rfloor$ adalah bilangan bulat maka ambil nilai $\left \lfloor x\right \rfloor=1$ kemudian tambahkan dengan rentangan nilai pada langkah b2 yaitu $ 0,5 \leq p < 1 $, maka akan diperoleh nilai $a=1,5$ dan $b=2$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar