Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika akan dibuat garis pada lingkaran, maka sangat memungkinkan garis tersebut akan memotong, menyinggung ataupun tidak keduanya. Apabila kita membuat garis yang menyinggung lingkaran, maka akan ditemukan sebuah persamaan jika titik singgung yang diketahui tepat pada lingkaran, sebaliknya jika titik yang diketahui berada di luar lingkaran maka akan ada dua buah persamaan garis yang diperoleh. Selain dengan memanfaatkan titik singgung garis kita harus mengingat juga bagaimana cara menemukan pusat dan jari -jari dari suatu persamaan lingkaran. Dimana jika diketahui sebuah persamaan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka

Pusat =$ \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$

Jari-jari = $\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Untuk lebih jelasnya mengenai persamaan garis singgung lingkaran silahkan simak penjelasan berikut ini.

Jika diketahui sebuah titik $(x_1,y_1)$ menyinggung lingkaran dengan pusat di titik $(a,b)$ dan jari-jari $r$ maka persamaan garisnya tergantung dari letak titiknya
Titik Pada Lingkaran

Jika titik $(x_1,y_1)$ tepat pada lingkaran maka persamaan garis singgungnya diperoleh dengan cara $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

Titik di Luar Lingkaran
Jika titik $(x_1,y_1)$ berada di luar lingkaran maka persamaan garis singgungnya diperoleh dengan cara
1. temukan persamaan garis polarnya dengan cara $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
2. Substitusikan persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, kemudian faktorkan bentuk yang diperoleh sehingga menemukan dua buah titik singgung garis pada lingkaran.
3. melalui kedua titik singgung yang diperoleh buatlah persamaan garis singgungnya dengan cara $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

Apabila susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasanyapada video berikut ini

Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.

Contoh Soal

Soal No 1

Temukan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x-8y+8=0$ di titik $(1,1)$ ... .

Sebelum menemukan persamaan garis singgungnya, silahkan cek kedudukan titiknya dengan cara mensubstitusi titik ke persamaan lingkaran, maka
$\begin{align*} &= x^2+y^2-2x-8y+8\\ &= 1^2+1^2-2.1-8.1+8\\ &= 0 \end{align*}$
karena nilainya adalah $0$, maka titik tersebut terletak pada lingkaran. Kemudian temukan pusat dan jari-jari lingkaran sesuai rumus diatas.
$\begin{align*} \text{Pusat}&= \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ &= \left ( -\frac{1}{2}(-2),-\frac{1}{2}8 \right )\\ &= (1,4) \end{align*}$
dan jari-jarinya
$\begin{align*} \text{r}&= \sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}\\ &= \sqrt{\frac{1}{4}(-2)^2+\frac{1}{4}8^2-8}\\ &= 3 \end{align*}$
sehingga persamaan garis singgungnya dapat ditemukan dengan cara
$\begin{align*} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)&= r^2\\ (1-1)(x-1)+(1-4)(y-4)&= 3^2\\ 0-3(y-4) &= 9\\ y-4&=-3 \\ y&=1 \end{align*}$
maka persamaan garis singgungnya adalah $y=1$