Determinan dan Inverse Matriks 3x3

Jika akan dibuat garis pada lingkaran, maka sangat memungkinkan garis tersebut akan memotong, menyinggung ataupun tidak keduanya. Apabila kita membuat garis yang menyinggung lingkaran, maka akan ditemukan sebuah persamaan jika titik singgung yang diketahui tepat pada lingkaran, sebaliknya jika titik yang diketahui berada di luar lingkaran maka akan ada dua buah persamaan garis yang diperoleh. Selain dengan memanfaatkan titik singgung garis kita harus mengingat juga bagaimana cara menemukan pusat dan jari -jari dari suatu persamaan lingkaran. Dimana jika diketahui sebuah persamaan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$, maka

Pusat =$ \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$

Jari-jari = $\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Untuk lebih jelasnya mengenai persamaan garis singgung lingkaran silahkan simak penjelasan berikut ini.

Determinan Matriks 3 x 3
Jika diketahui matriks $A= \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}$
maka determinanya bisa ditemukan dengan cara mengambil entri dua kolom di depan dan taruh di bagian belakang kemudian hitung determinanya dengan cara mengalikan entry secara diagonal ke kiri dan ke kanan kemudian temukan selisihnya, untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan penjelasan berikut.
$A=\begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix} \begin{matrix}a &b \\d & e \\g & h \\\end{matrix}$

$DetA = (a.e.i+b.f.g+c.d.h)-(c.e.g+a.f.h+b.d.i)$

Inverse Matriks 3 x 3
Menemukan inverse matriks $A$ dapat ditemukan dengan cara $A^{-1}=\frac{1}{DetA}.Adj (A)$, Untuk determinan bisa diikuti langkah diatas sedangkan untuk $Adj A$ silahkan ikuti langkah berikut.
Jika diketahui matriks $A= \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \\\end{pmatrix}$
maka $Adj (A)$ diperoleh dengan cara menemukan TRANPOSE MATRIKS berikut.

$\begin{pmatrix} Det\begin{pmatrix}e & f \\h & i \\\end{pmatrix} & -Det\begin{pmatrix}d & f \\g & i \\\end{pmatrix} & Det\begin{pmatrix}d & e \\g & h \\\end{pmatrix} \\ -Det\begin{pmatrix}b & c \\h & i \\\end{pmatrix} & Det\begin{pmatrix}a & c \\g & i \\\end{pmatrix} & -Det\begin{pmatrix}a & b \\g & h \\\end{pmatrix} \\ Det\begin{pmatrix}b & c \\e & f \\\end{pmatrix} & -Det\begin{pmatrix}a & c \\d & f \\\end{pmatrix} & Det\begin{pmatrix}a & b \\d & e \\\end{pmatrix} \\ \end{pmatrix}$

Apabila susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasanyapada video berikut ini

DETERMINAN MATRIKS 3x3


Inverse MATRIKS 3x3

Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.

Contoh Soal

Soal No 1

Temukanlah inverse dari matriks $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 2 \\0 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} $ ... .

Langkah awal yang harus dicari adalah determinanya dengan cara sebagai berikut.
$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 2 \\0 & 1 & 0 \\\end{pmatrix} \begin{matrix}1 & 2 & -1 \\2 & 1 & 2 \\\end{matrix}$

mada $Det A = (1.1.0+2.2.0+(-1).2.1)-((-1).0.1+1.2.1+2.2.0)=-4$

Setelah mengatahui determinan, kemudian temukan $Adj (A)$ dengan cara

$\begin{align*} Adj (A) &= \begin{pmatrix} Det \begin{pmatrix}1 & 2 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix} & -Det \begin{pmatrix}2 & 2 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix} & Det \begin{pmatrix}2 & 1 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ -Det \begin{pmatrix}2 & -1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix} & Det \begin{pmatrix}1 & -1 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix} & -Det \begin{pmatrix}1 & 2 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ Det\begin{pmatrix}2 & -1 \\1 & 2 \\ \end{pmatrix} & -Det\begin{pmatrix}1 & -1 \\2 & 2 \\ \end{pmatrix} & Det\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-2 & 0 & 2 \\-1 & 0 & -1 \\5 & -4 & -3 \\\end{pmatrix}\\ \end{align*}$
maka $Adj (A)$ adalah transposenya yaitu.
$Adj (A) = \begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\0 & 0 & -4 \\2 & -1 & -3 \\\end{pmatrix} $

Sehingga inversnya adalah
$\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{DetA}.Adj (A) \\ &= -\frac{1}{4}. \begin{pmatrix}2 & -1 & 5 \\0 & 0 & -4 \\2 & -1 & -3 \\\end{pmatrix} \\ \end{align*}$