Olimpiade Sains Nasional $($ OSN $)$ atau sekarang sering disebut dengan Kompetisi Sains Nasional $($ KSN $)$ merupakan hal yang sama saja, kompetisi ini diperunutkan untuk siswa yang berada di jenjang SD, SMP, dan SMA. Berikut ini akan disajiakan soal OSN matematika SMP tahun 2022 (untuk melihat Kumpulan Soal KSN Matemematika SMP yang lainnya silahkan KLIK DISINI___ )
Sebelum dilanjutkan mengerjakan soal, apabila nanti ada kekelirua atau koreksi jawaban yang salah silahkan tinggalkan komentar pada kolom paling bawah, karena kritik dan masukannya akan sangat membantu untuk kemajuan blog ini. Selamat mengerjakan.
--- Soal No 1 ---
$ABCD$ adalah suatu persegi panjang. Dari titik $C$ ditarik garis lurus yang memotong sisi $AB$ di titik $X$. Garis $CX$ memotong perpanjangan sisi $AD$ di titik $Y$. Jika panjang $BX$ adalah $𝑏$ cm, panjang $DY$ adalah $𝑑$ cm, dan luas persegi panjang $ABCD$ adalah $𝐿 cm^2$, maka pernyataan yang benar adalah....
A. $𝑏 × 𝑑 = 𝐿$
B. $𝑏 × 𝑑 = 2𝐿$
C. $𝐿 < 𝑏 × 𝑑 < 2𝐿$
D. $𝑏 × 𝑑 < 𝐿$
A. $𝑏 × 𝑑 = 𝐿$
B. $𝑏 × 𝑑 = 2𝐿$
C. $𝐿 < 𝑏 × 𝑑 < 2𝐿$
D. $𝑏 × 𝑑 < 𝐿$
Kunci : A. $𝑏 × 𝑑 = 𝐿$
Petunjuk !
1. misalkan panjang $ABCD$ adalah $x$ dan lebarnya adalah $y$
2. perhatikan segitiga $AXY$ dan $YDC$ merupakan dua buah segitiga yang sebangun, sehingga akan berkalu kesebangunan. namun sebelum menerapkan kesebangunan pada kedua segitiga tersebtu, nyatakan panjang segitiga ke dalam $a,d,x$ dan $y$
3. Selesaikan
Petunjuk !
1. misalkan panjang $ABCD$ adalah $x$ dan lebarnya adalah $y$
2. perhatikan segitiga $AXY$ dan $YDC$ merupakan dua buah segitiga yang sebangun, sehingga akan berkalu kesebangunan. namun sebelum menerapkan kesebangunan pada kedua segitiga tersebtu, nyatakan panjang segitiga ke dalam $a,d,x$ dan $y$
3. Selesaikan
--- Soal No 2 ---
Diketahui suatu barisan aritmetika $𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3,...$ dengan semua sukunya bilangan bulat, $𝑎_1$ habis dibagi 3, $𝑎_2$ habis dibagi 5, dan $𝑎_3$ habis dibagi 7. Jika $𝑎_1 + 𝑎_2 + 𝑎_3=405$ dan $𝑎_1>105$, maka nilai $𝑘$ terkecil sedemikian $𝑎_𝑘>1000$ adalah….
A. 74
B. 75
C. 76
D. 77
A. 74
B. 75
C. 76
D. 77
Kunci : B. 75
Petunjuk !
1. dari sifat $𝑎_1 + 𝑎_2 + 𝑎_3=405$ akan ditemukan nilai $a_2$ yang mana merupakan suku tengah barisan aritmatika/ selain menggunkan nilai konsep suku tengah nilai $a_2$ bisa diperoleh dengan membagi jumlah suku dengan banyak sukunya.
2. jika $a_2$ sudah ditemukan, maka nilai $a_1$ dan $a_3$ juga bisa ditemukan dengan mengambil nilai $a_1$ yang habis dibagi 3 atau mengambil $a_3$ yang habis dibagi 7.
3. dengan rumus suku ke-n maka nilai $k$ bisa ditemukan.
Petunjuk !
1. dari sifat $𝑎_1 + 𝑎_2 + 𝑎_3=405$ akan ditemukan nilai $a_2$ yang mana merupakan suku tengah barisan aritmatika/ selain menggunkan nilai konsep suku tengah nilai $a_2$ bisa diperoleh dengan membagi jumlah suku dengan banyak sukunya.
2. jika $a_2$ sudah ditemukan, maka nilai $a_1$ dan $a_3$ juga bisa ditemukan dengan mengambil nilai $a_1$ yang habis dibagi 3 atau mengambil $a_3$ yang habis dibagi 7.
3. dengan rumus suku ke-n maka nilai $k$ bisa ditemukan.
--- Soal No 3 ---
Pada sebuah ujian yang dilaksanakan secara lisan oleh seorang guru digunakan aturan sebagai berikut.
- Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukkan secara berpasangan pada 15 kartu.
- Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus.
- Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaan pada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benar pertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal.
Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah ....
A. $\frac{195}{203}$
B. $\frac{185}{203}$
C. $\frac{175}{203}$
D. $\frac{165}{203}$
- Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukkan secara berpasangan pada 15 kartu.
- Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus.
- Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaan pada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benar pertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal.
Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 25 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah ....
A. $\frac{195}{203}$
B. $\frac{185}{203}$
C. $\frac{175}{203}$
D. $\frac{165}{203}$
Kunci : D. $\frac{165}{203}$
Petunjuk !
1. dalam soal ada dua kemungkian lulus yaitu
a. siswa bisa menebah dengan benar di 1 kertas $($ Benar - Benar $)$.
b. siswa menebak jawaban di dua kertas yang berbeda $($ benar - Salah - benar $)$
2. temukan kedua kemungkinan dari kondisi diatas kemudian jumlahkan hasil akhirnya.
Petunjuk !
1. dalam soal ada dua kemungkian lulus yaitu
a. siswa bisa menebah dengan benar di 1 kertas $($ Benar - Benar $)$.
b. siswa menebak jawaban di dua kertas yang berbeda $($ benar - Salah - benar $)$
2. temukan kedua kemungkinan dari kondisi diatas kemudian jumlahkan hasil akhirnya.
--- Soal No 4 ---
SMP Nusantara mengadakan kegiatan menanam pohon yang diikuti oleh sejumlah guru pria dan guru wanita. Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa. Terdapat 159 pohon yang ditanam. Jika satu orang guru pria menanam 13 pohon, satu orang guru wanita menanam 10 pohon, dan 1 orang siswa menanam 6 pohon, maka banyaknya guru wanita yang menanam pohon adalah....
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
Kunci : B. 7
Petunjuk !
1. temukan dua persamaan dari pernyataan "Terdapat 159 pohon yang ditanam yang ditanam oleh guru pria dan wanita" serta "Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa"
2. eliminasi atau substitusi persmaan sehingga akan ditemukan dua buah kemungkinan pasangan nilai guru pria dan wanita yang mungkin
3. pilih nilai yang jumlah pria dan wanita yang bisa habis dibagi 3
Petunjuk !
1. temukan dua persamaan dari pernyataan "Terdapat 159 pohon yang ditanam yang ditanam oleh guru pria dan wanita" serta "Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa"
2. eliminasi atau substitusi persmaan sehingga akan ditemukan dua buah kemungkinan pasangan nilai guru pria dan wanita yang mungkin
3. pilih nilai yang jumlah pria dan wanita yang bisa habis dibagi 3
--- Soal No 5 ---
Perhatikan setengah lingkaran pusat $O$ dan diameter $AB$ berikut !
Titik $C$ terletak pada busur $AB$ dan $P$ adalah pusat lingkaran dalam $ABC$. Titik $P$ dilalui $DE$ yang tegak lurus $AO$, Jika $𝐷𝐸 = 4$ cm, maka luas daerah $Δ𝑂𝐵𝐶$ adalah… $𝑐𝑚^2$.... .
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
Kunci : C. 8
Petunjuk !
1. Misalkan semua $OA=r$ dan $AD=x$, kemudian temukan hubungannya memalui segitiga $ODE$ dengan konsep pytagoras.
2. buat garis bantu dari pusat lingkaran kecil ke semua sisi segitiga yang disinggung oleh lingkaran, kemudian akan ditemukan 3 buah bangun layang-layang antara lingakran dengan titik-titik pada segitiga.
3. Temukan luas segitiga $ABC$ dengan konsep lingkaran dalam segitiga $(r= \left ( \frac{L}{s} \right )$
4. temukan pula luas segitga $ABC$ dimana $AC$ dan $CB$ adalah alas dan tinggi segitiga.
5. temukan hubungan persamaan di point 1,3,4 maka akan diperoleh luas segitiga OBC, dimana luas OBC adalah setengah luas ABC
Petunjuk !
1. Misalkan semua $OA=r$ dan $AD=x$, kemudian temukan hubungannya memalui segitiga $ODE$ dengan konsep pytagoras.
2. buat garis bantu dari pusat lingkaran kecil ke semua sisi segitiga yang disinggung oleh lingkaran, kemudian akan ditemukan 3 buah bangun layang-layang antara lingakran dengan titik-titik pada segitiga.
3. Temukan luas segitiga $ABC$ dengan konsep lingkaran dalam segitiga $(r= \left ( \frac{L}{s} \right )$
4. temukan pula luas segitga $ABC$ dimana $AC$ dan $CB$ adalah alas dan tinggi segitiga.
5. temukan hubungan persamaan di point 1,3,4 maka akan diperoleh luas segitiga OBC, dimana luas OBC adalah setengah luas ABC
--- Soal No 6 ---
Tiga puluh koin dengan jari-jari 3,5 cm ditumpuk menjadi 4 tingkat sehingga meyerupai limas tegak segi empat beraturan dengan sisi angka menghadap ke atas. Tingkat pertama $($paling bawah$)$ terdiri dari 16 koin, tingkat kedua terdiri dari 9 koin, tingkat ketiga terdiri dari 4 koin dan tingkat keempat terdiri dari 1 koin. Pada setiap tingkat, koin akan disusun menyerupai persegi dengan setiap koin yang berdekatan saling bersinggungan. Jika dilihat dari atas, total luas sisi angka yang tertutup oleh koin lainnya adalah… $𝑐𝑚^2$.... .
A. 381,5
B. 444,5
C. 539
D. 1155
A. 381,5
B. 444,5
C. 539
D. 1155
Kunci : B. 444,5
Petunjuk !
1. coba ilustrasikan ke dalam sebuah gambar, dan mulailah dengan menumpuk 4 koin, agar bisa seperi piramida.
2. perhatikan setiap koin yang terbentuk, daerah angka yang tertutup akan berbentuk 2 tembereng yang dibentuk oleh busur seperempat uang koin. dan akan berlaku untuk setiap koinnya.
3. perhatikan banyak koin utuh yang tertutup, perhatikan juga banyak dua buah termbereng yang terbentuk
4. hitung semua luasnya dan jumlahkan.
Petunjuk !
1. coba ilustrasikan ke dalam sebuah gambar, dan mulailah dengan menumpuk 4 koin, agar bisa seperi piramida.
2. perhatikan setiap koin yang terbentuk, daerah angka yang tertutup akan berbentuk 2 tembereng yang dibentuk oleh busur seperempat uang koin. dan akan berlaku untuk setiap koinnya.
3. perhatikan banyak koin utuh yang tertutup, perhatikan juga banyak dua buah termbereng yang terbentuk
4. hitung semua luasnya dan jumlahkan.
--- Soal No 7 ---
Diketahui persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan panjang sisi 12 cm. Titik 𝑃 terletak pada sisi 𝐶𝐷 dengan 𝐶𝑃:𝐷𝑃=1:2. Persegi ini akan dibentuk menjadi selimut tabung dengan cara mempertemukan sisi 𝐴𝐷 dengan sisi 𝐵𝐶. Jika jarak titik 𝐴 ke titik 𝑃 di selimut tabung yang terbentuk adalah $\sqrt{\frac{a+b \pi^2}{\pi^2}}$ cm, maka berapakah nilai $𝑎+𝑏$ =⋯.... .
A. 252
B. 260
C. 180
D. 165
A. 252
B. 260
C. 180
D. 165
Kunci : A. 252
Petunjuk !
1. perhatikan perbandingan sisi CP dan DP hal ini akan mengakibatkan terbentuk segitiga sama sisi yang salah satunya adalah titik P.
2. jarak AP dapat dihitung dengan mengambil sebuah segtiga siku-siku yang salah satu sisinya adalah sisi tabung dan sisi yang lain dapat dihitung dengan konsep pytagoras.
3. sebelum memulai langkah 1 dan 2, temukan jari-jari lingkaran melalui panjang sisi persegi yang merupakan keliling alasnya
Petunjuk !
1. perhatikan perbandingan sisi CP dan DP hal ini akan mengakibatkan terbentuk segitiga sama sisi yang salah satunya adalah titik P.
2. jarak AP dapat dihitung dengan mengambil sebuah segtiga siku-siku yang salah satu sisinya adalah sisi tabung dan sisi yang lain dapat dihitung dengan konsep pytagoras.
3. sebelum memulai langkah 1 dan 2, temukan jari-jari lingkaran melalui panjang sisi persegi yang merupakan keliling alasnya
--- Soal No 8 ---
Dalam suatu kotak tertutup, terdapat dua buah dadu dengan enam sisi. Dadu pertama memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, dua sisi bermata 3, dan dua sisi bermata 5. Sedangkan Dadu kedua memiliki satu sisi bermata 1, satu sisi bermata 2, satu sisi bermata 3, dan tiga sisi bermata 5.
Suatu permainan dilakukan dengan mengambil secara acak satu dadu dari dalam kotak, kemudian melemparkan dadu tersebut, mengamati hasilnya, dan memasukkannya kembali ke dalam kotak. Permainan dapat diulang beberapa kali. Andi main dua kali dan mendapatkan hasil amatan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua. Peluang bahwa hanya dadu kedua yang terambil pada kedua permainan yang dilakukan Andi adalah...
A. 0,4
B. 0,3
C. 0,2
D. 0,1
Suatu permainan dilakukan dengan mengambil secara acak satu dadu dari dalam kotak, kemudian melemparkan dadu tersebut, mengamati hasilnya, dan memasukkannya kembali ke dalam kotak. Permainan dapat diulang beberapa kali. Andi main dua kali dan mendapatkan hasil amatan mata 1 pada permainan pertama dan mata 5 pada permainan kedua. Peluang bahwa hanya dadu kedua yang terambil pada kedua permainan yang dilakukan Andi adalah...
A. 0,4
B. 0,3
C. 0,2
D. 0,1
Kunci : B. 0,3
Petunjuk !
1. peluang kejadian yang diminta oleh soal adalah Ambil dadu 1 dan 5 pada kotak kedua, maka banyak cara kejadian ini bisa dihitung
2. ruang sampel dari kejadian ini adalah mengambil mata 1 di dadu pertama dan mata 5 di dadu kedua atau mata 1 di dadu pertama dan mata 5 di dadu pertama atau mata 1 di dadu kedua dan mata 5 di dadu pertama atau mata 1 di dadu kedua dan mata 5 di dadu kedua. maka kejadian ruang sampel bisa ditemukan.
3. bagi hasil di point 1 dengan point 2.
Petunjuk !
1. peluang kejadian yang diminta oleh soal adalah Ambil dadu 1 dan 5 pada kotak kedua, maka banyak cara kejadian ini bisa dihitung
2. ruang sampel dari kejadian ini adalah mengambil mata 1 di dadu pertama dan mata 5 di dadu kedua atau mata 1 di dadu pertama dan mata 5 di dadu pertama atau mata 1 di dadu kedua dan mata 5 di dadu pertama atau mata 1 di dadu kedua dan mata 5 di dadu kedua. maka kejadian ruang sampel bisa ditemukan.
3. bagi hasil di point 1 dengan point 2.
--- Soal No 9 ---
Diketahui $𝑓(𝑥)=𝑥^{2022}−𝑥^{2021}$ dan
$𝑔(𝑥)=𝑥^{2020}−2𝑥^{2019}+3𝑥^{2018}−4𝑥^{2017}+⋯−2020𝑥+2021$
Jika $𝑛$ adalah nilai minimum dari $𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)$ untuk $𝑥$ bilangan real, maka nilai $𝑛+1$ adalah ... .
A. 1011
B. 1012
C. 2021
D. 2022
A. 1011
B. 1012
C. 2021
D. 2022
Kunci : B. 1012
Petunjuk !
1. cobalah faktorkan bentuk $f(x)$ dan $g(x)$ agar mudah dijadikan bentuk yang paling minimum. cara memfaktorkanya adalah pangkah terkecil untuk $f(x)$ dan pada $g(x)$ ambil pangkat tertinggi untuk 3 pasang 3 pasang, sehingga akan bisa difaktorkan. 3 pasang yang dimaksud adalah dengan mengubah setiap koefisien ganjilnya yaitu.
$3x^{2018}=x^{2018}+2x^{2018}$
$5x^{2018}=2x^{2018}+3x^{2018}$
$3x^{2018}=3x^{2018}+4x^{2018}$
Dan seterusnya
2. ingatlah jika $f(x)=(x-1)x+a$ maka jelas sekali bentuk ini akan minimum/maksimum lokal di $x=0$ dan nilai minimumnya adalah $a$
3. dari bentuk ini maka soal bisa diselesaikan.
Petunjuk !
1. cobalah faktorkan bentuk $f(x)$ dan $g(x)$ agar mudah dijadikan bentuk yang paling minimum. cara memfaktorkanya adalah pangkah terkecil untuk $f(x)$ dan pada $g(x)$ ambil pangkat tertinggi untuk 3 pasang 3 pasang, sehingga akan bisa difaktorkan. 3 pasang yang dimaksud adalah dengan mengubah setiap koefisien ganjilnya yaitu.
$3x^{2018}=x^{2018}+2x^{2018}$
$5x^{2018}=2x^{2018}+3x^{2018}$
$3x^{2018}=3x^{2018}+4x^{2018}$
Dan seterusnya
2. ingatlah jika $f(x)=(x-1)x+a$ maka jelas sekali bentuk ini akan minimum/maksimum lokal di $x=0$ dan nilai minimumnya adalah $a$
3. dari bentuk ini maka soal bisa diselesaikan.
--- Soal No 10 ---
Banyaknya kemungkinan bilangan bulat positif 𝑛 yang kurang dari 95 dan mengakibatkan $\left ( \sqrt[3]{6} \right )^{200-n}.\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^n $ bilangan bulat adalah….... .
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
Kunci : A. 14
Petunjuk !
1. dengan sifat-sifat bilangan berpangkat maka coba sederhanakan bentuk di soal menjadi perkalian bilangan prima dengan pangkat.
2. melalui langkah 1 akan ditemukan suatu bentuk pangkat yang memuat pembagi suatu bilangan dengan penyebut dalam variabel $n$
3. ambil nilai n terkecil dan terbesar yang memenuhi, dan untuk menghitung semua kemungkian nilai $n$ dapat diterapkan rumus barisan dan deret.
Petunjuk !
1. dengan sifat-sifat bilangan berpangkat maka coba sederhanakan bentuk di soal menjadi perkalian bilangan prima dengan pangkat.
2. melalui langkah 1 akan ditemukan suatu bentuk pangkat yang memuat pembagi suatu bilangan dengan penyebut dalam variabel $n$
3. ambil nilai n terkecil dan terbesar yang memenuhi, dan untuk menghitung semua kemungkian nilai $n$ dapat diterapkan rumus barisan dan deret.
--- Soal No 11 ---
Doni membeli 3 pasang burung kutilang di pasar dan membawanya dalam 1 wadah besar. Sampai di rumah, burung-burung tersebut akan ditempatkan secara acak ke dalam 3 sangkar berbeda yang masing-masing berisi 2 burung. Peluang setiap burung akan ditempatkan di kandang bersama pasangannya yang sesuai adalah....
A. $\frac{1}{15}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{6}$
A. $\frac{1}{15}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{6}$
Kunci : A. $\frac{1}{15}$
Petunjuk !
1. kejadian yang diminta adalah banyak cara menempatkan burung pada sangkarnya, sehingga hal ini dapat dilakukan dengan langsung mengambil sepasang-sepasang dan letakan di dalam sangkar. sehingga banyak kemungkinnnya bisa dihitung
2. temukan semua kejadian atau ruang sampelnya dengan cara memilih pasangan pertama dari 6 burung yang ada diambil 2, kemudian selanjutnya diambil 2 dari 4 dan seterusnya.
3. bagi bilangan yang diperoleh di point 1 dan point 2
Petunjuk !
1. kejadian yang diminta adalah banyak cara menempatkan burung pada sangkarnya, sehingga hal ini dapat dilakukan dengan langsung mengambil sepasang-sepasang dan letakan di dalam sangkar. sehingga banyak kemungkinnnya bisa dihitung
2. temukan semua kejadian atau ruang sampelnya dengan cara memilih pasangan pertama dari 6 burung yang ada diambil 2, kemudian selanjutnya diambil 2 dari 4 dan seterusnya.
3. bagi bilangan yang diperoleh di point 1 dan point 2
--- Soal No 12 ---
Banyaknya bilangan bulat positif yang habis membagi $10^{199}$ dan merupakan kelipatan $10^{111}$ adalah...
A. 7921
B. 12544
C. 32079
D. 40000
A. 7921
B. 12544
C. 32079
D. 40000
Kunci : A. 7192
Petunjuk !
1. Ingatlah konsep jika $n=P_{1}^{n_1}.P_{2}^{n_2}. ... $ maka banyak faktor dari $n$ adalah $(n_1+1)(n_1+2)...$
2. berdasarkan konsep diatas, maka ubahlah bentuk $10^{199}$ menjadi $10^{111}.10^a$, kemudian temukan faktor dari 10
3. jika faktor dari 10 sudah ketemu, maka banyak faktornya dapat dihitung dengan konsep di point 1
Petunjuk !
1. Ingatlah konsep jika $n=P_{1}^{n_1}.P_{2}^{n_2}. ... $ maka banyak faktor dari $n$ adalah $(n_1+1)(n_1+2)...$
2. berdasarkan konsep diatas, maka ubahlah bentuk $10^{199}$ menjadi $10^{111}.10^a$, kemudian temukan faktor dari 10
3. jika faktor dari 10 sudah ketemu, maka banyak faktornya dapat dihitung dengan konsep di point 1
--- Soal No 13 ---
Jika $𝑎,𝑏,𝑐,𝑑$ bilangan-bilangan asli sehingga $𝑎^5 = 𝑏^4,𝑐^3 = 𝑑^2$, 𝑑𝑎𝑛 $𝑐 − 𝑎 = 19$ maka nilai dari $𝑑 − 𝑏$ adalah ....
A. 757
B. 243
C. 1000
D. 81
A. 757
B. 243
C. 1000
D. 81
Kunci : A. 757
Petunjuk !
1. Cobalah ambil nilai dari $a=x^4$ dan $b=x^5$ dan ambil pula $c=y^2$ dan $d=y^3$
2. substitusi nilai $c$ dan $a$ ke persamaan $𝑐 − 𝑎 = 19$, sehingga ditemukan bentuk yang bisa difaktorkan. ingat pula 19 adalah prima jadi jelas sekali 19 = 1.19
3. melalui langkah 1 dan 2 akan ditemukan nilai $x$ dan $y$,
4. kembalikan nilai $x$ dan $y$, ke apa yang dimisalkan dan selesaikan apa yang ditanyakan oleh soalnya.
Petunjuk !
1. Cobalah ambil nilai dari $a=x^4$ dan $b=x^5$ dan ambil pula $c=y^2$ dan $d=y^3$
2. substitusi nilai $c$ dan $a$ ke persamaan $𝑐 − 𝑎 = 19$, sehingga ditemukan bentuk yang bisa difaktorkan. ingat pula 19 adalah prima jadi jelas sekali 19 = 1.19
3. melalui langkah 1 dan 2 akan ditemukan nilai $x$ dan $y$,
4. kembalikan nilai $x$ dan $y$, ke apa yang dimisalkan dan selesaikan apa yang ditanyakan oleh soalnya.
--- Soal No 14 ---
Diketahui barisan himpunan bilangan dengan pola berikut $(1), (2,3), (4,5,6),…$ Himpunan pertama memiliki 1 anggota, yaitu bilangan bulat positif pertama. Himpunan berikutnya memiliki 1 anggota lebih banyak dibanding himpunan sebelumnya, dengan anggota adalah bilangan bulat positif pada urutan berikutnya. Jika $𝑀𝑛$ adalah rata-rata dari seluruh anggota himpunan ke-𝑛, maka $2𝑀_{2022}−2𝑀_{2021}$=….
A. 2021
B. 2022
C. 4043
D. 4044
A. 2021
B. 2022
C. 4043
D. 4044
Kunci : C. 4043
Petunjuk !
1. ada banyak sekali cara menemukan soal ini, mungkin dengan memanfaatkan suku tengah atau hubungan rata-rata data di setiap kelompok. namun kali ini akan dijelaskan dengan kosep deret bilangan.
2. pahami dulu untuk kelompok 2022 akan ada sebanyak 2022 anggota, dimana anggota pertama dikelompok tersebut bisaditemukan dengan cara $S_{2021}+1$ dan hal yang sama untuk kelompok 2021
3. apabila nilai awal di masing masing kelompok sduah ada maka rata-ratanya bisa dihitung dengan rumus $S_n$ di kelompok yang dicari yaitu 2022 dan 2021 dimana beda tiap sukunya adalah 1.
4. ingat jangan binggung melihat suku awal dan beda dari barisan yang dimaksudkan
Petunjuk !
1. ada banyak sekali cara menemukan soal ini, mungkin dengan memanfaatkan suku tengah atau hubungan rata-rata data di setiap kelompok. namun kali ini akan dijelaskan dengan kosep deret bilangan.
2. pahami dulu untuk kelompok 2022 akan ada sebanyak 2022 anggota, dimana anggota pertama dikelompok tersebut bisaditemukan dengan cara $S_{2021}+1$ dan hal yang sama untuk kelompok 2021
3. apabila nilai awal di masing masing kelompok sduah ada maka rata-ratanya bisa dihitung dengan rumus $S_n$ di kelompok yang dicari yaitu 2022 dan 2021 dimana beda tiap sukunya adalah 1.
4. ingat jangan binggung melihat suku awal dan beda dari barisan yang dimaksudkan
--- Soal No 15 ---
Nilai ulangan harian Matematika siswa Kelas VII di SMP Harapan disajikan dalam grafik berikut
Grafik tersebut memberikan frekuensi nilai kelompok siswa laki-laki $(𝐿)$ dan siswa perempuan $(𝑃)$ secara terpisah. Misalkan $𝑅_𝐿$ dan $𝑀_𝐿$, menyatakan rata-rata dan median nilai kelompok siswa laki- laki serta $𝑅_𝑃$ dan $𝑀_𝑃$ menyatakan rata-rata dan median nilai kelompok siswa perempuan. Di antara pernyataan berikut, pernyataan yang benar adalah ....
A. $𝑀_𝑃=𝑀_𝐿$
B. $𝑀_𝑃 < 𝑀_𝐿$
C. $𝑅_𝑃=𝑅_𝐿$
D. $𝑅_𝑃 > 𝑅𝐿$
A. $𝑀_𝑃=𝑀_𝐿$
B. $𝑀_𝑃 < 𝑀_𝐿$
C. $𝑅_𝑃=𝑅_𝐿$
D. $𝑅_𝑃 > 𝑅𝐿$
Kunci : A. $𝑀_𝑃=𝑀_𝐿$
Petunjuk !
1. temukan rata-rata dan median dari data tersebut dengan konsep statistika data tunggal
2. bandingkan nilai rata-rata dan median yang diperoleh
Petunjuk !
1. temukan rata-rata dan median dari data tersebut dengan konsep statistika data tunggal
2. bandingkan nilai rata-rata dan median yang diperoleh
--- Soal No 16 ---
Bilangan “primus” dihasilkan dari bilangan 4 digit $𝑎𝑏𝑐𝑑$ dengan $𝑏=0$ yang melalui 3 langkah berikut:
$(i)$ Kurangi $abcd$ dengan jumlah semua digitnya
$(ii)$ Bagilah hasil dari langkah $(i)$ dengan 9
$(iii)$ Kurangilah bilangan hasil dari langkah $(ii)$ dengan 99 kali digit pertama bilangan hasil dari langkah $(ii)$
Di antara bilangan berikut, yang bukan merupakan bilangan “primus” adalah….
A. 38
B. 59
C. 104
D. 117
$(i)$ Kurangi $abcd$ dengan jumlah semua digitnya
$(ii)$ Bagilah hasil dari langkah $(i)$ dengan 9
$(iii)$ Kurangilah bilangan hasil dari langkah $(ii)$ dengan 99 kali digit pertama bilangan hasil dari langkah $(ii)$
Di antara bilangan berikut, yang bukan merupakan bilangan “primus” adalah….
A. 38
B. 59
C. 104
D. 117
Kunci : B. 59 dan D. 117
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk bilangan 4 digtit $abcd = 1000a + 100b + 10c + d$
2. ikuti langkah diatas dengan mengambil bilangan 4 digit sesuai dengan soal maka akan ditemukan persamaan dalam variabel $a,b,c,d$.
3. coba cek bilangan-bilangan yang ada di pilihan kemudian sesuaikan jawabannya
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk bilangan 4 digtit $abcd = 1000a + 100b + 10c + d$
2. ikuti langkah diatas dengan mengambil bilangan 4 digit sesuai dengan soal maka akan ditemukan persamaan dalam variabel $a,b,c,d$.
3. coba cek bilangan-bilangan yang ada di pilihan kemudian sesuaikan jawabannya
--- Soal No 17 ---
Perhatikan persamaan $\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}} +\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1$ Banyaknya bilangan bulat $𝑥$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah….
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
Kunci : D. 6
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk pemfaktoran $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$, dengan $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ selalu bernilai positif
2. melalui bentuk pada point 1, akan ditemukan bentuk dari persamaan nilai mutlak, maka temukan nilai $x$ pada tiap selang pembuat nol fungsinya
3. agar lebih mudah saat di langkah kedua misalkan $x-2$ dengan suatu variabel lainnya.
Petunjuk !
1. ingatlah bentuk pemfaktoran $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$, dengan $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ selalu bernilai positif
2. melalui bentuk pada point 1, akan ditemukan bentuk dari persamaan nilai mutlak, maka temukan nilai $x$ pada tiap selang pembuat nol fungsinya
3. agar lebih mudah saat di langkah kedua misalkan $x-2$ dengan suatu variabel lainnya.
--- Soal No 18 ---
Rio ingin bermain Sudoki pada kotak berukuran 4 x 4. Peraturan permainan Sudoki adalah setiap sel harus diisi dengan salah satu dari angka 1, 2, 3, atau 4 dengan syarat tidak boleh ada angka yang sama dalam pada setiap baris maupun kolom. Berikut diberikan salah satu contoh tampilan akhir permainan Sudoki yang mungkin. Banyak tampilan sudoki yang mungkin adalah….
A. 50
B. 576
C. 432
D. 676
A. 50
B. 576
C. 432
D. 676
Kunci : B. 576
Petunjuk !
1. perhatikan di baris 1 akan ada 4! kemungkinan karena ada 4 angka, kemudian di baris teraakhir akan ada 1 kemungkinan karena hanya tersisa 1 pilihan angka yang mungkin.
2. perhatikan jika baris 1 muncuk urutan a,b,c,d maka di kolom kedua akan ada 9 kemungkian mengisi angka, dan 3 pasang berupakan pasangan yang replektif $($ saling menukar secara berpasangan, misal jika baris 1 terpilih huruf a,b,c,d maka yang dimaksudkan dengan huruf reflektifnya adalah b,a,d,c atau c,d,a,b atau d,c,b,a $)$
3. perhatikan kembali bentuk yang reflektif yang dimaksud, yaitu angkanya saling berpasangan yaitu baris 1 muncul a dan baris 2 muncul b. ini akan muncuk juga di kolom lain
4. jika baris 1 dan baris 2 reflektif maka di baris ketiga akan ada 2 pilihan di kolom 1 dan 2 pilihan di kolom 2, sedangkan jika baris 1 dan 2 tidak reflektif maka di baris ketiga akan hanya ada 2 pilihan di kolom 1.
5. jumlahkan kedua kemungkinan pada langkah ke empat.
Petunjuk !
1. perhatikan di baris 1 akan ada 4! kemungkinan karena ada 4 angka, kemudian di baris teraakhir akan ada 1 kemungkinan karena hanya tersisa 1 pilihan angka yang mungkin.
2. perhatikan jika baris 1 muncuk urutan a,b,c,d maka di kolom kedua akan ada 9 kemungkian mengisi angka, dan 3 pasang berupakan pasangan yang replektif $($ saling menukar secara berpasangan, misal jika baris 1 terpilih huruf a,b,c,d maka yang dimaksudkan dengan huruf reflektifnya adalah b,a,d,c atau c,d,a,b atau d,c,b,a $)$
3. perhatikan kembali bentuk yang reflektif yang dimaksud, yaitu angkanya saling berpasangan yaitu baris 1 muncul a dan baris 2 muncul b. ini akan muncuk juga di kolom lain
4. jika baris 1 dan baris 2 reflektif maka di baris ketiga akan ada 2 pilihan di kolom 1 dan 2 pilihan di kolom 2, sedangkan jika baris 1 dan 2 tidak reflektif maka di baris ketiga akan hanya ada 2 pilihan di kolom 1.
5. jumlahkan kedua kemungkinan pada langkah ke empat.
--- Soal No 19 ---
Perhatikan gambar setengah lingkaran dengan pusat di O berikut
Jika $∠𝐵𝑂𝑅 = 48°$ dan $∠𝑂𝑃𝐴 = 80°$, maka besar $∠𝑃𝑄𝑅 =⋯°$
A. 92
B. 104
C. 118
D. 125
A. 92
B. 104
C. 118
D. 125
Kunci : C. 118
Petunjuk !
1. Perhatikan segitiga AOC dan BOD kedua segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki dengan kaki-kaninya adalah jari-jari lingkaran
2. misalkan besar kaki sudut segitiganya dengan variabel, dan hubungkan dengan besar sudut yang diketahui did alam soal
Petunjuk !
1. Perhatikan segitiga AOC dan BOD kedua segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki dengan kaki-kaninya adalah jari-jari lingkaran
2. misalkan besar kaki sudut segitiganya dengan variabel, dan hubungkan dengan besar sudut yang diketahui did alam soal
--- Soal No 20 ---
Perhatikan urutan lima bangun datar berikut
Urutan kelima bangun datar disebut ideal jika ketiga syarat berikut terpenuhi
$(i)$ Ada tepat 1 bangun diantara segilima dan segienam
$(ii)$ Ada lebih dari 1 bangun diantara segitiga dan segi delapan
$(iii)$ Segiempat tidak disebelah segienam maupun segi delapan
Banyaknya urutan yang tidak ideal dari kelima bangun datar tersebut adalah...
A. 1
B. 2
C. 118
D. 119
$(i)$ Ada tepat 1 bangun diantara segilima dan segienam
$(ii)$ Ada lebih dari 1 bangun diantara segitiga dan segi delapan
$(iii)$ Segiempat tidak disebelah segienam maupun segi delapan
Banyaknya urutan yang tidak ideal dari kelima bangun datar tersebut adalah...
A. 1
B. 2
C. 118
D. 119
Kunci : C. 118
Petunjuk !
untuk menemukan banyak posisi yang tidak ideal dapat ditemukan dengan cara menemukan selisih antara semua kemungkinan posisi acaknya dengan kemungkinan posisi idealnya.
Petunjuk !
untuk menemukan banyak posisi yang tidak ideal dapat ditemukan dengan cara menemukan selisih antara semua kemungkinan posisi acaknya dengan kemungkinan posisi idealnya.
--- Soal No 21 ---
Jika $𝑎_1$ dan $𝑎_2$ adalah 2 bilangan bulat positif terkecil berbeda yang memenuhi $𝑎^9 + 2$ habis dibagi 10 maka nilai dari $𝑎_1+𝑎_2$ adalah....
A. 18
B. 22
C. 24
D. 26
A. 18
B. 22
C. 24
D. 26
Kunci : C. 118
Petunjuk !
1. agar habis dibagi 10 maka satuanya harus 8, karena bentuk $𝑎^9 + 2$ harus habis dibagi 10 maka satuan dari $𝑎^9$ harus 8 sehingga jika ditambahkan dengan dua satuannya menjadi 0.
2. temukan semua bilangan a yang mungkin, gunakan pengulangan bilangan berpangkat.
Petunjuk !
1. agar habis dibagi 10 maka satuanya harus 8, karena bentuk $𝑎^9 + 2$ harus habis dibagi 10 maka satuan dari $𝑎^9$ harus 8 sehingga jika ditambahkan dengan dua satuannya menjadi 0.
2. temukan semua bilangan a yang mungkin, gunakan pengulangan bilangan berpangkat.
--- Soal No 22 ---
Berikut ini adalah sel 3 x 3 yang akan diisi dengan bilangan bulat positif sedemikian sehingga jumlah 3 bilangan dalam setiap baris, kolom, maupun diagonal sama. Jika $𝑛$ adalah nilai terkecil yang mungkin untuk mengisi sel pojok kiri atas, maka jumlah semua bilangan yang berada di keempat sel pojok adalah..
A. 104
B. 105
C. 107
D. 110
A. 104
B. 105
C. 107
D. 110
Kunci : A. 104
Petunjuk !
1. Jumlah baris pertama akan menjadi acuan untuk baris lainnya, maka jumlahkan nilai baris pertama
2. kemudian isi bilangan di baris ketiga kolom ketiga dengam memisalkan dengan variabel $x$, maka nyatakan $x$ ke dalam variabel $n$ sesuai dengan jumlah nilai di baris pertama.
3. lakukan hal yang sama untuk kolom lainnya
4. jumlahkan persamaan yang ada di pojok, maka bvariabel $n$ akan saling menghilangkan.
Petunjuk !
1. Jumlah baris pertama akan menjadi acuan untuk baris lainnya, maka jumlahkan nilai baris pertama
2. kemudian isi bilangan di baris ketiga kolom ketiga dengam memisalkan dengan variabel $x$, maka nyatakan $x$ ke dalam variabel $n$ sesuai dengan jumlah nilai di baris pertama.
3. lakukan hal yang sama untuk kolom lainnya
4. jumlahkan persamaan yang ada di pojok, maka bvariabel $n$ akan saling menghilangkan.
--- Soal No 23 ---
Diketahui suatu persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan titik 𝑃 dan 𝑄 masing-masing berada pada sisi 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 sedemikian sehingga 𝐴𝑃𝐶𝑄 merupakan belah ketupat. Titik 𝑅 merupakan titik pusat persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷. Titik 𝑆 terletak di sisi 𝐶𝐷 dan 𝑃𝑆 tegak lurus dengan sisi 𝐶𝐷. Jika panjang 𝐴𝐵 = 𝑎 dan panjang 𝐵𝐶 = 𝑏 selisih panjang 𝑅𝑆 dan 𝑄𝑆 adalah ....
A. $\frac{a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2a^2}{b}$
B. $\frac{b}{2a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a^2}$
C. $\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2b^2}{a}$
D. $\frac{2a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{a}{b^2}$
A. $\frac{a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2a^2}{b}$
B. $\frac{b}{2a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a^2}$
C. $\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{2b^2}{a}$
D. $\frac{2a}{b}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{a}{b^2}$
Kunci : B. $\frac{b}{2a}\sqrt{a^2+b^2}-\frac{b^2}{a^2}$
Petunjuk !
1. Perhatikan bangun yang dibentuknya, akan ada beberapa panjang sisi yang sama. Kemudian misalkan dengan sebuah variabel dan misalkan dengan sebuah variabel
2. Panjang $QS=AB - SC - DQ$ kemudian panjang QS dapat dicari dengan meilihat segitiga CBP
3. untuk menemukan panjang RS coba perhatikan segitiga siku-siku RTS dengan T adalah titik tengah QS
4. melalui ketiga langkah diatas, maka soal dapat diselesaikan
Petunjuk !
1. Perhatikan bangun yang dibentuknya, akan ada beberapa panjang sisi yang sama. Kemudian misalkan dengan sebuah variabel dan misalkan dengan sebuah variabel
2. Panjang $QS=AB - SC - DQ$ kemudian panjang QS dapat dicari dengan meilihat segitiga CBP
3. untuk menemukan panjang RS coba perhatikan segitiga siku-siku RTS dengan T adalah titik tengah QS
4. melalui ketiga langkah diatas, maka soal dapat diselesaikan
--- Soal No 24 ---
Perhatikan persamaan berikut. $𝑥^{2023}−𝑥^{2021}−𝑥^{2019}−⋯−𝑥^3=2𝑥$ Jumlah dari kuadrat akar-akar real persamaan tersebut adalah….
A. 0
B. 4
C. 6
D. 9
A. 0
B. 4
C. 6
D. 9
Kunci : B. 4
Petunjuk !
1. kumpulkan bentuk pada soal dengan memecah $2x=x+x$ kemudian $x^{2021}, x^{2019}, ...$ dipindahkan keruas kanan, sehingga ditemukan bentuk $x^{2023}-x=x^{2021}+x^{2019}+...+x$
2. bentuk disebelah kanan dapat dijumlahkan dengan deret geometri, dimana $S_n=\frac{a(r^n-1}{r-1}$ dengan $r \neq 1$
3. faktorkan bentuk di kanan dan kirinya kemudian kumplkan atau buat di ruas kanan sama dengan nol.
4. dari langkah diatas akan ditemukan 5 buah akar dengan 1 dan -1 tidak memenuhi.
Petunjuk !
1. kumpulkan bentuk pada soal dengan memecah $2x=x+x$ kemudian $x^{2021}, x^{2019}, ...$ dipindahkan keruas kanan, sehingga ditemukan bentuk $x^{2023}-x=x^{2021}+x^{2019}+...+x$
2. bentuk disebelah kanan dapat dijumlahkan dengan deret geometri, dimana $S_n=\frac{a(r^n-1}{r-1}$ dengan $r \neq 1$
3. faktorkan bentuk di kanan dan kirinya kemudian kumplkan atau buat di ruas kanan sama dengan nol.
4. dari langkah diatas akan ditemukan 5 buah akar dengan 1 dan -1 tidak memenuhi.
--- Soal No 25 ---
Diketahui himpunan A sebagai berikut
$ \left ( \frac{(n-2)^2+2}{m},\frac{(n-2)^3+2}{m},\frac{(n-2)^4+2}{m}, ... \right )$
Semua anggota A adalah bilangan bulat positif . Jika 𝑛 adalah kelipatan dari 𝑚, maka jumlah semua nilai 𝑚 yang mungkin untuk 𝑛 = 2022 adalah
A. 3
B. 6
C. 12
D. 28
A. 3
B. 6
C. 12
D. 28
Kunci : C. 12
Petunjuk !
1. masukan nilai m ke himpunan maka diperoleh $\frac{(2022-2)^k+2}{m}$, kemudian temukan semua faktor dari $2022-2$ maka itulah nilai $m$
2. untuk nilai $m=1$ dan $m=2$ jelas membagi $\frac{(2022-2)^k+2}{m}$ karena satuannya genap.
3. kemudian untuk nilai $m$ yang lain silahkan diuji dengan konsep modulo yaitu sifat $(an+b)^m=b^m mod n$
4. maka dari langkah diatas akan ditemukan hanya 4 buah nilai $m$ yang memenuhi.
Petunjuk !
1. masukan nilai m ke himpunan maka diperoleh $\frac{(2022-2)^k+2}{m}$, kemudian temukan semua faktor dari $2022-2$ maka itulah nilai $m$
2. untuk nilai $m=1$ dan $m=2$ jelas membagi $\frac{(2022-2)^k+2}{m}$ karena satuannya genap.
3. kemudian untuk nilai $m$ yang lain silahkan diuji dengan konsep modulo yaitu sifat $(an+b)^m=b^m mod n$
4. maka dari langkah diatas akan ditemukan hanya 4 buah nilai $m$ yang memenuhi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar