Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret merupakan dua hal yang sama yaitu membahas hubungan antara bilangan sebelum dan sesudahnya yang di dibedakan dengan suatu bilangan yang konsisten atau tetap. Yang membedakan kedua materi tersebut adalah pokok bahasanya, dimana pada barisan akan fokus membahasa suku ke-n $(U_n)$ sedangkan di deret fokus yang di bahas adalah jumlah n suku pertema $(S_n)$. Pada barisan aritmatika yang menjadi ciri khanya adalah beda $(b)$, dimana beda dari deret aritmatika diperoleh dengan cara menemukan selisih suku sesudah dan suku sebelumnya. untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa bentuk berikut.

Barisan dan Deret Aritmatika

Apabila diketahui sebuah barisan atau deret arimatika dengan suku awal $a$ dan beda $b$ maka dapat diturunkan beberapa rumus berikut
1. $b = u_{n}-U_{n-1}$
2. $U_{n} = a+(n-1)b$
3. $S_{n} = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b$
4. $S_{n} = \frac{n}{2}(a+U_n)$

Keterangan
$a$ = Suku awal
$b$ = beda
$U_n$ = suku ke n
$S_n$ = jumlah n suku pertama

Jika susah dalam memahami penjelasannya, berikut disediakan beberapa video pembuktian kebanaran rumus diatas

PEMBUKTIAN RUMUS $U_n$

PEMBUKTIAN RUMUS $S_n$

Untuk memahami lebih jauh mengenai barisan dan deret aritmatika, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi barisan dan deret aritmatika.

--- Soal No 1 ---
Diketahui suatu barisan 2, 4, 6, 8, 10, ... , tentukan nilai dari :
a. $U_{10}$
b. $S_{15}$

Jika dilihat dari bentuk barisan pada soal, barisan tersebut merupakan barisan aritmatika karena memiliki nilai selisih yang sama antara suku sebelum dan sesudahnya dengan nilai $a (suku awal) = 2$ dan $b (beda) = 4-2=2$, sehingga Sesuai dengan rumus pada tabel akan diperoleh.
Jawaban a
$ \begin{align*} U_n &= a+(n-1)b \\ U_6 &= 2+(10-1)2 \\ &= 2+9.2 \\ &= 20 \\ \end{align*} $

Jawaban b
$ \begin{align*} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b \\ S_6 &= \frac{15}{2}(2.2+(15-1)2 \\ &= \frac{15}{2}(32) \\ &= 240 \\ \end{align*}$

--- Soal No 2 ---
Dalam suatu pabrik bata, Ketut adalah salah satu anak dari yang punya perusahaan. Suatu hari ia melihat tumpukan bata yang rapi dan ia ingin tahu berapa banyak bata yang di tumpuk itu, ia hanya melihat tumpukan pertama jumlahnya 7, tumpukan kedua 9, tumpukan kelima 11 dan seterusnya dengan selisih yang sama. Jika bata yang ditumpuk itu ada sebanyak 10 tumpukan, maka berapakah jumlah batanya ... .

Permasalahan ini dapat diselesaikan dengan rumus suku ke n, dengan $a=7, b = 2$ dan $n=10$ sehingga akan diperoleh
Jawaban a
$ \begin{align*} S_n &= \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) \\ S_10 &= \frac{10}{2}(2.7+(10-1).2) \\ &= 5.(14+9.2) \\ &= 5.32 \\ &= 160 \\ \end{align*} $
Maka jumlah bata dutumpukan tersebut adalah 160 buah.