Apabila kita membahas mengenai barisan dan deret aritmatika terkadang kita akan menemukan barisan aritmatika yang beda tiap sukunya berbeda atau tidak konstan, Namun akan konstan pada tingkat tertentu. Misalkan ada sebuah barisan aritmatika dan kita temukan beda tiap sukunya berbeda namun beda dari bedanya sama, hal ini nantinya kita akan sebut sebagai barisan tingkat 2. Jika nanti beda yang kedua belum sama dan beda yang ketiga sama akan diebut barisan tingkat 3. Unutk menyelesaikannya dapat dicari dengan cara berikut.
Untuk memahami lebih jauh mengenai barisan dan deret aritmatika tingkat 2, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi barisan dan deret aritmatika.
--- Soal No 1 ---
Diketahui suatu barisan 1, 4, 9, 16, 25, ... , tentukan nilai dari :
a. $U_{10}$
b. $U_{15}$
Jawaban Soal a
untuk menjawab soal ini, misalkan dulu nilai $u_n$nya dengan $U_n=an^2+bn+c$, kemudian temukan nilai $a_1,b_1$ dan $c_1$ dengan cara menemukan beda tingkat 1 dan tingkat 2 dari barisan yang diketahui. dimana sesuai dengan cara diatas diperoleh
$a_1=1$
$b_1=U_2-U_1=4-1=3$
$c_1=b_2-b_1 = 5-3=2$
kemudian sesuai dengan rumus diatas untuk menemukan nilai dari $a,b$ dan $c$ diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} 2a &= c_1 \\ 2a &= 2 \\ a &= 1 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} 3a +b &= b_1 \\ 3.1+b &= 3 \\ b &= 0 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} a +b +c &= 1 \\ 1+0+c &= 1 \\ c &= 0 \\ \end{align*}$
maka substitusi nilai $a,b$ dan $c$ ke $U_n=an^2+bn+c$, sehingga diperoleh $U_n=n^2$
maka nilai dari $U_{10}=n^2=10^2=100$
Jawaban b
Untuk menjawab soal yang point b akan digunakan metode barisan bertingkat n di atas, dimana n yang diambil adalah 2, sehingga rumus yang dipakai adalah $U_n=\frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} + d_1\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + ... $, untuk nilai $a_1,b_1$ dan $c_1$ sama dengan pada point a sehingga.
$ \begin{align*} U_n &= \frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} \\ U_{15} &= \frac{1}{0!}+3\frac{15-1}{1!}+2\frac{(15-1)(15-2)}{2!} \\ &= \frac{1}{1}+3\frac{14}{1}+2\frac{(14)(13)}{2.1} \\ &= 1+42+182 \\ &= 197 \\ \end{align*}$
maka nilai $U_{15}$ adalah 197. cobalah menggunakan cara pada point a untuk menemukan jawabanya.
untuk menjawab soal ini, misalkan dulu nilai $u_n$nya dengan $U_n=an^2+bn+c$, kemudian temukan nilai $a_1,b_1$ dan $c_1$ dengan cara menemukan beda tingkat 1 dan tingkat 2 dari barisan yang diketahui. dimana sesuai dengan cara diatas diperoleh
$a_1=1$
$b_1=U_2-U_1=4-1=3$
$c_1=b_2-b_1 = 5-3=2$
kemudian sesuai dengan rumus diatas untuk menemukan nilai dari $a,b$ dan $c$ diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} 2a &= c_1 \\ 2a &= 2 \\ a &= 1 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} 3a +b &= b_1 \\ 3.1+b &= 3 \\ b &= 0 \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} a +b +c &= 1 \\ 1+0+c &= 1 \\ c &= 0 \\ \end{align*}$
maka substitusi nilai $a,b$ dan $c$ ke $U_n=an^2+bn+c$, sehingga diperoleh $U_n=n^2$
maka nilai dari $U_{10}=n^2=10^2=100$
Jawaban b
Untuk menjawab soal yang point b akan digunakan metode barisan bertingkat n di atas, dimana n yang diambil adalah 2, sehingga rumus yang dipakai adalah $U_n=\frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} + d_1\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + ... $, untuk nilai $a_1,b_1$ dan $c_1$ sama dengan pada point a sehingga.
$ \begin{align*} U_n &= \frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} \\ U_{15} &= \frac{1}{0!}+3\frac{15-1}{1!}+2\frac{(15-1)(15-2)}{2!} \\ &= \frac{1}{1}+3\frac{14}{1}+2\frac{(14)(13)}{2.1} \\ &= 1+42+182 \\ &= 197 \\ \end{align*}$
maka nilai $U_{15}$ adalah 197. cobalah menggunakan cara pada point a untuk menemukan jawabanya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar