Loading web-font TeX/Math/ItalicMathJax
/extensions/TeX/AMSsymbols.js

Barisan Aritmatika bertingkat 2


Apabila kita membahas mengenai barisan dan deret aritmatika terkadang kita akan menemukan barisan aritmatika yang beda tiap sukunya berbeda atau tidak konstan, Namun akan konstan pada tingkat tertentu. Misalkan ada sebuah barisan aritmatika dan kita temukan beda tiap sukunya berbeda namun beda dari bedanya sama, hal ini nantinya kita akan sebut sebagai barisan tingkat 2. Jika nanti beda yang kedua belum sama dan beda yang ketiga sama akan diebut barisan tingkat 3. Unutk menyelesaikannya dapat dicari dengan cara berikut.

Barisan Aritmatika Tingkat n
Aapabila diketahu sebuah barisan seperti berikut

maka rumus suku ke n dapat ditemukan dengan cara
U_n=\frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} + d_1\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + ...

Ingat
0!=1
2!=2.1

Barisan Aritmatika Tingkat 2

selain menggunakan cara diatas, U_n barisan aritmatika tingkat 2 dapat dimisalkan dengan U_n=an^2+bn+c dimana nilai a,b dan c diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan berikut
2a=c_1
3a+b=b_1
a+b+c =a_1
Jika nilai a,b dan c sudah ditemukan maka substitusi ke rumus U_n=an^2+bn+c, sehingga rumus suku ke-n diperoleh.



Jika susah dalam memahami penjelasannya, berikut dijelaskan materi rumus deret tingkat 2
PEMBUKTIAN RUMUS U_n BARISAN TINGKAT 2

Untuk memahami lebih jauh mengenai barisan dan deret aritmatika tingkat 2, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi barisan dan deret aritmatika.

--- Soal No 1 ---
Diketahui suatu barisan 1, 4, 9, 16, 25, ... , tentukan nilai dari :
a. U_{10}
b. U_{15}
Jawaban Soal a
untuk menjawab soal ini, misalkan dulu nilai u_nnya dengan U_n=an^2+bn+c, kemudian temukan nilai a_1,b_1 dan c_1 dengan cara menemukan beda tingkat 1 dan tingkat 2 dari barisan yang diketahui. dimana sesuai dengan cara diatas diperoleh
a_1=1
b_1=U_2-U_1=4-1=3
c_1=b_2-b_1 = 5-3=2
kemudian sesuai dengan rumus diatas untuk menemukan nilai dari a,b dan c diperoleh dengan cara
\begin{align*} 2a &= c_1 \\ 2a &= 2 \\ a &= 1 \\ \end{align*}

\begin{align*} 3a +b &= b_1 \\ 3.1+b &= 3 \\ b &= 0 \\ \end{align*}

\begin{align*} a +b +c &= 1 \\ 1+0+c &= 1 \\ c &= 0 \\ \end{align*}
maka substitusi nilai a,b dan c ke U_n=an^2+bn+c, sehingga diperoleh U_n=n^2
maka nilai dari U_{10}=n^2=10^2=100

Jawaban b
Untuk menjawab soal yang point b akan digunakan metode barisan bertingkat n di atas, dimana n yang diambil adalah 2, sehingga rumus yang dipakai adalah U_n=\frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} + d_1\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + ... , untuk nilai a_1,b_1 dan c_1 sama dengan pada point a sehingga.
\begin{align*} U_n &= \frac{a_1}{0!}+b_1\frac{n-1}{1!}+c_1\frac{(n-1)(n-2)}{2!} \\ U_{15} &= \frac{1}{0!}+3\frac{15-1}{1!}+2\frac{(15-1)(15-2)}{2!} \\ &= \frac{1}{1}+3\frac{14}{1}+2\frac{(14)(13)}{2.1} \\ &= 1+42+182 \\ &= 197 \\ \end{align*}
maka nilai U_{15} adalah 197. cobalah menggunakan cara pada point a untuk menemukan jawabanya.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar