Pada pembelajaran kali ini akan dibahas mengenai perbandingan vektor pada ruas garis, secara sederhana apabila diketahui sebuah ruas garis AB dengan titik C diantara ruas garis tersebut sedemikian sehingga ada sebuah perbandingan yang memenuhi ketiga titik tersebut maka kordinat titik C dapat ditentukan dengan memanfaatkan perbadinganya dan kordinat titik A dan titik B. Dan apabila ketiga titik ABC sudah diketahui maka seluruh cektor yang memuat ketiga titik tersebt juga dapat ditentukan.
Untuk lebih memahami mengenai perbandingan ruas garis pada vektor, silahkan simak penjelasan berikut ini.
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika diketahui tiga buah titik $A(4,6,8), B(0.-2.-4)$ dan $C(a,b,c)$ yang berlaku $AC:CB=1:3$ maka temukan nilai dari !
a. kordinat titik $C$
b. Vektor posisi $\overrightarrow{c}$
a. kordinat titik $C$
b. Vektor posisi $\overrightarrow{c}$
Jawaban a
Jika soal diilustrasikan ke dalam gambar akan diperoleh bentuk.
maka sesuai dengan rumus diatas, kordinat titik C diperoleh dengan cara.
$\begin{align*}
C&= \frac{A.n+B.m}{m+n}\\
&= \frac{(4,6,8).3+(0,-2,-4).1}{3+1}\\
&= \frac{(12,18,24)+(0,-2,-4)}{4} \\
&= \frac{(12,16,20)}{4} \\
&= (3,4,5)
\end{align*}$
Jawaban b
karena koordinat titik C sudah ditemukan, maka vektor posisinya adalah $(3,4,5)$ atau bisa juga dituliskan dalam bentuk $\bar{c}=3i+4j+5k$
Jika soal diilustrasikan ke dalam gambar akan diperoleh bentuk.
Jawaban b
karena koordinat titik C sudah ditemukan, maka vektor posisinya adalah $(3,4,5)$ atau bisa juga dituliskan dalam bentuk $\bar{c}=3i+4j+5k$
Soal No 2
Jika diketahui tiga buah titik $A(2,3,5), B(0,1,-1)$ dan titik $C$ terletak diperpanjangan $AB$ sehingga titik B diantara AC, maka jika $AB:AC=1:5$ maka temukan nilai dari kordinat titik $C$ adalah ... .
Jika soal diilustrasikan ke dalam gambar, dan misalkan kordinat titik $C$ adalah $(x,y,z)$ akan diperoleh bentuk.
maka sesuai dengan rumus diatas, kordinat titik $C(x,y,z)$ diperoleh dengan cara.
$\begin{align*}
B&= \frac{A.n+C.m}{m+n}\\
(0,1,-1)&= \frac{(2,3,5).4+(x,y,z).1}{4+1}\\
(0,1,-1)&= \frac{(8,12,20)+(x,y,z)}{5} \\
5.(0,1,-1) &= (8,12,20)+ (x,y,z)\\
(0,5,-5) &= (8,12,20) + (x,y,z) \\
(0,5,-5)-(8,12,10) &= (x,y,z) \\
(-8,-17,-15) &= (x,y,z) \\
\end{align*}$
maka kordinat titik c adalah $C(-8,-17,-15)$
maka kordinat titik c adalah $C(-8,-17,-15)$
Soal No 3
Jika diketahui tiga buah titik $A(1,2,-3), B(0,-2,5)$ dan titik $C$ terletak diperpanjangan $AB$ sehingga titik $B$ diantara $AC$, maka jika $AB:BC=2:1$ maka temukan nilai dari kordinat titik $C$ ... .
Jika soal diilustrasikan ke dalam gambar, dan misalkan kordinat titik $C$ adalah $(x,y,z)$ akan diperoleh bentuk.
maka sesuai dengan rumus diatas, kordinat titik $C(x,y,z)$ diperoleh dengan cara.
$\begin{align*}
B&= \frac{A.n+C.m}{m+n}\\
(0,-2,5)&= \frac{(1,2,-3).1+(x,y,z).2}{1+2}\\
(0,-2,5)&= \frac{(1,2,-3)+(x,y,z).2}{3} \\
3.(0,-2,5) &= (1,2,-3)+ 2(x,y,z)\\
(0,-6,15) &= (1,2,-3) + 2(x,y,z) \\
(0,-6,15)-(1,2,-3) &= 2(x,y,z) \\
\frac{(-1,-8,18)}{2} &= (x,y,z) \\
\left ( \frac{-1}{2},-8,18 \right ) &= (x,y,z)
\end{align*}$
maka kordinat titik c adalah $C\left ( \frac{-1}{2},-8,18 \right )$
maka kordinat titik c adalah $C\left ( \frac{-1}{2},-8,18 \right )$
Soal No 4
Jika diketahui tiga buah titik $A(2,4,6), B(1,4,5)$ dan titik $C(-2,4,2)$ terletak diperpanjangan $AB$ sehingga titik $B$ diantara $AC$, maka jika $AB:BC=m:n$ maka temukan nilai dari $m+n$ ... .
Cobalah ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, maka akan diperoleh
maka sesuai dengan rumus diatas, kordinat titik $C(x,y,z)$ diperoleh dengan cara mengambil salah satu nilai $x,y$ atau $z$, dalam pembahasan kali ini akan diambil nilai $x$ sehingga .
$\begin{align*} B_x&= \frac{A_x.n+C_x.m}{m+n}\\ 1 &= \frac{2.m+(-2).n}{m+n}\\ 1 (m+n) &=2m -2n \\ m+n &=2m -2n \\ m-2m &= -2n-n \\ -m &= -3n \\ m &= 3n \\ \frac {m}{n} &= \frac {3}{1} \\ \end{align*}$
Sehingga diperoleh nilai $m=3$ dan $n=1$ maka $m+n=3+1=4$
maka sesuai dengan rumus diatas, kordinat titik $C(x,y,z)$ diperoleh dengan cara mengambil salah satu nilai $x,y$ atau $z$, dalam pembahasan kali ini akan diambil nilai $x$ sehingga .
$\begin{align*} B_x&= \frac{A_x.n+C_x.m}{m+n}\\ 1 &= \frac{2.m+(-2).n}{m+n}\\ 1 (m+n) &=2m -2n \\ m+n &=2m -2n \\ m-2m &= -2n-n \\ -m &= -3n \\ m &= 3n \\ \frac {m}{n} &= \frac {3}{1} \\ \end{align*}$
Sehingga diperoleh nilai $m=3$ dan $n=1$ maka $m+n=3+1=4$
Soal No 5
Pada sebuah segiempat $ABCD$ terdapat titik $E$ ditengah-tengah $CD$, apabila $\overrightarrow{a}=AB$ dan $\overrightarrow{b}=BC$, maka nyatakan vektor $\overrightarrow{AE}$ ke dalam vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ ... .
Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, maka akann diperoleh
perhatikan bahwa $\overrightarrow{a}=AB$ dan $DE = \frac{1}{2}AB$ dan $\overrightarrow{b}=BC=AD$, maka diperoleh
$\begin{align*} \overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} \\ &= \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \\ \end{align*}$
Maka $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$
perhatikan bahwa $\overrightarrow{a}=AB$ dan $DE = \frac{1}{2}AB$ dan $\overrightarrow{b}=BC=AD$, maka diperoleh
$\begin{align*} \overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} \\ &= \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \\ \end{align*}$
Maka $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$
Soal No 6
Perhatikan gambar berikut!
Apabila diketahui $\overrightarrow{a}=FC$ dan $\overrightarrow{b}=FB$, maka nyatakan vektor $\overrightarrow{BO}$ ke dalam vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ ... .
perhatikan bahwa $\overrightarrow{b}=FB$ maka $BF=-\overrightarrow{b}$ dan $\overrightarrow{a}=FC$ maka $FO=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$, Sehungga Sesuai dengan gambar akan diperoleh
$\begin{align*} \overrightarrow{BO} &= \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FO} \\ &= -\overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \\ \end{align*}$
Maka $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$ atau bisa juga ditulis dalam bentuk $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}$
$\begin{align*} \overrightarrow{BO} &= \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FO} \\ &= -\overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a} \\ \end{align*}$
Maka $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}$ atau bisa juga ditulis dalam bentuk $\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}$
Untuk lebih memahami penjelasan Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal
| 1 | jika diketahui kordinat titik $A(1,2,1), B(-3,10,5)$ dan $C(x,y,z)$ jika titik C berada diantara titik AB sehingga berlaku AB : BC = 1 : 3, maka nilai dari $x + y+z$ adalah |
| 2 | jika diketahui kordinat titik $A(-3,5,-6), B(1,13,-10)$ dan $C(x,y,z)$ jika titik C berada di perpanjangan AB sehingga AB : AC 1 : 2, maka nilai dari $x + y+z$ adalah |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar