Pada pembelajaran kali ini akan dibahas mengenai grafik fungsi Logaritma, mirip dengan fungsi eksponen fungsi logaritma akan selalu mengalami kenaikan atau penurunan tergantung dari nilai-nilai yang ada di dalam grafiknya. Banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan konsep grafik logaritma. tentunya permaslahan yang selalu mengalami penurunan dan kenaikan tertentu. oleh sebab itu sangatlah penting untuk mengetahui bentuk dan bagaimana cara menggambar grafik fungsi logaritma
Untuk lebih memahami grafik fungsi Logaritma, silahkan simak penjelasan berikut ini.
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
cobalah gambar grafik fungsi $f(x)=^2logx$ ...
Untuk menggambar grafik fungsinya, ambilah niali x yang merupakan hasil perpangkatan dari basisnya. misal dalam soal ini basis logaritmanya adalah 2, maka ambil nilai $x =..., 2^{-2},2^{-1},1,2, 2^2, 2^3, ...$, kemudian ingat juga dua sifat logaritma.
$^alogb^n=n.^alogb$
$^alog a= 1$
sehingga cukup ambil 2 buah nilai $x$ saja $($ lebih banyak lebih bagus $)$
untuk nilai $x=\frac{1}{4}$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^2logx \\ &= ^2log \frac{1}{4}\\ &= ^2log \frac{1}{2^2}\\ &= ^2log 2^{-2}\\ &= -2.^2log 2\\ &= -2 \end{align*}$
untuk nilai $x=2$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^2logx2 \\ &= 1 \end{align*}$
dari dua titik diatas, diperoleh dua buah titik $B(\frac{1}{4},-2)$ dan $A(2,1)$ plot titik ini pada kordinat, dan perhatikan jika nilai $x$ diambil sangat kecil maka nilai $y$ akan sangat besar sehingga bentuk grafiknya akan diperoleh sebagai berikut.
$^alogb^n=n.^alogb$
$^alog a= 1$
sehingga cukup ambil 2 buah nilai $x$ saja $($ lebih banyak lebih bagus $)$
untuk nilai $x=\frac{1}{4}$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^2logx \\ &= ^2log \frac{1}{4}\\ &= ^2log \frac{1}{2^2}\\ &= ^2log 2^{-2}\\ &= -2.^2log 2\\ &= -2 \end{align*}$
untuk nilai $x=2$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^2logx2 \\ &= 1 \end{align*}$
dari dua titik diatas, diperoleh dua buah titik $B(\frac{1}{4},-2)$ dan $A(2,1)$ plot titik ini pada kordinat, dan perhatikan jika nilai $x$ diambil sangat kecil maka nilai $y$ akan sangat besar sehingga bentuk grafiknya akan diperoleh sebagai berikut.
Soal No 2
cobalah gambar grafik fungsi $f(x)=^3log[x]$ ...
Untuk menggambar grafik fungsinya, ambilah niali x yang merupakan hasil perpangkatan dari basisnya. misal dalam soal ini basis logaritmanya adalah 3, maka ambil nilai $x =..., 3^{-2},3^{-1},1,3, 3^2, 3^3, ...$, kemudian ingat juga dua sifat logaritma.
$^alogb^n=n.^alogb$
$^alog a= 1$
sehingga cukup ambil 2 buah nilai $x$ saja $($ lebih banyak lebih bagus $)$
untuk nilai $x=\frac{1}{3}$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^3logx \\ &= ^3log \frac{1}{3}\\ &= ^3log 3^{-1}\\ &= -1.^3log 3\\ &= -1 \end{align*}$
untuk nilai $x=9$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^3logx \\ &= ^3log3^2 \\ &= 2.^3log3 \\ &= 2 \end{align*}$
dari dua titik diatas, diperoleh dua buah titik $B(\frac{1}{3},-1)$ dan $A(9,2)$ plot titik ini pada kordinat, dan perhatikan jika nilai $x$ diambil sangat kecil maka nilai $y$ akan sangat besar sehingga bentuk grafiknya akan diperoleh sebagai berikut.
$^alogb^n=n.^alogb$
$^alog a= 1$
sehingga cukup ambil 2 buah nilai $x$ saja $($ lebih banyak lebih bagus $)$
untuk nilai $x=\frac{1}{3}$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^3logx \\ &= ^3log \frac{1}{3}\\ &= ^3log 3^{-1}\\ &= -1.^3log 3\\ &= -1 \end{align*}$
untuk nilai $x=9$ maka
$\begin{align*} f(x) &= ^3logx \\ &= ^3log3^2 \\ &= 2.^3log3 \\ &= 2 \end{align*}$
dari dua titik diatas, diperoleh dua buah titik $B(\frac{1}{3},-1)$ dan $A(9,2)$ plot titik ini pada kordinat, dan perhatikan jika nilai $x$ diambil sangat kecil maka nilai $y$ akan sangat besar sehingga bentuk grafiknya akan diperoleh sebagai berikut.
Soal No 3
Temukanlah grafik fungsi berikut ini ...
Karena grafik melalui titik $(1,0)$, maka misalkan fungsi logaritmanya adalah $^alogx$ kemudian ambil dua buah titik yang memenuhi kurva yaitu $(2,-1)$ atau $(4,-2)$ kemudian temukan nilai $a$ dengan cara mengambil salah satu titiknya, maka akan diperoleh sebagai berikut.
untuk titik $(2,-1)$ diperoleh
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ -1 &= ^alog2 \\ a^{-1} &= 2 \\ \frac{1}{a} &= a \\ a &= \frac{1}{2} \end{align*}$
maka, jika nilai $a$ sudah ada, maka grafik fungsi diatas memiliki persamaan $f(x)=^{\frac{1}{2}}logx$
untuk titik $(2,-1)$ diperoleh
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ -1 &= ^alog2 \\ a^{-1} &= 2 \\ \frac{1}{a} &= a \\ a &= \frac{1}{2} \end{align*}$
maka, jika nilai $a$ sudah ada, maka grafik fungsi diatas memiliki persamaan $f(x)=^{\frac{1}{2}}logx$
Soal No 4
Temukanlah grafik fungsi berikut ini ...
Karena grafik tidak melalui titik $(1,0)$, maka misalkan fungsi logaritmanya adalah $^alogbx$ kemudian ambil dua buah titik yang memenuhi kurva yaitu $(2,2)$ atau $(4,3)$ kemudian temukan nilai $a$ dan $b$, dengan cara sebagai berikut.
untuk titik $(2,2)$ diperoleh dan misalkan persamaan pertama.
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ 2 &= ^alogb.2 \\ a^{2} &= 2b \\ \end{align*}$
untuk titik $(4,3)$ diperoleh dan misalkan persamaan kedua.
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ 3 &= ^alogb.4 \\ a^{3} &= 4b \\ \end{align*}$
Substitusikan persamaan pertama ke kedua, sehingga
$\begin{align*} a^{3} &= 4b \\ a^1.a^{2} &= 4b \\ a.2b &= 4b \\ a &= \frac{4b}{2b} \\ a &= 2 \end{align*}$
sehinga nilai dari $b$ adalah
$\begin{align*} a^{2} &= 2b \\ 2^{2} &= 2b \\ b &= 2 \end{align*}$
maka, grafik fungsi diatas memiliki persamaan $f(x)=^{2}log2x$
untuk titik $(2,2)$ diperoleh dan misalkan persamaan pertama.
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ 2 &= ^alogb.2 \\ a^{2} &= 2b \\ \end{align*}$
untuk titik $(4,3)$ diperoleh dan misalkan persamaan kedua.
$\begin{align*} f(x) &= ^alogx \\ 3 &= ^alogb.4 \\ a^{3} &= 4b \\ \end{align*}$
Substitusikan persamaan pertama ke kedua, sehingga
$\begin{align*} a^{3} &= 4b \\ a^1.a^{2} &= 4b \\ a.2b &= 4b \\ a &= \frac{4b}{2b} \\ a &= 2 \end{align*}$
sehinga nilai dari $b$ adalah
$\begin{align*} a^{2} &= 2b \\ 2^{2} &= 2b \\ b &= 2 \end{align*}$
maka, grafik fungsi diatas memiliki persamaan $f(x)=^{2}log2x$
Soal No 5
Temukanlah grafik fungsi berikut ini ...
Karena grafik tidak melalui titik $(1,0)$ dan memiliki asimptot, maka misalkan fungsi logaritmanya adalah $^alog(bx-c)$ kemudian ambil dua buah titik yang memenuhi kurva yaitu $(2,0)$ atau $(4,1)$ kemudian temukan nilai $a,b$ dan $c$, dengan cara sebagai berikut.
Kita perhatikan asimptot fungsi ada di garis $x=1$ maka ambil fungsi yang dilogaritmakan, maka diperoleh
$\begin{align*} bx+c &= 0 \\ b.(1)+c &= 0 \\ b &= -c \\ \end{align*}$
kemudian, untuk titik $(2,0)$ diperoleh sebagai berikut dan misalkan persamaan pertama
$\begin{align*} f(x) &= ^alog(bx+c) \\ y &= ^alog(bx+c) \\ 0 &= ^alog(b.2+c) \\ a^{0} &= 2b+c \\ 1 &= 2b+c \\ 1 &= 2(-c) +c \\ 1 &= -c \\ -1 &= c \\ \end{align*}$
untuk titik $(4,1)$ diperoleh dan misalkan persamaan kedua.
$\begin{align*} f(x) &= ^alog(bx+c) \\ y &= ^alog(bx+c) \\ 1 &= ^alog(b.4+c) \\ a^{1} &= 4b+c \\ a^{1} &= 4b+c \\ a &= 4(-c)+c \\ a &= 4(-(-1))+(-1) \\ a &= 3 \\ \end{align*}$
Dari langkah diatas, maka akan diperoleh nilai $a=3, b=1$ dan $c=-1$ maka akan dipeorleh fungsi $f(x)=^{3}log(x-1)$
Kita perhatikan asimptot fungsi ada di garis $x=1$ maka ambil fungsi yang dilogaritmakan, maka diperoleh
$\begin{align*} bx+c &= 0 \\ b.(1)+c &= 0 \\ b &= -c \\ \end{align*}$
kemudian, untuk titik $(2,0)$ diperoleh sebagai berikut dan misalkan persamaan pertama
$\begin{align*} f(x) &= ^alog(bx+c) \\ y &= ^alog(bx+c) \\ 0 &= ^alog(b.2+c) \\ a^{0} &= 2b+c \\ 1 &= 2b+c \\ 1 &= 2(-c) +c \\ 1 &= -c \\ -1 &= c \\ \end{align*}$
untuk titik $(4,1)$ diperoleh dan misalkan persamaan kedua.
$\begin{align*} f(x) &= ^alog(bx+c) \\ y &= ^alog(bx+c) \\ 1 &= ^alog(b.4+c) \\ a^{1} &= 4b+c \\ a^{1} &= 4b+c \\ a &= 4(-c)+c \\ a &= 4(-(-1))+(-1) \\ a &= 3 \\ \end{align*}$
Dari langkah diatas, maka akan diperoleh nilai $a=3, b=1$ dan $c=-1$ maka akan dipeorleh fungsi $f(x)=^{3}log(x-1)$
Soal No 6
Suatu Jenis bakteri membelaj diri setiap 2 jam. Jika sebuah koloni bakteri awalnya terdiri dari 50 bakteri, waktu dalam t $($ jam $)$ yang diperlukan agar banyak bakteri menjadi menjadi $N$ dapat ditentukan dengan rumus $t=2\frac{log \frac{N}{50}}{log 2}$. tentukan waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri menjadi 1 juta.
coba secara mandiri lebih dulu
Tidak ada komentar:
Posting Komentar