Pada pembelajaran kali ini siswa diharapkan mampu menghitung sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor. Dalam menghitung sudut antara vektor siswa harus mengingat nilai trigonometri, khususnya nilai cosinus. Secara sederhana dua buah vektor akan membentuk sudut jika kedua vektor berpotongan atau pangkal antar vektor saling berimpit. untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut ini.
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Diketahui titik $A(2, 0, −4), B(3, 1, −3)$ dan $C(3, 0, −5)$. cosinus Sudut antara vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{BC}$ adalah … .
Sebelum menemukan nilai cosinusnya temukan dulu vektor $\overrightarrow{AB}$ dengan $\overrightarrow{BC}$ dengan cara
$ \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (3-2,1-0,-3-(-4)) \\ &= (1,1,1) \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} \overrightarrow{BC} &= C-B \\ &= (3-3,0-1,-5-(-3)) \\ &= (0,-1,-2) \\ \end{align*}$
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|} \\ cos \alpha &= \frac{0+(-1)+(-2)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}.\sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2}} \\ cos \alpha &= \frac{-3}{\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ cos \alpha &= \frac{-3}{\sqrt{15}} \\ cos \alpha &= -3\frac{\sqrt{15} }{15} \\ cos \alpha &= -\frac{\sqrt{15} }{5} \\ \end{align*}$
Jadi nilai cosinusnya adalah $-\frac{\sqrt{15} }{5}$
$ \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &= (3-2,1-0,-3-(-4)) \\ &= (1,1,1) \\ \end{align*}$
$ \begin{align*} \overrightarrow{BC} &= C-B \\ &= (3-3,0-1,-5-(-3)) \\ &= (0,-1,-2) \\ \end{align*}$
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{BC}|} \\ cos \alpha &= \frac{0+(-1)+(-2)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}.\sqrt{0^2+(-1)^2+(-2)^2}} \\ cos \alpha &= \frac{-3}{\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ cos \alpha &= \frac{-3}{\sqrt{15}} \\ cos \alpha &= -3\frac{\sqrt{15} }{15} \\ cos \alpha &= -\frac{\sqrt{15} }{5} \\ \end{align*}$
Jadi nilai cosinusnya adalah $-\frac{\sqrt{15} }{5}$
Soal No 2
Diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=i-1j-\sqrt{2}k$ dengan $\overrightarrow{b}=-i-j-\sqrt{2}k$, maka besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah … .
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos \alpha &= \frac{-1+1+2}{\sqrt{(1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}.\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}} \\ cos \alpha &= \frac{2}{\sqrt{4}.\sqrt{4}} \\ cos \alpha &= \frac{2}{4} \\ cos \alpha &= \frac{1}{2} \\ \end{align*}$
Karena nilai dari $ cos \alpha = \frac{1}{2}$, maka nilai $\alpha$ yang memenuhi adalah $60^o$
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos \alpha &= \frac{-1+1+2}{\sqrt{(1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}.\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}} \\ cos \alpha &= \frac{2}{\sqrt{4}.\sqrt{4}} \\ cos \alpha &= \frac{2}{4} \\ cos \alpha &= \frac{1}{2} \\ \end{align*}$
Karena nilai dari $ cos \alpha = \frac{1}{2}$, maka nilai $\alpha$ yang memenuhi adalah $60^o$
Soal No 3
Diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=xi-j-2k$ dengan $\overrightarrow{b}=i+2j+k$, maka nilai $x$ yang memenuhi jika nilai dari $cos \alpha =\frac{1}{2}$ … .
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x+(-2)+(-2)}{\sqrt{(x^2+(-1)^2+(-2)^2}.\sqrt{1^2+2^2+1^2}} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x-4}{\sqrt{x^2+5}.\sqrt{6}} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x-4}{\sqrt{x^2+5}.\sqrt{6}} \\ \sqrt{x^2+5}.\sqrt{6} &= 2(x-4) \\ (x^2+5).6 &= (2x-8)^2 \\ 6x^2+30 &= 4x^2 - 32 x + 64 \\ 2x^2+32x-34 &= 0 \\ x^2+16x-17 &= 0 \\ (x-1)(x+17) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ dan $x=-17$
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x+(-2)+(-2)}{\sqrt{(x^2+(-1)^2+(-2)^2}.\sqrt{1^2+2^2+1^2}} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x-4}{\sqrt{x^2+5}.\sqrt{6}} \\ \frac{1}{2} &= \frac{x-4}{\sqrt{x^2+5}.\sqrt{6}} \\ \sqrt{x^2+5}.\sqrt{6} &= 2(x-4) \\ (x^2+5).6 &= (2x-8)^2 \\ 6x^2+30 &= 4x^2 - 32 x + 64 \\ 2x^2+32x-34 &= 0 \\ x^2+16x-17 &= 0 \\ (x-1)(x+17) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=1$ dan $x=-17$
Soal No 4
Diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=2i-3j-k$ dengan $\overrightarrow{b}=-i-3j+4k$, maka nilai cosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah … .
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos \alpha &= \frac{-2+9+(-4)}{\sqrt{(2^2+(-3)^2+(-1)^2}.\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+4^2}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{26}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{14.26}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{4.91}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{2 \sqrt{91}} \\ cos \alpha &= 3. \frac{\sqrt{91}}{2} \\ \end{align*}$
maka nilai dari cosinus sudunya adalah $3. \frac{\sqrt{91}}{2}$
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos \alpha &= \frac{-2+9+(-4)}{\sqrt{(2^2+(-3)^2+(-1)^2}.\sqrt{(-1)^2+(-3)^2+4^2}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{14}.\sqrt{26}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{14.26}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{\sqrt{4.91}} \\ cos \alpha &= \frac{3}{2 \sqrt{91}} \\ cos \alpha &= 3. \frac{\sqrt{91}}{2} \\ \end{align*}$
maka nilai dari cosinus sudunya adalah $3. \frac{\sqrt{91}}{2}$
Soal No 5
Diketahui panjang vektor $|\overrightarrow{a}|=2$ dan $|\overrightarrow{b}|=3$, maka temukan nilai dari $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
jika sudut yang dibentuk oleh kedua vektor sebesar $60^°$
Sebelum membahas soal tersebut ingatlah sifat vektor dimana $|\overrightarrow{a}|^2=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$ sehingga bentuk soal dapat diubah menjadi
$ \begin{align*} \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= |\overrightarrow{a}|^2 +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ \end{align*}$
untuk nilai $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ dapat ditemukan dengan cara
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos 60^o&= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{2.3} \\ \frac{1}{2} &= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{6} \\ 3 &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \end{align*}$
sehingga kembali ke bentuk yang diketahui yaitu.
$ \begin{align*} \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= |\overrightarrow{a}|^2 +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= 2^2 +3 \\ &= 7 \\ \end{align*}$
Sehingga nilai dari $|\overrightarrow{b}|=3$, maka temukan nilai dari $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) =7$
$ \begin{align*} \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= |\overrightarrow{a}|^2 +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ \end{align*}$
untuk nilai $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ dapat ditemukan dengan cara
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ cos 60^o&= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{2.3} \\ \frac{1}{2} &= \frac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{6} \\ 3 &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \end{align*}$
sehingga kembali ke bentuk yang diketahui yaitu.
$ \begin{align*} \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) &= \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= |\overrightarrow{a}|^2 +\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ &= 2^2 +3 \\ &= 7 \\ \end{align*}$
Sehingga nilai dari $|\overrightarrow{b}|=3$, maka temukan nilai dari $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) =7$
Soal No 6
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=(1,2,1)$ dan $\overrightarrow{b}=(1,x,1)$, maka temukan nilai dari x yang memenuhi, jika kedua nilai cosinus sudut kedua vektor adalah $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Sesuai dengan rumus diatas diperoleh
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &= \frac{1+2x+1}{\sqrt{(1^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+x^2+1^2}} \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &= \frac{2x+2}{\sqrt{6}.\sqrt{x^2+2}} \\ 2\sqrt{2}.\sqrt{6}.\sqrt{x^2+2} &= (2x+2).3 \\ 4.2.6.(x^2+2) &= ((2x+2).3) ^2 \\ 4.2.6.(x^2+2) &= 9(4x^2+8x+4) \\ 4.2.6.(x^2+2) &= 3.3.2(2x^2+4x+2) \\ 4.2.(x^2+2) &= 3.(2x^2+4x+2) \\ 8x^2 +16 &= 6x^2+12x+6) \\ 2x^2-12x +10 &= 0 \\ x^2-6x +5 &= 0 \\ x^2-6x +5 &= 0 \\ (x-5)(x-1) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai dari $x$ yang memenuhi adalah $x=5$ dan $x=1$
$ \begin{align*} cos \alpha &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|} \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &= \frac{1+2x+1}{\sqrt{(1^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+x^2+1^2}} \\ \frac{2\sqrt{2}}{3} &= \frac{2x+2}{\sqrt{6}.\sqrt{x^2+2}} \\ 2\sqrt{2}.\sqrt{6}.\sqrt{x^2+2} &= (2x+2).3 \\ 4.2.6.(x^2+2) &= ((2x+2).3) ^2 \\ 4.2.6.(x^2+2) &= 9(4x^2+8x+4) \\ 4.2.6.(x^2+2) &= 3.3.2(2x^2+4x+2) \\ 4.2.(x^2+2) &= 3.(2x^2+4x+2) \\ 8x^2 +16 &= 6x^2+12x+6) \\ 2x^2-12x +10 &= 0 \\ x^2-6x +5 &= 0 \\ x^2-6x +5 &= 0 \\ (x-5)(x-1) &= 0 \\ \end{align*}$
maka nilai dari $x$ yang memenuhi adalah $x=5$ dan $x=1$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar