Pada pembelajaran kali ini siswa dihaapkan mampu menentukan posisi atau kedudukan dua buah vektor atau lebih. Pada materi ini akan sanat berkaitan dengan sudut antar vektor, dimana jika dua buah vektor membentuk sudut 90^o maka kedua vektor dikatakan tegak lurus, dan jika dua buah vektor memiliki arak yang sama atau tidak berpotongan maka kedua vektor tersebut dikatakan sejajar. Untuk lebih jelasnya pahami penjelasan kedudukan vektor berikut ini
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Diketahui vektor \overrightarrow{a}=2i-3j+mk Tegak lurus dengan vektor \overrightarrow{b}=i+j-k maka nilai m yang memenuhi adalah … .
Ubah dulu penyajian vektor menjadi bentuk koordinat agar mudah dimana \overrightarrow{a}=(2,-3,m) dan \overrightarrow{b}=(1,1,-1), kemudian ingatlah kembali syarat dua buah vektor saling tegak lurus yaitu.
\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} &= 0 \\ (2,-3,m).(1,1,-1) &= 0 \\ 2.1+(-3).1+m.(-1)&= 0 \\ -1 - m &= 0 \\ m &= -1 \\ \end{align*}
maka nilai m yang memenuhi adalah -1
\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} &= 0 \\ (2,-3,m).(1,1,-1) &= 0 \\ 2.1+(-3).1+m.(-1)&= 0 \\ -1 - m &= 0 \\ m &= -1 \\ \end{align*}
maka nilai m yang memenuhi adalah -1
Soal No 2
Diketahui titik A(2, x, −4), B(3, 1, −3) dan C(3, 0, −5). Agar vektor \overrightarrow{AB} Tegak lurus dengan vektor \overrightarrow{BC} maka nilai x yang memenuhi adalah … .
Sebelum memberikan syarat vektor tegak lurus, temukan dulu nilai vektor \overrightarrow{AB} dan \overrightarrow{BC} dengan cara\
\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &=(3, 1, −3)-(2, x, −4) \\ &=(3-2, 1-x, −3-(-4)) \\ &=(1,1-x,1) \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{BC} &= C-B \\ &=(3, 0, −5)-(3, 1, −3) \\ &=(3-3, 0-1, −5-(-3)) \\ &=(0,-1,-2) \\ \end{align*}
Sehingga karena kedua vektor tegak lurus maka akan berlaku.
\begin{align*} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &= 0 \\ (1,1-x,1).(0,-1,-2) &= 0 \\ 1.0+(1-x).(-1)+1.(-2)&= 0 \\ 0-1+x-2 &= 0 \\ x &= 3 \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A \\ &=(3, 1, −3)-(2, x, −4) \\ &=(3-2, 1-x, −3-(-4)) \\ &=(1,1-x,1) \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{BC} &= C-B \\ &=(3, 0, −5)-(3, 1, −3) \\ &=(3-3, 0-1, −5-(-3)) \\ &=(0,-1,-2) \\ \end{align*}
Sehingga karena kedua vektor tegak lurus maka akan berlaku.
\begin{align*} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} &= 0 \\ (1,1-x,1).(0,-1,-2) &= 0 \\ 1.0+(1-x).(-1)+1.(-2)&= 0 \\ 0-1+x-2 &= 0 \\ x &= 3 \\ \end{align*}
Soal No 3
Diketahui vektor \overrightarrow{a}=-3i-j+pk, \overrightarrow{b}=-i-4j+5k dan vektor \overrightarrow{c}=2i-j-k, dimana vektor \overrightarrow{a} tegak lurus dengan vektor \overrightarrow{c}, maka nilai \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} adalah … .
Ubah dulu penyajian vektor menjadi bentuk koordinat agar mudah dimana \overrightarrow{a}=(-3,-1,p) , \overrightarrow{b}=(-1,-4,5) dan \overrightarrow{c}=(2,-1,-1), kemudian ingatlah kembali syarat dua buah vektor saling tegak lurus yaitu.
\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} &= 0 \\ (-3,-1,p).(2,-1,-1) &= 0 \\ (-3.2+(-1).(-1)+p.(-1) &= 0 \\ -6+1-p &= 0 \\ p &= 5 \\ \end{align*}
Jika nilai p sudah ada maka nilai vektor \overrightarrow{a} akan menjadi \overrightarrow{a}=(-3,-1,5) sehingga apa yang ditanyakan dapat ditemukan dengan cara operasi vektor seperti berikut ini.
\begin{align*} \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} &=(-3,-1,5)+3.(-1,-4,5)+ (2,-1,-1) \\ &= (-3+3.(-1)+2, -1+3.(-4)+(-1),5+3.5+(-1)) \\ &= (-4,-14,19) \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} &= 0 \\ (-3,-1,p).(2,-1,-1) &= 0 \\ (-3.2+(-1).(-1)+p.(-1) &= 0 \\ -6+1-p &= 0 \\ p &= 5 \\ \end{align*}
Jika nilai p sudah ada maka nilai vektor \overrightarrow{a} akan menjadi \overrightarrow{a}=(-3,-1,5) sehingga apa yang ditanyakan dapat ditemukan dengan cara operasi vektor seperti berikut ini.
\begin{align*} \overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} &=(-3,-1,5)+3.(-1,-4,5)+ (2,-1,-1) \\ &= (-3+3.(-1)+2, -1+3.(-4)+(-1),5+3.5+(-1)) \\ &= (-4,-14,19) \\ \end{align*}
Soal No 4
Diketahui vektor \overrightarrow{a}=2i+4j+pk dan vektor \overrightarrow{b}=3i+6j+5k, Apabila kedua vektor tersebut sejajar, maka nilai p yang memenuhi adalah … .
Ubah dulu penyajian vektor menjadi bentuk koordinat agar mudah dimana \overrightarrow{a}=(2,4,p) dan \overrightarrow{b}=(3,6,5) kemudian ingatlah kembali syarat dua buah vektor saling sejajar yaitu.
\begin{align*} \overrightarrow{a} &=k.\overrightarrow{b} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ p \\ \end{pmatrix} &= k. \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}
jika sudah ditemukan bentuk diatas, maka terapkan rumus kesamaan matriks untuk menemukan nilai k yaitu.
\begin{align*} 2 &= 3.k \\ k &= \frac{2}{3} \\ \end{align*}
maka jika nilai k sudah ada, maka dengan cara yang sama nilai p dapat dicari dengan cara
\begin{align*} p &= 5.k \\ p &= 5.\frac{2}{3} \\ p &= \frac{10}{3} \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{a} &=k.\overrightarrow{b} \\ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ p \\ \end{pmatrix} &= k. \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}
jika sudah ditemukan bentuk diatas, maka terapkan rumus kesamaan matriks untuk menemukan nilai k yaitu.
\begin{align*} 2 &= 3.k \\ k &= \frac{2}{3} \\ \end{align*}
maka jika nilai k sudah ada, maka dengan cara yang sama nilai p dapat dicari dengan cara
\begin{align*} p &= 5.k \\ p &= 5.\frac{2}{3} \\ p &= \frac{10}{3} \\ \end{align*}
Soal No 5
Diketahui vektor \overrightarrow{a}=(2x-2)i+2yj-4xk dan vektor \overrightarrow{b}=8i+12j-24k, Apabila kedua vektor tersebut sejajar, maka panjang dari vektor \overrightarrow{a} … .
Ubah dulu penyajian vektor menjadi bentuk koordinat agar mudah dimana \overrightarrow{a}=(2x-2,2y,-4x) dan \overrightarrow{b}=(8,12,-24) kemudian ingatlah kembali syarat dua buah vektor saling sejajar yaitu.
\begin{align*} \overrightarrow{a} &=k.\overrightarrow{b} \\ \begin{pmatrix} 2x-2 \\ 2y \\ -4x \\ \end{pmatrix} &= k. \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ -24 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}
jika sudah ditemukan bentuk diatas, maka terapkan rumus kesamaan matriks untuk menemukan nilai variabel yang ditanya yaitu.
\begin{align*} 2x-2 &= k.8 \\ 2x &= 8k+2 \\ x &= \frac{8k+2}{2} \\ x &= 4k+1 ....... (\text{pers 1}) \\ \end{align*}
kemudian dengan kesamaan matriks pada baris terakhir dan dengan mengganti nilai x akan diperoleh
\begin{align*} -4x &= k.(-24) \\ -4x &= -24k \\ x &= 6k \\ 4k+1 &= 6k \\ k &= \frac{1}{2} \\ \end{align*}
jika nilai k sudah ada maka nilai x ditemukan yaitu
\begin{align*} x &= 4k+1\\ x &= 4.\frac{1}{2}+1\\ x &= 3\\ \end{align*}
kemudian nilai y juga ditemukan dengan cara
\begin{align*} 2y &= k.12 \\ 2y &= \frac{1}{2}.12 \\ h &= 3 \\ \end{align*}
sehingga nilai dari vektor \overrightarrow{a}=(2x-2,2y,-4x)=(4,6,-12) sehingga panjang vektornya diperoleh dengan cara
\begin{align*} |\overrightarrow{a}|&= \sqrt{4^2+6^2+(-12)^2} \\ &=\sqrt{16+36+144} \\ &= \sqrt{196} \\\ &= 14 \\ \end{align*}
\begin{align*} \overrightarrow{a} &=k.\overrightarrow{b} \\ \begin{pmatrix} 2x-2 \\ 2y \\ -4x \\ \end{pmatrix} &= k. \begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ -24 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}
jika sudah ditemukan bentuk diatas, maka terapkan rumus kesamaan matriks untuk menemukan nilai variabel yang ditanya yaitu.
\begin{align*} 2x-2 &= k.8 \\ 2x &= 8k+2 \\ x &= \frac{8k+2}{2} \\ x &= 4k+1 ....... (\text{pers 1}) \\ \end{align*}
kemudian dengan kesamaan matriks pada baris terakhir dan dengan mengganti nilai x akan diperoleh
\begin{align*} -4x &= k.(-24) \\ -4x &= -24k \\ x &= 6k \\ 4k+1 &= 6k \\ k &= \frac{1}{2} \\ \end{align*}
jika nilai k sudah ada maka nilai x ditemukan yaitu
\begin{align*} x &= 4k+1\\ x &= 4.\frac{1}{2}+1\\ x &= 3\\ \end{align*}
kemudian nilai y juga ditemukan dengan cara
\begin{align*} 2y &= k.12 \\ 2y &= \frac{1}{2}.12 \\ h &= 3 \\ \end{align*}
sehingga nilai dari vektor \overrightarrow{a}=(2x-2,2y,-4x)=(4,6,-12) sehingga panjang vektornya diperoleh dengan cara
\begin{align*} |\overrightarrow{a}|&= \sqrt{4^2+6^2+(-12)^2} \\ &=\sqrt{16+36+144} \\ &= \sqrt{196} \\\ &= 14 \\ \end{align*}
Untuk lebih memahami penjelasan materi diatas Cobalah beberapa soal berikut.
Latihan Soal
| 1 | jika diketahui vektor \overrightarrow{a}=2xi+2j-4xk dan vektor \overrightarrow{b}=i+8j-k saling tegak lurus maka nilai dari x^2+2 adalah |
| 2 | jika diketahui vektor \overrightarrow{a}=xi+2j-4k dan vektor \overrightarrow{b}=2i+4j-8 saling sejajar maka nilai dari x-2 adalah |
Tidak ada komentar:
Posting Komentar