Pada pembelajaran kali ini siswa diharapkan memahami apa itu vektor proyeksi dan berapa panjang vektor proyeksinya. Secara sederhana proyeksi suatu objek ke objek lainnya dapat diperoleh dengan menyinari objek dengan suatu cahaya dan bayangan dari objek tersebut disebut dengan proyeksi. Begitupula pada materi vektor jika suatu vektor $\overrightarrow{a}$ diproyeksikan ke vektor $\overrightarrow{b}$ maka banyangan royeksi vektornya akan berimpit dengan vektor $\overrightarrow{b}$, nah untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasan berikut ini.
Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=2i+3j-k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i+5k$ yang ada di R3, maka temukanlah :
a. proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$
b. panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$
c. proyeksi vektor $\overrightarrow{b}$ pada $\overrightarrow{a}$
a. proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$
b. panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada $\overrightarrow{b}$
c. proyeksi vektor $\overrightarrow{b}$ pada $\overrightarrow{a}$
dengan mengikuti rumus diatas maka diperoleh
Jawaban a
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b} \\ &= \frac{1.2+0.3+(-1).5}{|\sqrt{1^2+0^2+5^2}|^2}.(1,0,5) \\ &= \frac{-3}{26}.(1,0,5) \\ &= \left ( \frac{-3}{26},0,\frac{-15}{26} \right ) \\ &= -\frac{3}{26}i-\frac{15}{26}k \\ \end{align*}$
Jawaban b
$ \begin{align*} |\overrightarrow{c}| &= \left| \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right| \\ &= \left| \frac{1.2+0.3+(-1).5}{|\sqrt{1^2+0^2+5^2}|} \right| \\ &= \left| \frac{-3}{26} \right| \\ &= \frac{3}{26} \\ \end{align*}$
Jawaban c
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}.\overrightarrow{a} \\ &= \frac{2.1+3.0+5.(-1)}{|\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}|^2}.(2,3,-1) \\ &= \frac{-3}{14}.(2,3,-1) \\ &= \left ( \frac{-6}{14},\frac{-9}{14},\frac{3}{14} \right ) \\ &= -\frac{6}{14}i -\frac{9}{14} + \frac{3}{14}\\ \end{align*}$
Jawaban a
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b} \\ &= \frac{1.2+0.3+(-1).5}{|\sqrt{1^2+0^2+5^2}|^2}.(1,0,5) \\ &= \frac{-3}{26}.(1,0,5) \\ &= \left ( \frac{-3}{26},0,\frac{-15}{26} \right ) \\ &= -\frac{3}{26}i-\frac{15}{26}k \\ \end{align*}$
Jawaban b
$ \begin{align*} |\overrightarrow{c}| &= \left| \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right| \\ &= \left| \frac{1.2+0.3+(-1).5}{|\sqrt{1^2+0^2+5^2}|} \right| \\ &= \left| \frac{-3}{26} \right| \\ &= \frac{3}{26} \\ \end{align*}$
Jawaban c
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|^2}.\overrightarrow{a} \\ &= \frac{2.1+3.0+5.(-1)}{|\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}|^2}.(2,3,-1) \\ &= \frac{-3}{14}.(2,3,-1) \\ &= \left ( \frac{-6}{14},\frac{-9}{14},\frac{3}{14} \right ) \\ &= -\frac{6}{14}i -\frac{9}{14} + \frac{3}{14}\\ \end{align*}$
Soal No 2
Jika diketahui tiga buah titik $P(1,2,3), Q(-2,4,5)$ dan $R(3,-1,2)$ maka coba temukan :
a. proyeksi vektor $\overrightarrow{PQ}$ pada $\overrightarrow{PR}$
b. panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{QP}$ pada $\overrightarrow{QR}$
a. proyeksi vektor $\overrightarrow{PQ}$ pada $\overrightarrow{PR}$
b. panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{QP}$ pada $\overrightarrow{QR}$
Sebelum menemukan proyeksi yang diminta,
Jawaban a
maka temukan dulu vektor $\overrightarrow{PQ}$ pada $\overrightarrow{PR}$ dengan cara
$\overrightarrow{PQ}=Q-P$
$\overrightarrow{PQ}=(-2-1,4-2,5-3)$
$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,2)$
$\overrightarrow{PR}=R-P$
$\overrightarrow{PR}=(3-1,-1-2,2-3)$
$\overrightarrow{PR}=(2,-3,-1)$
maka sesuai dengan rumus diperoleh
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|^2}.\overrightarrow{PR} \\ &= \frac{-3.2+2.(-3)+(-1).2)}{|\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}|^2}.(2,-3,1) \\ &= \frac{-14}{14}.(2,-3,1) \\ &= -1.(2,-3,1) \\ &= (-2,3,-1) \\ &= -2i+3j+k \\ \end{align*}$
Jawaban b
maka temukan dulu vektor $\overrightarrow{QP}$ pada $\overrightarrow{QR}$ dengan cara
$\overrightarrow{QP}=P-Q$
$\overrightarrow{QP}=(1-(-2),2-4,3-5)$
$\overrightarrow{QP}=(3,-2,-2)$
$\overrightarrow{QR}=R-Q$
$\overrightarrow{QR}=(3-(-2),-1-4,2-5)$
$\overrightarrow{QR}=(5,-5,-3)$
maka sesuai dengan rumus diperoleh
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QR}|}\\ &= \frac{3.5+-2.(-5)+(-2).(-3))}{|\sqrt{5^2+(-5)^2+(-3)^2}|^2} \\ &= \frac{31}{\sqrt{59}}\\ \end{align*}$
Jawaban a
maka temukan dulu vektor $\overrightarrow{PQ}$ pada $\overrightarrow{PR}$ dengan cara
$\overrightarrow{PQ}=Q-P$
$\overrightarrow{PQ}=(-2-1,4-2,5-3)$
$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,2)$
$\overrightarrow{PR}=R-P$
$\overrightarrow{PR}=(3-1,-1-2,2-3)$
$\overrightarrow{PR}=(2,-3,-1)$
maka sesuai dengan rumus diperoleh
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PR}|^2}.\overrightarrow{PR} \\ &= \frac{-3.2+2.(-3)+(-1).2)}{|\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}|^2}.(2,-3,1) \\ &= \frac{-14}{14}.(2,-3,1) \\ &= -1.(2,-3,1) \\ &= (-2,3,-1) \\ &= -2i+3j+k \\ \end{align*}$
Jawaban b
maka temukan dulu vektor $\overrightarrow{QP}$ pada $\overrightarrow{QR}$ dengan cara
$\overrightarrow{QP}=P-Q$
$\overrightarrow{QP}=(1-(-2),2-4,3-5)$
$\overrightarrow{QP}=(3,-2,-2)$
$\overrightarrow{QR}=R-Q$
$\overrightarrow{QR}=(3-(-2),-1-4,2-5)$
$\overrightarrow{QR}=(5,-5,-3)$
maka sesuai dengan rumus diperoleh
$ \begin{align*} \overrightarrow{c} &= \frac{\overrightarrow{QP}.\overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QR}|}\\ &= \frac{3.5+-2.(-5)+(-2).(-3))}{|\sqrt{5^2+(-5)^2+(-3)^2}|^2} \\ &= \frac{31}{\sqrt{59}}\\ \end{align*}$
Soal No 3
Jika diketahui tiga buah titik $A(1,2,3), B(3,4,4)$ dan $C(a,-1,4)$, jika panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{AC}$ pada $\overrightarrow{AB}$ adalah 2, maka nilai a yang mungkin adalah ... .
maka temukan dulu vektor $\overrightarrow{AC}$ pada $\overrightarrow{AB}$ dengan cara
$\overrightarrow{AB}=B - A $
$\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2,4-3)$
$\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$
$\overrightarrow{AC}=C-A$
$\overrightarrow{AC}=(a-1, -1-2, 4-3)$
$\overrightarrow{AC}=(a-1, -3, 1)$
maka sesuai dengan rumus panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ pada $\overrightarrow{AB}$ diperoleh
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right | &= 2\\ \frac{2(a-1) + 2.(-3) + 1.1}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} &= 2 \\ \frac{2a-2-6+1}{\sqrt{9}} &= 2 \\ \frac{2a-7}{3} &= 2 \\ 2a-7 &= 6 \\ 2a &= 13 \\ a &= \frac{13}{2} \end{align*}$
$\overrightarrow{AB}=B - A $
$\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2,4-3)$
$\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$
$\overrightarrow{AC}=C-A$
$\overrightarrow{AC}=(a-1, -1-2, 4-3)$
$\overrightarrow{AC}=(a-1, -3, 1)$
maka sesuai dengan rumus panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ pada $\overrightarrow{AB}$ diperoleh
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right | &= 2\\ \frac{2(a-1) + 2.(-3) + 1.1}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}} &= 2 \\ \frac{2a-2-6+1}{\sqrt{9}} &= 2 \\ \frac{2a-7}{3} &= 2 \\ 2a-7 &= 6 \\ 2a &= 13 \\ a &= \frac{13}{2} \end{align*}$
Soal No 4
Jika diketahui dua buah vektor yaitu $\overrightarrow{a}=2i+3j+4k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=xi+3k$. Jika panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ adalah $\frac{4}{5}$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah ... .
Sesuai dengan devinisi maka diperoleh,
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right | &=\frac{4}{5} \\ \frac{2.x+3.0+4.3}{\sqrt{x^2+0^2+3^2}} &= \frac{4}{5} \\ \frac{2x+12}{\sqrt{x^2+9}} &= \frac{4}{5} \\ 5(2x+12) &= 4(x^2+9) \\ 10x+60 &= 4x^2+36 \\ 4x^2-10x-24 &= 0 \\ 2x^2-5x-12&= 0 \\ (x-4)(2x+3)&= 0 \\ \end{align*}$
maka dari bentuk diatas, diperoleh kemungkinan nilai $x$ ada dua yaitu $4$ dan $-\frac{3}{2}$
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right | &=\frac{4}{5} \\ \frac{2.x+3.0+4.3}{\sqrt{x^2+0^2+3^2}} &= \frac{4}{5} \\ \frac{2x+12}{\sqrt{x^2+9}} &= \frac{4}{5} \\ 5(2x+12) &= 4(x^2+9) \\ 10x+60 &= 4x^2+36 \\ 4x^2-10x-24 &= 0 \\ 2x^2-5x-12&= 0 \\ (x-4)(2x+3)&= 0 \\ \end{align*}$
maka dari bentuk diatas, diperoleh kemungkinan nilai $x$ ada dua yaitu $4$ dan $-\frac{3}{2}$
Soal No 5
Jika diketahui dua buah vektor yaitu $\overrightarrow{u}=3i-1j+k$ dan vektor $\overrightarrow{v}=2i+pj+2k$. Jika panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{u}$ pada vektor $\overrightarrow{v}$ sama dengan panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{v}$ pada vektor $\overrightarrow{u}$ maka nilai $p$ yang memenuhi adalah ... .
Sesuai dengan devinisi maka diperoleh
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} \right | &=\left | \frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|} \right | \\ \frac{3.2+(-1).p+2.1}{\sqrt{2^2+p^2+2^2}} &= \frac{3.2+(-1).p+2.1}{\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}} \\ \frac{8-p}{\sqrt{p^2+8}} &= \frac{8-p}{\sqrt{11}} \\ \sqrt {11}(8-p) &= \sqrt{(p^2+8)}(8-p) \\ 11 &= p^2+8 \\ p^2 &= 11-8 \\ p^2 &= 3 \\ ^2 &= \pm \sqrt{3} \\ \end{align*}$
Sehingga nilai $P$ yang memenuhi adalah $\pm \sqrt{3}$
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} \right | &=\left | \frac{\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}}{|\overrightarrow{u}|} \right | \\ \frac{3.2+(-1).p+2.1}{\sqrt{2^2+p^2+2^2}} &= \frac{3.2+(-1).p+2.1}{\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}} \\ \frac{8-p}{\sqrt{p^2+8}} &= \frac{8-p}{\sqrt{11}} \\ \sqrt {11}(8-p) &= \sqrt{(p^2+8)}(8-p) \\ 11 &= p^2+8 \\ p^2 &= 11-8 \\ p^2 &= 3 \\ ^2 &= \pm \sqrt{3} \\ \end{align*}$
Sehingga nilai $P$ yang memenuhi adalah $\pm \sqrt{3}$
Soal No 6
Diketahui dua buah vektor yaitu $\overrightarrow{a}=2i+xj-3k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=4i+2j-4k$. Jika proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ adalah $\overrightarrow{c}=\frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah ... .
Sesuai dengan devinisi maka diperoleh
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b} \right | &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2.4+2.x+(-3)(-4)}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}^2}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2x+12}{\sqrt{36}^2}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{36}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{9.4}.(2(2i+1j-2k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{(x+6)}{9}.((2i+1j-2k)&= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{9}i+\frac{(x+6)}{9}j-\frac{2(x+6)}{9}k)&= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \end{align*}$
Sehingga untuk menemukan nilai $x$ ambilah salah satu nilai $i,j,k$ yang paling mudah yaitu.
$ \begin{align*} \frac{2(x+6)}{9} &= \frac{8}{9} \\ 2(x+6) &= 8 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \end{align*}$
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b} \right | &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2.4+2.x+(-3)(-4)}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}^2}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2x+12}{\sqrt{36}^2}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{36}.(4i+2j-4k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{9.4}.(2(2i+1j-2k) &= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{(x+6)}{9}.((2i+1j-2k)&= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \frac{2(x+6)}{9}i+\frac{(x+6)}{9}j-\frac{2(x+6)}{9}k)&= \frac{8}{9}i+\frac{4}{9}j-\frac{8}{9}k \\ \end{align*}$
Sehingga untuk menemukan nilai $x$ ambilah salah satu nilai $i,j,k$ yang paling mudah yaitu.
$ \begin{align*} \frac{2(x+6)}{9} &= \frac{8}{9} \\ 2(x+6) &= 8 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \end{align*}$
Soal No 7
Diketahui panjang proyeksi vektor $\overrightarrow{m}=i-2j$ pada vektor $\overrightarrow{n}=xi+j$ adalah 1. maka nilai dari $4x$ adalah ... .
Sesuai dengan devinisi maka diperoleh
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} \right | &= 1\\ \frac{1.x+(-2)(1)}{\sqrt{x^2+1^2}} &= 1 \\ \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}} &= 1 \\ x-2&= 1.\sqrt{x^2+1} \\ (x-2)^2&= x^2+1\\ x^2-4x+4&= x^2+1 \\ 4x &= 3 \end{align*}$
Sehingga nilai $ 4x= 3 $
$ \begin{align*} \left | \frac{\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|} \right | &= 1\\ \frac{1.x+(-2)(1)}{\sqrt{x^2+1^2}} &= 1 \\ \frac{x-2}{\sqrt{x^2+1}} &= 1 \\ x-2&= 1.\sqrt{x^2+1} \\ (x-2)^2&= x^2+1\\ x^2-4x+4&= x^2+1 \\ 4x &= 3 \end{align*}$
Sehingga nilai $ 4x= 3 $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar