Operasi Vektor | Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian

Selayaknya materi matematika lainnya yang selalu memiliki operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian di dalamnya pada materi vektorpun sama yaitu dua buah vektor akan dapat ditemukan hasil penjumlahan, pengurangan serta perkalianya. Namun uniknya jika di materi lainya kita hanya fokus menemukan hasil akhir dari operasi tanpa memikirkan bentuk ilustrasinya, dalam vektor hasil penjumlahan dan pengurangan dua buah vektor atau lebih bisa disajikan ke dalam bentuk gambar. Nah untuk lebih jelasnya silahkan cermati dan pahami penjelasan operasi vektor berikut ini.

Penjumlahan Vektor

Jika diketahui vektor di R2 ataupun di R3 dimana jika dimisalkan $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka nilai dari

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$

dan apabila disajikan dalam bentuk gambar maka nilai $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ diperoleh dengan cara menaruh pangkah vektor $\overrightarrow{b}$ pada ujung vektor $\overrightarrow{a}$, yang kemudian hasil penjumlahanya adalah vektor yang ditarik dari pangkat vektor $\overrightarrow{a}$ hingga ujung vektor $\overrightarrow{b}$. perhatikan ilustrasi berikut.

Pengurangan Vektor

Jika diketahui vektor di R2 ataupun di R3 dimana jika dimisalkan $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka nilai dari

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-(b_3)$

dan apabila disajikan dalam bentuk gambar maka nilai $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ diperoleh dengan cara memandang bahwa $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$, dimana vektor $-\overrightarrow{b}$ diperoleh dengan cara membalik arah vektornya. Kemudian ikuti langkah penjumlahan vektor sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut.

Perkalian Vektor

Jika diketahui vektor di R2 ataupun di R3 dimana jika dimisalkan $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$, maka nilai dari

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3)$

$k.\overrightarrow{a} = (k.a_1,k.a_2,k.a_3)$ dimana $k$ adalah sembarang bilangan

jika susah dalam memahami penjelasan diatas, silahkan simak penjelasan berikut

Untuk lebih memperdalam pemahamam mengenai materi diatas, berikut disajikan beberapa contoh dan latihan soal yang bisa dicoba. Silahkan coba sediri terlebih dulu setiap permasalahan yang diberikan sebelum melihat dan memahami pembahasanya. Sehingga jika sudah memahaminya bisa mengerjakan latihan soal secara mandiri.

Contoh Soal

Soal No 1

Jika diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=2i+3j-k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i+5k$ yang ada di R3, maka temukanlah nilai dari
a. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$
b. $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
c. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

Sesuai dengan devinisi dari vektor nila dari vektor vektor $\overrightarrow{a}=2i+3j-k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i+5k$ dapat dibuat menjadi $\overrightarrow{a}=(2,3,-1)$ dan $\overrightarrow{b}=(1,0,5)$, maka
untuk jawaban a adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= (2+1,3+0,5+(-1)) \\ &= (3,3,4) \\ \end{align*}$

untuk jawaban b adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &= (2-1,3-0,5-(-1)) \\ &= (1,3,6) \\ \end{align*}$

untuk jawaban c adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} &= (2.1+3.0+5.(-1)) \\ &= (1+0+(-5)) \\ &= -4 \\ \end{align*}$

Soal No 2

Jika diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=i+pj-qk$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i-j+3k$ yang ada di R3, maka temukanlah nilai dari $p+q$ jika nilai dari $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,3,4)$

Sesuai dengan devinisi dari vektor nila dari vektor vektor $\overrightarrow{a}=i+pj-qk$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i-j+3k$ dapat dibuat menjadi $\overrightarrow{a}=(1,p,-q)$ dan $\overrightarrow{b}=(1,-1,3)$, maka sesuai informasi di soal berlaku
$\begin{align*} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= (2,3,4) \\ (1,p,-q)+(1,-1,3) &= (2,3,4) \\ (1+1,p+(-1),-q+3) &= (2,3,4) \\ (2,p+(-1),-q+3) &= (2,3,4) \end{align*}$

sehingga dengan kesamaan vektor akan diperoleh.
untuk nilai $p$
$\begin{align*} p+(-1) &= 3\\ p-1 &= 3\\ p &= 3+1\\ p &= 4 \end{align*}$

untuk nilai $q$
$\begin{align*} -q+3 &= 4\\ -q &= 4-3\\ -q &= 1\\ q &= -1 \end{align*}$
maka nilai dari $p+q=4+(-1)=3$

Soal No 3

Jika diketahui dua buah vektor $\overrightarrow{a}=3i-2j+4k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=1i-5j-2k$ yang ada di R3, maka temukanlah nilai dari
a. $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$
b. $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$
c. $\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}$

Sesuai dengan devinisi dari vektor nila dari vektor vektor $\overrightarrow{a}=3i-2j+4k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=i-5j-2k$ dapat dibuat menjadi $\overrightarrow{a}=(3,-2,4)$ dan $\overrightarrow{b}=(1,-5,-2)$, maka
untuk jawaban a adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &= (3+1,-2+(-5),4+(-2)) \\ &= (4,-7,2) \\ \end{align*}$

untuk jawaban b adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &= (3-1,-2-(-5),4-(-2)) \\ &= (2,3,6) \\ \end{align*}$

untuk jawaban c adalah.
$\begin{align*} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} &= (3.1+(-2).(-5)+4.(-2)) \\ &= (1+10+(-8)) \\ &= 3 \\ \end{align*}$

Soal No 4

Jika dketahui titik $P,Q$ dan $R$ masing-masing berada di titik $(2,2,5),(2,4,-4)$ dan $(-1,2,4)$, maka coba temukan nilai dari
a. $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PR}$
b. $\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{QR}$
c. $\overrightarrow{RQ} . \overrightarrow{RP}$

Untuk menemukan hasil yang ditanyakan dapat dikerjakan secara langsung seperti berikut.
untuk jawaban a adalah
$\begin{align*} \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR} &= (Q-P)+(R-P)\\ &= (2-2, 4-2, -4-5)+(-1-2, 2-2, 4 - 5) \\ &= (0,2,-9)+(-3,0,-1)\\ &= (-3,2,-10)\\ \end{align*}$

untuk jawaban b adalah $\begin{align*} \overrightarrow{PR}-\overrightarrow{QR} &= (R-P)+(R-Q)\\ &= (-1-2, 2-2, 4-5)-(-1-2, 2-4, 4 -(-4)) \\ &= (-3,0,-1)-(-3,-2,8)\\ &= (0,2,-9)\\ \end{align*}$

untuk jawaban c adalah $\begin{align*} \overrightarrow{RQ}.\overrightarrow{RP} &= (Q-R)+(P-R)\\ &= (2-(-1),4-2,-4-4).(2-(-1),2-2,5-1)\\ &=(3,2,-8).(3,0,4) \\ &=9 + 0 - 32 \\ &= -23 \end{align*}$

Soal No 5

Pada sebuah segiempat $ABCD$ jika sisi-sisinya dimisalkan sebuah vektor maka temukan nilai penjumlahan dan pengurangan dari vektor-vektor berikut .
a. $\overrightarrow{AB}$
b. $\overrightarrow{AC}$
c. $\overrightarrow{BD}$
d. $\overrightarrow{DB}$
e. $\overrightarrow{DC}$

sesuai dengan konsep penjumlahan dan pengurangan vektor maka diperoleh
jawaban a
$\begin{align*} \overrightarrow{AB} &=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \\ &= \overrightarrow{AC}+(-\overrightarrow{BC})\\ &=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} \\ \end{align*}$

jawaban b
$\begin{align*} \overrightarrow{AC} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{CB})\\ &=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB} \\ \end{align*}$

jawaban c
$\begin{align*} \overrightarrow{BD} &=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} \\ &= \overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{DC})\\ &=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC} \\ \end{align*}$

jawaban d
$\begin{align*} \overrightarrow{DB} &=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB} \\ &= \overrightarrow{DC}+(-\overrightarrow{BC})\\ &=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC} \\ \end{align*}$

jawaban e
$\begin{align*} \overrightarrow{DC} &=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{DB}+(-\overrightarrow{CB})\\ &=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{CB} \\ \end{align*}$

Soal No 6

Perhatikan gambar berikut !

Coalah menemukan hasil operasi berikut yang mungkin dari vektor-vektor yang kamu lihat pada gambar diatas.
a. $\overrightarrow{AB}$
b. $\overrightarrow{OE}$
c. $\overrightarrow{AC}$
d. $\overrightarrow{EF}$

Jawaban a
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$

Jawaban b
$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FE}$

Jawaban c
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}$

Jawaban d
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OF}$

Soal No 7

diketahui vektor $\overrightarrow{a}=i+3j-5k$,$\overrightarrow{b}=4i-9j$ dan vektor $\overrightarrow{c}=3i-12j-pk$, jika berlaku $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, maka nilai dari $p^2$ adalah ... .

untuk menyelesaikannya akan dimulai dari apa yang diketahui di soal yaitu
$\begin{align*} \overrightarrow{c} &=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \\ (3,-12,-p) &= (4-1, -9-3, 0 - (-5)) \\ (3,-12,-p) &= (3, -12, 5) \\ \end{align*}$
maka dari kesamaan vektor diatas diperleh nilai dari $p^2=(-5)^2=25$

Soal No 8

diketahui vektor $\overrightarrow{p}=ai+3j-k$,$\overrightarrow{q}=ai-aj$ dan vektor $\overrightarrow{r}=4i+j-k$, jika berlaku $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}$, maka nilai dari $a$ adalah ... .

untuk menyelesaikannya akan dimulai dari apa yang diketahui di soal yaitu
$\begin{align*} \overrightarrow{r} &=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q} \\ (4,1,-1) &= (a+a,3+(-a),-1+0) \\ (4,1,-1) &= (2a,3-a),-1) \\ \end{align*}$
maka dari kesamaan vektor diatas diperleh persamaan yaitu : $4=2a$ dan $1=3-a$ dari salah satu persamaan tersebut diperoleh nilai $a = 2$

Untuk lebih memahami penjelasan materi diatas Cobalah beberapa soal berikut.

Latihan Soal

1	Jika diketahui kordinat titik $A(2,2,4), B(-1,2,4)$ dan titik $C(-3,0,1)$ maka cobalah temukan a. $\overrightarrow{AB}$ b. $\overrightarrow{BA}$ c. $\overrightarrow{CA}$
2	jika diketahui vektor $\overrightarrow{a}=xi+2j-4k$ dan vektor $\overrightarrow{b}=2i+4j-8$ cobalah temukan nilai dari a. $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ b. $\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$ c. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ D. $3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$
3	Jika diketahui titik kordinat $A(2,5,7),B(3,6,9)$ dan $C(x,y,z)$ dimana memenuhi bentuk $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ maka nilai dari $x+y+z$ adalah