Berikut disajikan beberapa latihan soal yang disesuaikan dengan kisi-kisi PAS matematika Lanjut kelas 11 Kuriulum Merdeka
--- Soal No 1 ---
Temukanlah bayangan dari objek berikut, jika di tranlasi sebesar $(2,3)$
a. Titik $(2,-3)$
b. Garis $3x-6y-7=0$
Jawaban a
dengan rumus pergeseran akan diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+a \\y+b \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2+2 \\-3+3 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah $(4,0)$
Jawaban b
Temukan dulu nilai $x$ dan $y$ dalam $x'$ dan $y'$ dengan cara sebagai berikut.
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+a \\y+b \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+2 \\y+3 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*}
x' &= x+2\\
x &= x'-2
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
y' &= y+3\\
y &= y'-3
\end{align*}$
Substitusi niali $x$ dan $y$ ke objek yang ditranlasi yaitu.
$\begin{align*}
3x-6y-7 &= 0 \\
3(x'-2)-6(y'-3) -7 &= 0 \\
3x'-6-6y'+18 -7 &= 0 \\
3x'-6y'+5 &= 0
\end{align*}$
maka bayanganan garisnya adalah $3x-6y+5 = 0$
--- Soal No 2 ---
Temukanlah bayangan dari objek berikut, jika di repleksikan dengan garis $x=2$
a. Titik $(-4,7)$
a. Garis $3x-4y-7=0$
Jawaban a
dengan rumus pencerminan atau replesi dengan garis $x=a$ diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2a-x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2.2-(-4) \\7 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 8 \\ 7 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah $(8,7)$
Jawaban b
Temukan dulu nilai $x$ dan $y$ dalam $x'$ dan $y'$ dengan cara sebagai berikut.
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2a-x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2.2-x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4-x \\y \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*}
x' &= 4-x\\
x &= 4-x'
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
y' &= y
\end{align*}$
Substitusi niali $x$ dan $y$ ke objek yang ditranlasi yaitu.
$\begin{align*}
3x-4y-7 &= 0\\
3(4-x')-4y' -7 &= 0 \\
12-3x'-4y' -7 &= 0 \\
-3x'-4y'+5 &= 0
\end{align*}$
maka bayanganan garisnya adalah $-3x-4y+5 = 0$
--- Soal No 3 ---
Temukanlah bayangan dari objek berikut, jika dirotasikan sebesar $180^o$ searah jarum jam dengan pusat di titik $(2,4)$
a. Titik $(3,-4)$
a. Garis $2x-7y-18=0$
Jawaban a
dengan rumus rotasi objek sebesar $\alpha$ dan pusat $(a,b)$ diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin\alpha \\sin\alpha & cos\alpha \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos (-180) & -sin (-180) \\sin (-180) & cos (-180) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3-2 \\-4-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\0 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\-8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 \\8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\12 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah $(1,12)$
Jawaban b
dengan rumus rotasi objek sebesar $\alpha$ dan pusat $(a,b)$ diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin\alpha \\sin\alpha & cos\alpha \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos (-180) & -sin (-180) \\sin (-180) & cos (-180) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-2 \\y-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\0 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-2 \\y-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -(x-2) \\-(y-4) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} -x+4 \\-y+8\end{pmatrix}
\end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*}
x' &= -x+4\\
x &= 4-x'
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
y' &= -y+8 \\
y &= 8-y'
\end{align*}$
Substitusi niali $x$ dan $y$ ke objek yang ditranlasi yaitu.
$\begin{align*}
2x-7y-18 &= 0 \\
2(4-x')-7(8-y')-18 &= 0 \\
8-2x'-56+7y' -18 &= 0 \\
-2x'+7y'-66 &= 0
\end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $-2x+7y-66=0$
--- Soal No 4 ---
Temukanlah bayangan dari objek berikut, jika di dilatasi sebesar $2$ dengan pusat di titik $(-1,2)$
a. Titik $(2,5)$
a. Garis $3x-4y-7=0$
Jawaban a
dengan rumus dilatasi objek sebesar $k$ dan pusat $(a,b)$ diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\0 & k \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-(-1) \\5-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 \\8 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka banyangan titiknya adalah di $(5,8)$
Jawaban b
dengan rumus dilatasi objek sebesar $k$ dan pusat $(a,b)$ diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-(-1) \\y-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2(x+1) \\2(y-2) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2x+1 \\2y-2 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*}
x' &= 2x+1\\
x &= \frac{x'-1}{2}
\end{align*}$
dan
$\begin{align*}
y' &= 2y-2 \\
y &= \frac{y'+2}{2}
\end{align*}$
substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke objeknya, maka
$\begin{align*}
3x-4y-7=0 &= 0\\
3 \left ( \frac{x'-1}{2} \right ) - 4 \left ( \frac{y'+2}{2} \right ) -7) &= 0 \\
\left ( \frac{3x'-3}{2} \right ) - \left ( \frac{4y'+8}{2} \right ) -7) &= 0 \\
\left ( \frac{3x'-3-4y'-8-14}{2} \right ) &= 0 \\
3x'-4y'-25 &= 0.2 \\
3x'-4y'-25 &= 0
\end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $3x-4y'-25=0$
--- Soal No 5 ---
Temukanlah bayangan garis $3x-6y-7=0$ jika direpleksikan dengan sumbu $x$ dan dilanjutkan dengan rotasi $90^o$.
Jawab
ada dua cara yang umum digunakan dalam menyelesaikan soal ini, dimana ada yang menyelesaikannya satu persatu dan ada juga dengan komposisi transformasi. Dalam hal ini soal akan diselesaikan dengan komposisi transformasi
Matriks pencerminan dengan sumbu $x$ adalah $T_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$
Matriks rotasi $90^o$ adalah $T_2=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
maka dengan komposisi transformati diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= T_2 o T_1 \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} y \\x \end{pmatrix} \\
\end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks diperoleh $x=y'$ dan $y=x'$
ambil objek yang akan ditransformasi yaitu
$\begin{align*}
3x-6y-7=0 &= 0\\
3y'-6x'-7 &= 0
\end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $3y-6x-7=0$
--- Soal No 6 ---
Kordinat rumah adi berada di titik $(2,1)$. Jika koordinat rumah Banu diperoleh dengan menggeser rumah Adi sejauh $(2,-3)$ kemudian didilatasi sebesar 3 dan dilanjutkan repleksi dengan sumbu $x$ maka dimanakah koordinat rumah Banu ... .
Jawab
langka 1 Geser titik
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x+a \\y+b \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2+2 \\1+(-3) \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka bayangan adalah $(4,-2)$
Langkah 2 dilatasi bayangan titik di langkah 1, diperoleh
$\begin{align*}
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4-0 \\-2-0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 12 \\ -2 \end{pmatrix}
\end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah $(12,-6)$
Langkah 3 cerminkan bayangan titik pada langkah 2 dengan sumbu $x$.
jika hanya mencerminkan dengan sumbu x, maka hanya perlu mengganti kordinat $y$ dengan negatif, sehingga bayangannya adalah $(12,6)$
Maka kordinat rumahnya Banu adalah $(12,6)$
--- Soal No 7 ---
Jika sebuah lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-10x-8y-8=0$ akan di dilatasi sebesar $[(2,3), 2]$ maka perbandingan luas lingkaran sebelum dan sesudah dilatasi adalah ... .
Jawab
Jika menggeser, repleksi atau merotasi objek, maka bentuk dan ukurannya akan tetap sama, namun jika suatu objek geometri di dilatasi sebesar a, maka perbandingan volumenya adalah $1:a^2$ sehingga berdasarkan hal tersebut maka diperoleh jawabanya adalah $1:9$
--- Soal No 8 ---
diketahui sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$. Jika ketiga matriks tersebut memenuhi persamaan $AC=B$ maka inverse dari matriks $C$ adalah
Jawab
/div>
Untuk menemukan inverse dari C, maka haris temukan dulu nilai entri entrinya dengan cara persamaan matriks yaitu.
$\begin{align*} A.C &= B \\ C &= A^{-1}.B \\ \end{align*}$
sehingga perlu ditemukan inverse dari A lebih dahulu dengan cara.
$\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{Det}.\text {Adjoin} \\ &= \frac{1}{1.5-2.3}. \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{-1}. \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai sifat sebelunya diperoleh matriks C yaitu.
$\begin{align*} A.C &= B \\ C &= A^{-1}.B \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5+4 & -5+8 \\ -3-2 & 3-4 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ -5 & -1 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}$
Maka inverse dari C diperoleh
$\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{Det}.\text {Adjoin} \\ &= \frac{1}{9.(-1)-(-5.3)}. \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6}. \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
Untuk menemukan inverse dari C, maka haris temukan dulu nilai entri entrinya dengan cara persamaan matriks yaitu.
$\begin{align*} A.C &= B \\ C &= A^{-1}.B \\ \end{align*}$
sehingga perlu ditemukan inverse dari A lebih dahulu dengan cara.
$\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{Det}.\text {Adjoin} \\ &= \frac{1}{1.5-2.3}. \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{-1}. \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai sifat sebelunya diperoleh matriks C yaitu.
$\begin{align*} A.C &= B \\ C &= A^{-1}.B \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5+4 & -5+8 \\ -3-2 & 3-4 \\ \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 9 & 3 \\ -5 & -1 \\ \end{pmatrix}\\ \end{align*}$
Maka inverse dari C diperoleh
$\begin{align*} A^{-1} &= \frac{1}{Det}.\text {Adjoin} \\ &= \frac{1}{9.(-1)-(-5.3)}. \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{6}. \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
--- Soal No 9 ---
Temukan determinan dari matriks $ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Jawab
$\begin{align*} \text {determinan} &= 1.3.0+1.1.(-2)+2.2.1-2.3.(-2)-1.1.1-1.2.0 \\ &= 0+(-2)+4+12-1-0 \\ &= 13 \end{align*}$
--- Soal No 10 ---
diketahui sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} 3 & x \\ 2 & y \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 6 & 5 \\ \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix}$. Jika ketiga matriks tersebut memenuhi persamaan $AB=C$ maka nilai dari $2x+y$ adalah ... .
Jawab
Sesuai dengan bentuk dalam soal, maka diperoleh.
$\begin{align*} A.B &= C \\ \begin{pmatrix} 3 & x \\ 2 & y \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 6 & 5 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3.3+6x & 3.(-1)+5.x \\ 2.3+6.y & 2.(-1)+5.y \\ \end{pmatrix}. &= \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 9+6x & -3+5.x \\ 6+6y & -2+5y \\ \end{pmatrix}. &= \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai kesamaan matriks akan diperoleh.
$\begin{align*} 9+6x &= 21 \\ 6x &= 21-9 \\ 6x &= 12 \\ x &= 2 \end{align*}$
dan
$\begin{align*} 6+6y &= 0 \\ 6y &= -6 \\ y &= -1 \\ \end{align*}$
Sehingga nilai dari $2x+y=2.2+(-1)=3$
--- Soal No 11 ---
diketahui sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} -7 & 6 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 6 & 2 \\ \end{pmatrix}$. maka nilai dari $A^{T}B+2C-B=$ adalah ... .
Jawab
Ingatlah beberapa sifat matriks, misalnya $A^T$ memiliki makna transpose matriks A atau ubah entri baris jadi kolom dan kolom jadi baris, sehingga berdasarkn hal tersebut diperoleh.
$\begin{align*} &= A^{T}B+2C-B \\ &= \begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 6 & 2 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix}+2.\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 6 & 2 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -7.5+1.3 & -7.(-3)+1.1 \\ 6.5+2.3 & 6.(-3)+2.1 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 16 & 6 \\ 12 & 4 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -32 & 22 \\ 36 & -16 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 16 & 6 \\ 12 & 4 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -32 +16-5 & 22+6-(-3) \\ 36+12-3 & -16+4-1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -21 & 31 \\ 45 & -13 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
maka hasil dari $A^{T}B+2C-B= \begin{pmatrix} -21 & 31 \\ 45 & -13 \\ \end{pmatrix}$
--- Soal No 12 ---
diketahui sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 5 & 2 \\ \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 13 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$. maka nilai dari $x+y$ jika $AB\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=C$ adalah ... .
Jawab
Selesaikan mulai dari apa yang diketahui yaitu
$\begin{align*} AB\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= C \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 5 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 13 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1.8+0.5 & 1.2+0.2 \\ 0.8+-1.5. & 0.2+-1.2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 13 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -5. & -2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 13 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
dengan kesamaan matriks akan diperoleh dua buah persamaan yaitu.
$8x+2y=13$ dan $-5x-2y=4$, kemudian dengan metode eliminasi dan substitusi.
$8x+2y=13$
$ \underline{-5x-2y=4}$ +
$3x=17$
$x=\frac{17}{3}$
kemudian dengan cara substitusu diperoleh.
$\begin{align*} 8x+2y &= 13 \\ 8.\frac{17}{3}+2y &= 13 \\ \frac{136}{3}+2y &= 13 \\ 2y &= 13 - \frac{136}{3} \\ 2y &= \frac{39}{3} - \frac{136}{3} \\ 2y &= \frac{-97}{3} \\ y &= \frac{-97}{6} \\ \end{align*}$
maka nilai dari $x+y$ adalah
$\begin{align*} x + y &= \frac{17}{3}+\frac{-97}{6} \\ &= \frac{34}{6}+\frac{-97}{6} \\ &= -\frac{63}{6} \\ &=- \frac{21}{2} \\ \end{align*}$
--- Soal No 13 ---
Adi memiliki kandang yang didalamya berisi ayam $(x)$ dan kambing $(y)$. saat seorang temannya datang dan ingin tahu berapa jumlah peliharaan Adi, Adi hanya memberi tahu bahwa jumlah peliharaanya ada 30 dengan jumlah kakinya adalah 48, temannya kemudian berfikir dan mulai membuat persamaan dari data yang diberikan adi. Bantulah temannya adi untuk menemukan persamaannya kemudian tuliskan dalam bentuk matriks ... .
Jawab
misalkan jumlah ayam adalah $x$ dan Kambing adalah $y$, maka dari informasi jumlah hewan diperoleh persamaan $x+y=30$ kemudian dari inofrmasi jumlah kakinya diperoleh $2x+4y=48$, ingat jumlah kaki ayam adalah 2, dan kaki kambing adalah 4
sehingga dari kedua persamaan tersebut diperoleh perkalian matriksnya ialah.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 \\ 48 \\ \end{pmatrix} $
--- Soal No 14 ---
ENKRISPI DATA
jika setiap huruf diberikan kode $1,2,3...26$ unutk abjad $A-Z$ kemudian jika angkanya lebih dari $26$ maka akan ada perulangan, misal angka $27$ mewakili huruf a, angka $2b$ mewakili huruf b dan seterusnya. kemudian misalkan jika ada matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 21 \\ \end{pmatrix}$ maka matriks bisa dibaca "BADU" karena urutan hurufnya. Berdasarkan hal tersebut kita dapat menyembunyikan kata sandi yang kita buat dengan operasi matriks. Sebagai contoh, apabila matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 21 \\ \end{pmatrix}$ di sembunyikan dengan menjumlahkan dengan matriks kunci $B=\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ maka hasil penjumlahan $A$ dan $B$ adalah $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 29 \end{pmatrix}$ maka sandi "BADU" setelah disembunyikan akan dibaca "GBHC"
Sesuai dengan konsep terseut jika Adi akan menyembunyikan password emailnya yang berbunyi "BALI" dengan mengalikan dengan matriks kunci $A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$ maka password adi akan dibaca apa setelah disembunyikan ... .
jika setiap huruf diberikan kode $1,2,3...26$ unutk abjad $A-Z$ kemudian jika angkanya lebih dari $26$ maka akan ada perulangan, misal angka $27$ mewakili huruf a, angka $2b$ mewakili huruf b dan seterusnya. kemudian misalkan jika ada matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 21 \\ \end{pmatrix}$ maka matriks bisa dibaca "BADU" karena urutan hurufnya. Berdasarkan hal tersebut kita dapat menyembunyikan kata sandi yang kita buat dengan operasi matriks. Sebagai contoh, apabila matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 21 \\ \end{pmatrix}$ di sembunyikan dengan menjumlahkan dengan matriks kunci $B=\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ maka hasil penjumlahan $A$ dan $B$ adalah $\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 29 \end{pmatrix}$ maka sandi "BADU" setelah disembunyikan akan dibaca "GBHC"
Sesuai dengan konsep terseut jika Adi akan menyembunyikan password emailnya yang berbunyi "BALI" dengan mengalikan dengan matriks kunci $A=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$ maka password adi akan dibaca apa setelah disembunyikan ... .
Jawab
Langkah awal yang bisa dilakukan adalah mengubah sandi "BALI" menjadi matriks dimana kareha letak huruf $B=2, A=1, L=12, i=9$ maka matriksnya adalah $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 12 & 9 \\ \end{pmatrix}$, kemudian sesuai penjelasan diatas, maka kita hanya perlu mengalikannya dengan matriks kuncinya sehingga diperoleh.
$\begin{align*} &= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 12 & 9 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2.1+1.5 & 2.4+1.9 \\ 12.1+9.5 & 12.4+9.9 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7 & 17 \\ 57 & 129 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
kemudian sesuai konsep di soal maka nilai dari $7=G, 17 =Q, 57=E, 129 =Y$ maka sandi "BALI" akan tersembunyi menjadi "GQEY"
--- Soal No 15 ---
Jika diketahui $f(x)=3x^3+6x^2+7x-3$, maka temukan nilai
a. $f(1)$
b. sisa dan hasil bagi jika $f(x)$ dibagi $(x-2)$
a. $f(1)$
b. sisa dan hasil bagi jika $f(x)$ dibagi $(x-2)$
Jawaban a
$\begin{align*} f(x) & = 3x^3+6x^2+7x-3 \\ f(1) & = 3(1)^3+6(1)^2+7(1)-3 \\ & = 3+6+7-3 \\ & = 13 \\ \end{align*}$
Jawaban b
dengan cara horner diperoleh.
maka hasil baginys adalah $3x^2+9x+16$ dan sisanya adalah $13$
--- Soal No 16 ---
Suatu fungsi $f(x)$ dibagi $(x-2)$ bersisa $3$, dibagi $(x+2)$ bersisa $7$. maka temukan sisa jika $f(x)$ dibagi $x^2-4$ ... .
Jawab
Sesuai dengan konsep teorema sisa maka.
dari kata "dibagi $(x-2)$ bersisa $3$" akan diperoleh $f(2)=3$, dan dari kata "dibagi $(x+2)$ bersisa $7$" diperoleh $f(-2)=7$, kemudian sesuai dengan teorema sisa juga diperoleh
$\begin{align*} f(x) & = Pe(x).H(x)+S(x) \\ f(x) & = (x^2-4).H(x)+(ax+b) \\ f(x) & = (x-2)(x+2).H(x)+(ax+b) \end{align*}$
ambil nilai $x=2$ maka persamaan diatas akan berubah
$\begin{align*} f(x) & = (x-2)(x+2).H(x)+(ax+b) \\ f(2) & = (2-2)(2+2).H(2)+(a2+b) \\ 3 & = (0)(2+2).H(2)+(2a+b) \\ 2a+b & = 3 \end{align*}$
ambil nilai $x=-2$ maka persamaan diatas akan berubah
$\begin{align*} f(x) & = (x-2)(x+2).H(x)+(ax+b) \\ f(-2) & = (-2-2)(-2+2).H(2)+(a2+b) \\ 7 & = (-2-2)(0).H(2)+(a.(-2)+b) \\ -2a+b & = 7 \end{align*}$
Eliminasi kedua persamaan diatas, sehingga
$2a+b=3$
$ \underline {-2a+b=7}_{+} $
$2b = 10$
$b= 5$
maka nilai a diperoleh dengan mensubstutusi ke salah satu persamaan dan diperoleh $a=-1$, sehingga sisanya pembagiannya adalah adalah $-x+5$
--- Soal No 17 ---
Jika $(x-1)$ salah satu faktor polinomial $x^4+x^3-7x^2-x+a$ maka temukan faktor lainnya ... .
Jawab
Temukan nilai $a$ dengan faktor yang diketahui yaitu dengan menemukan nilai dari $f(1)$
$\begin{align*} f(x) & = x^4+x^3-7x^2-x+a \\ f(1) & = (1)^4+(1)^3-7(1)^2-(1)+a \\ 0 & = 1+1-7-1+a \\ a & = 6 \\ \end{align*}$
kemudian dengan cara horner temukan sisa pembagianya, diperoleh.
$\begin{align*} x^4+x^3-7x^2-x+6 & = (x+1)(x-1)(x^2+x-6) \\ & = (x+1)(x-1)(x+3)(x-2) \\ \end{align*}$
Sehingga faktor dari polinomialnya adalah $(x+1)(x-1)(x+3)(x-2)$
--- Soal No 18 ---
Temukan nilai $A+B$ jika diketahui $\frac{3x+6}{x^2-3x-18}=\frac{A}{x-6}+\frac{B}{x+3}$ ... .
Jawab
Untuk menyelesaikan soal ini, maka operasikan bentuknya lebih dulu kemudian samakan koefisien suku sejenisnya, sehingga
$\begin{align*} \frac{3x+6}{x^2-3x-18} &= \frac{A}{x-6}+\frac{B}{x+3} \\ \frac{3x+6}{x^2-3x-18} &= \frac{A(x+3)}{x-6}+\frac{B(x-6)}{x+3} \\ \frac{3x+6}{x^2-3x-18} &= \frac{A(x+3)+B(x-6)}{(x-6)(x+3)} \\ \frac{3x+6}{x^2-3x-18} &= \frac{Ax+3A+Bx-6B)}{x^2-3x-18} \\ \frac{3x+6}{x^2-3x-18} &= \frac{(A+B)x+(3A-6B)}{x^2-3x-18} \\ \end{align*}$
maka sesuai kesamaan polinomial diperoleh persamaan $A+B=3$ dan $3A-6B=6$
Karena di soal hanya ditanyakan nilai dari $A+B$, maka dengan langsung diperoleh dari persamaan diatas, yaitu $A+B=3$, namun jika ingin menemukan nilai $A$ dan $B$ secara terpisah maka eliminasi kedua persamaan diatas.
--- Soal No 19 ---
Jika diketahui panjang dan lebar dari suatu persegi panjang adalah $(x-7)$ dan $(x^2-3x+5)$ maka luas temukan luas persegipanjang tersebut ... .
Jawab
Dengan menerapkan konsep luas persegi panjang diperoleh,
$\begin{align*} L &= p.t \\ &= (x-7)(x^2-3x+5) \\ &= x^3-3x^2+5x-7x^2+21x-35 \\ &= x^3-10x^2+26x-35 \\ \end{align*}$
--- Soal No 20 ---
Seutas kawat dengan panjang $144$ cm akan dibuat kerangka balok dengan alas persegi yang panjangnya $x$cm. Maka nyatakan luas dan volumenya ke dalam bentuk polinomial ... .
Jawab
ilustrasikan dulu gambar yang dimaksud, kemudian nilai tinggi dari balok tersebut adalah
$= \frac{\text{total kawat}-\text{yang digunakan}}{\text{banyak tinggi balok}}$
$= \frac{144-8x}{4}$
$= 36-2x$
maka luasnya adalah
$\begin{align*} L &= 2(p.l+p.t+l.t) \\ &= 2(x.x+x(36-2x)+x(36-2x) \\ &= 2(x^2+36x-2x^2+36x-2x^2) \\ &= 2(-3x^2+72x) \\ &= -6x^2+144x) \end{align*}$
dan untuk volumenya adalah
$\begin{align*} V &= p.l.t \\ &= x.x.(36-2x) \\ &= 36x^2-2x^3 \\ \end{align*}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar