Jika kita menggambar sembarang lingkaran pada koordinat kartesius, maka setiap persamaan lingkaran yang digambar akan memiliki persamaan yang berbeda tergantung dari posisi titik pusat dan panjang dari jari-jarinya. Berdasarkan hal tersebut untuk menemukan sebuah persamaan lingkaran kita memerlukan 2 hal, yaitu jari-jari dan pusat. Sehingga Jika kedua data tersebut sudah ada, maka persamaan lingkaran bisa dibuat. Berikut akan diberikan penjelasan lebih rinci mengenai persamaan lingkaran.
Hal Penting
Persamaan lingkaran
Bentuk Umum Persamaan lingkaran
Apabila susah memahami penjelasan diatas, silahkan simak video berikut untuk penjelasanya
Sebelum membahas persamaan lingkaran, ada beberapa konsep garis dan titik yang harus diingat yaitu.
- Jika diketahui dua buah titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ maka jarak kedua titik tersebut adalah $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
- Jika diketahui dua buah titik $A(x_1, y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ maka jika P berda di tengah tengah $AB$ maka kordinat titik $P$ adalah $\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}$
- Jika diketahui dua buah titik $A(x_1, y_1)$ dan sebuah garis $g$ dengan persamaan $ax+by+c=0$, maka jarak titik $A$ ke garis$g$ dapat ditemukan dengan cara $\left| \frac{a.x_1+b.y_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right|$
- Jika sebuah lingkaran berpusat di titik $A(x_1,y_1)$ serta lingkaran menyinggung sumbu x, maka panjang jari-jarinya adalah $y_1$ dan begitupula sebaliknya.
Persamaan lingkaran
Untuk membuat persamaan lingkaran, maka kita hanya memerlukan 2 hal yaitu jari-jari dan titik pusatnya. Sehingga apabila sebuah lingkaran memiliki pusat di titik $O(a,b)$ dan jari jari = $r$ maka persamaan lingkarannya adalah
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Bentuk Umum Persamaan lingkaran
Bentuk Umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dimana dri bentuk umum ini bisa ditemukan berapakah pusat dan jari-jarinya dengan cara
- Pusat = $\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )$, dan
- jari-jari = $\sqrt { \left ( -\frac{1}{2}A \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^2-C }$
Apabila susah memahami penjelasan diatas, silahkan simak video berikut untuk penjelasanya
Untuk memahami lebih jauh mengenai persamaan lingkaran, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat digunakan sebagai latihan agar lebih paham mengenai materi persamaan lingkaran.
Contoh Soal
Soal No 1
Temukanlah persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik $(0,0)$ dengan panjang jari-jari $5$... .
Dua syarat dalam membuat persamaan lingkaran sudah ada di soal yaitu pusatnya di $(0,0)$ dan $r=5$ maka sesuai rumusnya diperoleh.
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-0)^+(y-0)^2 &= 5^2 \\ x ^2 + y^2 &= 25 \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2=25$
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-0)^+(y-0)^2 &= 5^2 \\ x ^2 + y^2 &= 25 \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya adalah $x^2+y^2=25$
Soal No 2
Temukanlah persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik $(-2,3)$ dengan panjang jari-jari $2$... .
Dua syarat dalam membuat persamaan lingkaran sudah ada di soal yaitu pusatnya di $(-2,3)$ dan $r=2$ maka sesuai rumusnya diperoleh.
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-(-2))^+(y-3)^2 &= 2^2 \\ x^2 +4x + 4 + y^2 -6y +9 &= 4 \\ x^2 + y^2 +4x -6y +9 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 +4x -6y +9=0$
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-(-2))^+(y-3)^2 &= 2^2 \\ x^2 +4x + 4 + y^2 -6y +9 &= 4 \\ x^2 + y^2 +4x -6y +9 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya adalah $x^2 + y^2 +4x -6y +9=0$
Soal No 3
Temukanlah persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik $(2,3)$ dan melalui titik $(5,7)$... .
Dua syarat dalam membuat persamaan lingkaran yaitu pusat dan jari-jari di soal hanya diketahui pusatnya saja, maka untuk menemukan jari-jarinya bisa dilakukan dengan menemukan jarak pusat ke titik yang dilalu lingkaran yaitu $(2,3)$ dan $(5,7)$, sehingga sesuai rumus diatas diperoleh.
$ \begin{align*} r &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ &= \sqrt{(7-3)^2+(3-2)^2} \\ &= \sqrt{16+9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya dapat dicari dengan cara
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-2)^+(y-3)^2 &= 2^2 \\ x^2 -4x + 4 + y^2 -6y +9 &= 4 \\ x^2 + y^2 -4x -6y +9 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2 + y^2 -4x -6y +9=0$
$ \begin{align*} r &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ &= \sqrt{(7-3)^2+(3-2)^2} \\ &= \sqrt{16+9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkarannya dapat dicari dengan cara
$ \begin{align*} (x-a)^+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-2)^+(y-3)^2 &= 2^2 \\ x^2 -4x + 4 + y^2 -6y +9 &= 4 \\ x^2 + y^2 -4x -6y +9 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2 + y^2 -4x -6y +9=0$
Soal No 4
Temukanlah persamaan lingkaran yang diameternya melalui titik $(-4,8)$ dan $(2,0)$ ... .
Dua syarat dalam membuat persamaan lingkaran yaitu pusat dan jari-jari di tidak ada di soal, namun yang pertama bisa dicari adalah titik tengah titik yang dilalui diameternya, dapat dilakukan dengan cara
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( \frac{x_1+x_2}{2} ,\frac{y_1+y_2}{2}\right ) \\ &= \left ( \frac{-4+2}{2} ,\frac{8+0}{2}\right ) \\ &= (-1,4) \\ \end{align*}$
maka pusat lingkaranya adalah $(-1,4)$
kemudian untuk menemukan jari-jari bisa ditemukan dengan jarak pusat ke sisi lingkaran yaitu
$ \begin{align*} r &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ &= \sqrt{(2-(-1))^2+(0-4)^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkaran melalui pusat $(-1,4)$ dengan jari-jari $5$ adalah $ \begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-(-1))^2+(y-4)^2 &= 5^2 \\ x^2 +2x + 1 + y^2 -8y +16 &= 25 \\ x^2 + y^2 + 2x -8y -8 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2 + y^2 +2x -8y -8$
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( \frac{x_1+x_2}{2} ,\frac{y_1+y_2}{2}\right ) \\ &= \left ( \frac{-4+2}{2} ,\frac{8+0}{2}\right ) \\ &= (-1,4) \\ \end{align*}$
maka pusat lingkaranya adalah $(-1,4)$
kemudian untuk menemukan jari-jari bisa ditemukan dengan jarak pusat ke sisi lingkaran yaitu
$ \begin{align*} r &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ &= \sqrt{(2-(-1))^2+(0-4)^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkaran melalui pusat $(-1,4)$ dengan jari-jari $5$ adalah $ \begin{align*} (x-a)^2+(y-b)^2 &= r^2 \\ (x-(-1))^2+(y-4)^2 &= 5^2 \\ x^2 +2x + 1 + y^2 -8y +16 &= 25 \\ x^2 + y^2 + 2x -8y -8 &= 0 \\ \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2 + y^2 +2x -8y -8$
Soal No 5
Jika diketahui persamaan lingkaran berbentuk $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ maka dimanakah pusat dan jari-jari lingkaran tersebut ... .
Dalam soal diketahui bentuk umum persamaan lingkaran, sehingga sesuai dengan bentuk yang diketahui diatas, maka menemukan pusat dan jari-jarinya diperoleh dengan cara.
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}4,-\frac{1}{2}(-8) \right ) \\ &= (-2,4) \\ \end{align*}$
maka pusat lingkaranya adalah $(-2,4)$
kemudian untuk menemukan jari-jari bisa ditemukan dengan cara
$ \begin{align*} r &= \sqrt{ \left ( -\frac{1}{2}A \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^2-C } \\ &= \sqrt{ \left ( -\frac{1}{2}4 \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}(-8) \right )^2-5 } \\ &= \sqrt{(-2)^2+(4)^2-(-5) }\\ &= \sqrt{4+16+5) } \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ memiliki pusat $(-2,4)$ dan $r=5$
$ \begin{align*} \text{Pusat} &= \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}4,-\frac{1}{2}(-8) \right ) \\ &= (-2,4) \\ \end{align*}$
maka pusat lingkaranya adalah $(-2,4)$
kemudian untuk menemukan jari-jari bisa ditemukan dengan cara
$ \begin{align*} r &= \sqrt{ \left ( -\frac{1}{2}A \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^2-C } \\ &= \sqrt{ \left ( -\frac{1}{2}4 \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}(-8) \right )^2-5 } \\ &= \sqrt{(-2)^2+(4)^2-(-5) }\\ &= \sqrt{4+16+5) } \\ &= 5 \end{align*}$
maka persamaan lingkaranya adalah $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ memiliki pusat $(-2,4)$ dan $r=5$
Agar lebih paham secara konsep, silahkan selesaikan beberapa soal berikut !
Latihan Soal
Soal 1
Persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik $A(2,-5)$ dan panjang jari-jari $8$ adalah ... .
Persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik $A(2,-5)$ dan panjang jari-jari $8$ adalah ... .
Soal 2
Persamaan lingkaran yang diameternya adalah garis $AB$ dimana koordinat titik $A(2,2)$ dan titik koordinat $B(-1,7)$ ... .
Soal 3
Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(0,4)$ dan menyinggung garis sumbu x adalah ... .
Soal 4
Jika sebuah lingkaran menyinggung sumbu x di titik $(7,0)$ dan di sumbu y di titik $(0,7)$ maka persamaan lingkarannya adalah ... .
Soal 5
Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $(0,4)$ dan menyinggung garis $2x+4y+9=0$ adalah ... .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar