Titik, garis dan lingkaran merupakan objek yang saling berkaitan dan akan memiliki syarat tertentu jika ia berada di suatu posisi tertentu pula. Seperti misalnya, jika dilihat kedudukan suatu titik dengan lingkaran akan memenuhi 3 kemungkinan yaitu titik berada di dalam lingkaran, titik berada pada lingkaran dan titik berada di luar lingkaran. Ketiga posisi tersebut akan memiliki suatu syarat tertentu, Nah untuk mengetahuinya silahkan pahami beberapa sifat kedudukan titik, garis dan lingkaran dengan lingkaran.
Kedudukan Titik dengan Lingkaran
Untuk mengecek kedudukan titik $A(x_1,y_1)$ dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan mensubstitusi titik ke persamaan lingkaran sehingga apabila nilainya
1. Negatif, maka titik berada di dalam lingkaran
2. Sama dengan nol, titik tepat berada pada lingkaran
3. Positif, maka titik berada di luar lingkaran
Keudukan Garis dengan Lingkaran
Untuk mengecek kedudukan titik garis $g$ dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan membandingkan panjang jari-jari $(r)$ lingkaran dengan jarak titik pusat lingkaran dengan garis $g$ misal jaraknya $d$, sehingga apabila.
1. $ d < r$ , maka garis memotong lingkaran di dua titik
2. $d=r$, maka garis memotong lingkaran di satu titik / menyinggung
3. $d > r$, maka garis berada di luar lingkaran.
Keudukan Lingkaran dengan Lingkaran
Untuk mengecek kedudukan lingkaran dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan membandingkan panjang jari-jari kedua lingkaran, misalkan jari-jari lingkaran 1 adalah $R$ dan lingkaran 2 adalah $r$ dan $d$ adalah jarak pusat kedua lingkaran, maka
1. $d =0$ lingkaran sepusat
2. $d < R-r$ lingkaran berada di dalam lingkaran lain
3. $d = R-r$ lingkaran menyinggung lingkaran lain di dalam
4. $R -r < d < R+r$ Lingkaran berpotongan di dua buah titik
5 $ d = R+r$ lingkaran saling bersinggungan luar
6. $d > R + r$ lingkaran terpisah.
Apabila susah memahami penjelasan diatas, silahkan simak video berikut untuk penjelasanya
Untuk mengecek kedudukan titik $A(x_1,y_1)$ dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan mensubstitusi titik ke persamaan lingkaran sehingga apabila nilainya
1. Negatif, maka titik berada di dalam lingkaran
2. Sama dengan nol, titik tepat berada pada lingkaran
3. Positif, maka titik berada di luar lingkaran
Keudukan Garis dengan Lingkaran
Untuk mengecek kedudukan titik garis $g$ dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan membandingkan panjang jari-jari $(r)$ lingkaran dengan jarak titik pusat lingkaran dengan garis $g$ misal jaraknya $d$, sehingga apabila.
1. $ d < r$ , maka garis memotong lingkaran di dua titik
2. $d=r$, maka garis memotong lingkaran di satu titik / menyinggung
3. $d > r$, maka garis berada di luar lingkaran.
Keudukan Lingkaran dengan Lingkaran
Untuk mengecek kedudukan lingkaran dengan lingkaran, dapat dilakukan dengan membandingkan panjang jari-jari kedua lingkaran, misalkan jari-jari lingkaran 1 adalah $R$ dan lingkaran 2 adalah $r$ dan $d$ adalah jarak pusat kedua lingkaran, maka
1. $d =0$ lingkaran sepusat
2. $d < R-r$ lingkaran berada di dalam lingkaran lain
3. $d = R-r$ lingkaran menyinggung lingkaran lain di dalam
4. $R -r < d < R+r$ Lingkaran berpotongan di dua buah titik
5 $ d = R+r$ lingkaran saling bersinggungan luar
6. $d > R + r$ lingkaran terpisah.
Apabila susah memahami penjelasan diatas, silahkan simak video berikut untuk penjelasanya
Contoh Soal
Soal No 1
Dimanakah posisi titik $A(-1,2)$ terhadap lingkaran $(x-3)^2+(y+2)^2-30=0$... .
untuk menemukan posisi titik tersebut maka substitusikan titik $A$ ke persamaan lingkaran, sehingga
$ \begin{align*} &= (x-3)^2+(y+2)^2-30 \\ &= ((-1)-3)^2+(2+2)^2-30 \\ &= (-4))^2+(2+2)^2-30 \\ &= 16+16-30 \\ &= 2 \end{align*}$
karena nilai yang ditemukan positif, maka kedudukan titik tersebut berada di luar lingkaran
$ \begin{align*} &= (x-3)^2+(y+2)^2-30 \\ &= ((-1)-3)^2+(2+2)^2-30 \\ &= (-4))^2+(2+2)^2-30 \\ &= 16+16-30 \\ &= 2 \end{align*}$
karena nilai yang ditemukan positif, maka kedudukan titik tersebut berada di luar lingkaran
Soal No 2
Dimanakah posisi titik $A(1,3)$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-25=0$... .
untuk menemukan posisi titik tersebut maka substitusikan titik $A$ ke persamaan lingkaran, sehingga
$ \begin{align*} &= x^2+y^2-4x+6y-25=0 \\ &= 1^2+3^2-4.(1)+6.(3)-25=0 \\ &= 1 + 9 -4 +18-25 \\ &= -1 \end{align*}$
karena nilai yang ditemukan negatif, maka kedudukan titik tersebut berada di dalam lingkaran
$ \begin{align*} &= x^2+y^2-4x+6y-25=0 \\ &= 1^2+3^2-4.(1)+6.(3)-25=0 \\ &= 1 + 9 -4 +18-25 \\ &= -1 \end{align*}$
karena nilai yang ditemukan negatif, maka kedudukan titik tersebut berada di dalam lingkaran
Soal No 3
Dimanakah posisi garis $x+2y-1=0$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y-3=0$... .
langkah awal adalah menemukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan cara berikut
$ \begin{align*} \text{Pusat}&= \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}6 \right ) \\ &= (2,-3) \end{align*}$
$ \begin{align*} \text{jari-jari} &= \sqrt{\left ( \left ( -\frac{1}{2}A \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^2-C \right )} \\ &= \sqrt{\left ( \left ( -\frac{1}{2}(-4) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}6 \right )^2-(-3) \right )} \\ &= \sqrt{\left (4+9+3) \right )} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align*}$
Untuk dapat menyimpulkan kedudukan titik tersebut, maka harus dicek jarak titik dengan garis dengan pusatnya dengan cara.
$ \begin{align*} d &=\left| \frac{1.2+2.(-3)+(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}} \right| \\ d &=\left| \frac{-5}{\sqrt{5}} \right| \\ d &=\frac{5\sqrt{5}}{5} \\ d &= \sqrt{5} \end{align*}$
karena $d < r$ maka garis $g$ akan memotong lingkaran di dua buah titik
$ \begin{align*} \text{Pusat}&= \left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right ) \\ &= \left ( -\frac{1}{2}(-4),-\frac{1}{2}6 \right ) \\ &= (2,-3) \end{align*}$
$ \begin{align*} \text{jari-jari} &= \sqrt{\left ( \left ( -\frac{1}{2}A \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}B \right )^2-C \right )} \\ &= \sqrt{\left ( \left ( -\frac{1}{2}(-4) \right )^2+\left ( -\frac{1}{2}6 \right )^2-(-3) \right )} \\ &= \sqrt{\left (4+9+3) \right )} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align*}$
Untuk dapat menyimpulkan kedudukan titik tersebut, maka harus dicek jarak titik dengan garis dengan pusatnya dengan cara.
$ \begin{align*} d &=\left| \frac{1.2+2.(-3)+(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}} \right| \\ d &=\left| \frac{-5}{\sqrt{5}} \right| \\ d &=\frac{5\sqrt{5}}{5} \\ d &= \sqrt{5} \end{align*}$
karena $d < r$ maka garis $g$ akan memotong lingkaran di dua buah titik
Agar lebih paham secara konsep, silahkan selesaikan beberapa soal berikut !
Latihan Soal
Soal 1
Temukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y+3=0$
a. $(0,1)$
b. $(1,3)$
c. $(-2,-3)$
d. $(0,0)$
e. $(0,-1)$
Temukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y+3=0$
a. $(0,1)$
b. $(1,3)$
c. $(-2,-3)$
d. $(0,0)$
e. $(0,-1)$
Soal 2
Temukan kedudukan garis-garis berikut terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y+4=0$
a. $x+y=0$
b. $x+y-2=0$
c. $3x+4y+1=0$
Soal 3
Temukan kedudukan lingkaran berikut terhadap lingkaran $x^2+y^2-4x+6y+4=0$
a. $x^2+y^2-4x+6y=0$
b. $x^2+y^2=0$
c. $(x-7)^2+(y+3)^2=4$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar