Sebelum membahas lebih jauh mengenai garis singgung lingkaran dalam dan luar, maka sangat perlu kita ketahui bahwa garis singgung lingkaran merupakan sebuah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan jika dari titik tersebut ditarik garis ke pusat lingkaran, maka garis tersebut akan tegak lurus dengan garis singgungnya. Sehingga untuk menyelesaika soal-soal yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran akan sangat berkaitan dengan segitiga garis sejajar dan garis yang tegak lurus. Nah, untuk lebih memahaminya, silahkan simak penjelasan berikut ini.
Hal Penting
Garis Singgung Persekutuan Lingkaran
Sebelum membahas mengenai garis singgung persekutuan lingkaran, berikut adalah beberapa hal penting yang harus diingat, yaitu.
- Jika diketahui segitiga siku-siku $ABC$, maka sisi-sisinya akan memenuhi Theorema Pytagoras
- Garis $g$ disebut menyinggung lingkaran apabila garis memotong lingkatan di satu buah titik
- Garis $g$ tegak lurus dengan garis yang ditarik dari titik singgungnya ke pusat lingkaran
- Jika garis $g$ menyinggung lingkaran dua buah lingkaran atau lebih di dalam lingkaran disebut dengan Garis Singgung Persekutauan Dalam, sedangkan jika garis $g$ menyinggung dua buah lingkaran di luar lingkaran, maka disebut dengan garis singgung lingkaran luar
Garis Singgung Persekutuan Lingkaran
Pada umumnya, pada materi ini siswa akan diminta untuk menemukan jarak antar pusat lingkaran, panjang garis singgung lingkaran, jar-jari lingkaran, jarak kedua lingkaran serta soal kombinasi atau aplikasinya. Sehingga untuk menyelesaikannya dapat mengikuti langkah berikut.
1. Buatlah garis bantu dengan mengeser salah satu jari-jari lingkaran.
2. Buatlah garis bantu lain yang sejajar dengan garis singgung lingkaran.
3. Melalui kedua langkah itu akan ditemukan sebuah segitiga siku-siku. Selesaikan dengan konsep pytagoras.
Untuk lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung persekutuan lingkaran, berikut disajikan beberapa contoh soal yang dapat disimak dan dipelajari sebagai latihan soal.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika terdapat sebuah titik pada luar lingkaran, maka berapakah banyak garis singgung yang dapat dibuat, jika ada lebih dari 1, maka apakah panjangnya sama ... .
Ilustrasik
Jika ada titik di luar lingkaran, maka akan dapat ditarik dua buah garis singgung lingkaran, yang mana kedua garis singgung memiliki jarak yang sama dari titik tersebut ke titik singgungnya pada lingkaran.
Ilustrasikan agar lebih mudah dipahami.
Ilustrasikan agar lebih mudah dipahami.
Soal No 2
Diketahui dua buah lingkaran yang memiliki jarak antar pusat 17 cm, jika jari-jari lingkaran tersebut berturut-turut adalah 17 cm dan 9 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah ... .
Cobalah ilustrasikan soal ke dalam bentuk gambar, kemudian ikuti langkah diatas yaitu menggeser salah satu jari-jarinya sehingga diperoleh segitiga siku-siku. Maka ilustrasinya akan diperoleh sebagai berikut.
dari ilustrasi di atas yang ditanyakan adalah panjang garis $CD$, dimana panjang $CD=BB'$ sehingga perhatikan segitiga $OBB'$ yang siku-siku di $B'$ dan
panjang $OB=17cm$
panjang $OB'=OD-DB'=17-9=8cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{17^2-8'^2} \\ &=\sqrt{289-64} \\ &=\sqrt{225} \\ &=15 cm \\ \end{align*}$
Jadi panjang garis singgung luarnya adalah $15 cm$
panjang $OB=17cm$
panjang $OB'=OD-DB'=17-9=8cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{17^2-8'^2} \\ &=\sqrt{289-64} \\ &=\sqrt{225} \\ &=15 cm \\ \end{align*}$
Jadi panjang garis singgung luarnya adalah $15 cm$
Soal No 3
Diketahui Panjang jari-jari dua buah lingkaran masing-masing adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 12 cm maka jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah ... .
Cobalah ilustrasikan soal ke dalam bentuk gambar, kemudian geser jari-jari lingakaran yang lebih kecil sehingga berimpit dengan jari-jari lingkaran besar, sehingga diperoleh segitiga siku-siku. Maka ilustrasinya akan diperoleh sebagai berikut.
dari ilustrasi di atas yang ditanyakan adalah panjang garis $OB$, dimana panjang $OB$ merupakan sisi miring dari segitiga siku-siku $OBB'$ yang siku-siku di $B'$ maka sesuai keterangan di soal diperoleh
panjang $BB'=DC=12cm$
panjang $OB'=OD-DB'=11-2=9cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} OB &=\sqrt{OB'^2+BB'^2} \\ &=\sqrt{9^2+12'^2} \\ &=\sqrt{81+144} \\ &=\sqrt{225} \\ &=15 cm \\ \end{align*}$
Jadi jarak kedua pusatnya adalah $15cm$
panjang $BB'=DC=12cm$
panjang $OB'=OD-DB'=11-2=9cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} OB &=\sqrt{OB'^2+BB'^2} \\ &=\sqrt{9^2+12'^2} \\ &=\sqrt{81+144} \\ &=\sqrt{225} \\ &=15 cm \\ \end{align*}$
Jadi jarak kedua pusatnya adalah $15cm$
Soal No 4
Diketahui Panjang jari-jari dua buah lingkaran masing-masing adalah 15 cm dan 8 cm. kedua lingkaran diletakan sdemikian hingga Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2 cm. Maka panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran tersebut adalah ... .
Cobalah ilustrasikan soal ke dalam bentuk gambar, kemudian ikuti langkah diatas yaitu menggeser salah satu jari-jarinya sehingga diperoleh segitiga siku-siku. Maka ilustrasinya akan diperoleh sebagai berikut.
dari ilustrasi di atas yang ditanyakan adalah panjang garis $CD$, dimana panjang $CD=BB'$ sehingga perhatikan segitiga $OBB'$ yang siku-siku di $B'$ dan diperoleh
panjang $OB=OP+PQ+QB=25cm$
panjang $OB'=OD-DB'=15-8=7 cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{25^2-7'^2} \\ &=\sqrt{625-49} \\ &=\sqrt{576} \\ &=24 cm \\ \end{align*}$
Maka panjang garis singging persekutuan luarnya adalah $24cm$
panjang $OB=OP+PQ+QB=25cm$
panjang $OB'=OD-DB'=15-8=7 cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{25^2-7'^2} \\ &=\sqrt{625-49} \\ &=\sqrt{576} \\ &=24 cm \\ \end{align*}$
Maka panjang garis singging persekutuan luarnya adalah $24cm$
Soal No 5
Perhatikan gambar berikut !
Jika diketahui panjang $CD = 12cm, OB = 13cm$ dan $OD = 8cm$. Hitunglah panjang $BC$ ... .
Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah menggeser $BC$ sehingga berimpit dengan $OD$, kemudian misalkan panjangnya $x$. Sehingga ilustrasinya diperoleh sebagai berikut.
dari ilustrasi di atas yang ditanyakan adalah panjang garis $BC$, dimana panjangnya bisa diperoleh dengan memperhatikan segitiga $OBB'$ yang siku-siku di $B'$ dan diperoleh
panjang $BD=BC=x$
panjang $BB'=DC=12$
panjang $OB'=OD-DB'=(8-x) cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} OB'^2&=OB^2-BB'^2 \\ (8-x)^2 &=13^2-12^2 \\ \sqrt{(8-x)^2} &=\sqrt{169-144} \\ 8-x&=5 \\ x&=3 cm \\ \end{align*}$
maka panjang $BC$ adalah $3 cm$
panjang $BD=BC=x$
panjang $BB'=DC=12$
panjang $OB'=OD-DB'=(8-x) cm$
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} OB'^2&=OB^2-BB'^2 \\ (8-x)^2 &=13^2-12^2 \\ \sqrt{(8-x)^2} &=\sqrt{169-144} \\ 8-x&=5 \\ x&=3 cm \\ \end{align*}$
maka panjang $BC$ adalah $3 cm$
Soal No 6
Diketahui dua buah lingkaran yang memiliki panjang jari-jari masing - masing adalah $5 cm$ dan $4 cm$ jika jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm, maka temukan panjang garis singgung lingkaran dalamnya ... .
Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, yaitu dengan menggeser jari-jari lingkaran yang lebih pendek ke perpanjangan jari-jari lingkaran besarnya, sehingga ilustrasinya diperoleh sebagai berikut.
dari ilustrasi di atas yang ditanyakan adalah panjang garis $DE$, dimana panjangnya bisa diperoleh dengan memperhatikan segitiga $OBB'$ yang siku-siku di $B'$ dan diperoleh
panjang $OB=15 cm$
panjang $OB'=OD+DB'=5+4=9 cm$
panjang $DE'=BB' $
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{15^2-9^2} \\ &=\sqrt{225-81} \\ &=\sqrt{144} \\ &=12 cm \\ \end{align*}$
maka panjang garis singgung lingkaran dalamnya adalah $12 cm$
panjang $OB=15 cm$
panjang $OB'=OD+DB'=5+4=9 cm$
panjang $DE'=BB' $
maka sesuai theorema pytagoras diperoleh
$\begin{align*} BB' &=\sqrt{OB^2-OB'^2} \\ &=\sqrt{15^2-9^2} \\ &=\sqrt{225-81} \\ &=\sqrt{144} \\ &=12 cm \\ \end{align*}$
maka panjang garis singgung lingkaran dalamnya adalah $12 cm$
Soal No 7
Perhatikan gambar berikut !
Jika diketahui panjang $ED = 24$ panjang jari-jari kedua lingkaran masing-masing adalah $5 cm$ dan $2 cm$, maka jarak sisi kedua lingkaran tersebu adalah ... .
untuk menemukan jarak kedua sisi lingkaran, maka temukan terlebih dahulu jarak kedua lingkaran tersebut dengan membuat garis melalui perpanjangan jari-jari yang lebih pendek, sehingga diperoleh ilustrasi sebagai berikut.
melalui ilustrasi diatas, maka panjang $OB$ bisa dicari dengan cara
$\begin{align*} OB &=\sqrt{OB'^2+BB'^2} \\ &=\sqrt{7^2+24^2} \\ &=\sqrt{49+576} \\ &=\sqrt{625} \\ &=25 cm \\ \end{align*}$
Sehingga jarak kedua sisi lingkaran diperoleh dengan cara menemukan selisih jarak pusat dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran yaitu
$=25-5-2$
$=18 cm$
$\begin{align*} OB &=\sqrt{OB'^2+BB'^2} \\ &=\sqrt{7^2+24^2} \\ &=\sqrt{49+576} \\ &=\sqrt{625} \\ &=25 cm \\ \end{align*}$
Sehingga jarak kedua sisi lingkaran diperoleh dengan cara menemukan selisih jarak pusat dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran yaitu
$=25-5-2$
$=18 cm$
Soal No 8
Perhatikan gambar berikut !
Apabila diketahui $AF, FB$ dan $FC$ merupakan garis singgung lingkaran dengan panjang jari-jari yang berbeda, maka jika diketahui $AF=5x-10$ dan $FC=4x-4$, nilai $x$ yang memenuhi adalah... .
Sebelum membahas lebih jauh, pahami dulu bahwa "apabila melalui titik di luar lingkaran akan ditarik garis singgung ke lingkaran akan ada dua buah garis singgung yang panjangnya sama". Berdasarkan theorema tersebut dapat disimpilkan bahwa
$AF=FB$ dan akibatnya $AF$ juga akan sama dengan $FC$
sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah
$\begin{align*} AF &=FC \\ 5x-10 &=4x-4 \\ 5x-4x &=-4+10 \\ x&=6 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang mungkin adalah $6$ cm
$AF=FB$ dan akibatnya $AF$ juga akan sama dengan $FC$
sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah
$\begin{align*} AF &=FC \\ 5x-10 &=4x-4 \\ 5x-4x &=-4+10 \\ x&=6 \\ \end{align*}$
maka nilai $x$ yang mungkin adalah $6$ cm
Soal No 9
Perhatikan gambar berikut
Tiga buah pipa yang memiliki diameter yang sama, akan diikat menggunakan seutas tali, maka berapakah panjang tali terpendek yang dapat mengingat ketiga pipa jika diameter pipanya adalah 16 cm ... .
Berdasarkan ilustrasi diatas, maka tali pada sisi yang lurus akan sangat mudah dicari, dan 3 sisi lingkungnya jika digabung akan menjadi sebuah lingkaran. Ilustrasinya akan seperti gambar berikut.
maka sesuai ilustrasi panjang tali diperoleh dengan cara
$\begin{align*} \text {panjang tali} &=3.2r + kll_{lingkaran} \\ &=3.2.8+ 2. \pi r \\ &=48 + 3,14. 16 \\ &=102,4 \end{align*}$
maka panjang tali minimal yang diperlukan adalah $102,4$ cm
$\begin{align*} \text {panjang tali} &=3.2r + kll_{lingkaran} \\ &=3.2.8+ 2. \pi r \\ &=48 + 3,14. 16 \\ &=102,4 \end{align*}$
maka panjang tali minimal yang diperlukan adalah $102,4$ cm
Soal No 10
Dalam sebuah trapesium sama kaki panjang sisi sejajarnya adalah 10 cm dan 6 cm terdapat sebuah lingkaran yang menyinggung keempat sisi trapesium. Maka berapakah luas trapesium tersebut ... .
Ilustrasikan soal ke dalam sebuah gambar, dan tarik garis bantu dari pusat lingkaran ke titik singgung sisinya. sehingga ilustrasinya sebagi berikut.
Jika diperhatikan bahwa $AFOG$ adalah layang-layang, begitupula $DGOH$, sehingga melalui ilustrasi tersebut diperoleh.
$AG=AF=\frac{1}{2}AB=5$ cm
$DG=DH=\frac{1}{2}DC=3$ cm
$AD=AG+DG=5+3=8$ cm
$AI=\frac{1}{2}(AB-DC)=2$ cm
kemudian perhatikan segitiga $ADI$ akan berlaku teorema pytagoras sebagai berikut.
$\begin{align*} DI &=\sqrt{AD^2-AI^2} \\ &=\sqrt{8^2-2^2} \\ &=\sqrt{64-4} \\ &=\sqrt{60} \\ &=2 \sqrt{15} cm \\ \end{align*}$
maka luas trapesium adalah
$=\frac{(AB+DC).DI}{2}$
$=\frac{(10+6).2 \sqrt{15}}{2}$
$=16 \sqrt {15}$
$AG=AF=\frac{1}{2}AB=5$ cm
$DG=DH=\frac{1}{2}DC=3$ cm
$AD=AG+DG=5+3=8$ cm
$AI=\frac{1}{2}(AB-DC)=2$ cm
kemudian perhatikan segitiga $ADI$ akan berlaku teorema pytagoras sebagai berikut.
$\begin{align*} DI &=\sqrt{AD^2-AI^2} \\ &=\sqrt{8^2-2^2} \\ &=\sqrt{64-4} \\ &=\sqrt{60} \\ &=2 \sqrt{15} cm \\ \end{align*}$
maka luas trapesium adalah
$=\frac{(AB+DC).DI}{2}$
$=\frac{(10+6).2 \sqrt{15}}{2}$
$=16 \sqrt {15}$
Agar lebih paham secara konsep, silahkan selesaikan beberapa soal berikut !
Latihan Soal
Soal 1
Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak antar pusatnya adalah 20cm. Jika jari-jari lingkarannya masing-masing adalah 7cm dan 3 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah ... .
Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak antar pusatnya adalah 20cm. Jika jari-jari lingkarannya masing-masing adalah 7cm dan 3 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah ... .
Soal 2
Dua buah lingkaran dengan masing-masing jari-jarinya adalah 3cm dan 4 cm, sedangkan panjang garis singgung lingkaran dalamnya adalah 25cm, temukan jarak antar pusat lingkaran ... .
Soal 3
Dua buah lingkaran diletakkan terpisah dengan jarak antar sisi yang terdekat adalah 3 cm. Jika panjang masing-masing jari-jari lingkaran adalah 6 cm dan 7cm maka berapakah jarak antar pusat kedua lingkaran... .
Soal 4
Dua buah lingkaran dngan jarak antar pusatnya adalah 24 cm, dan panjang garis singgung lingkaran dalamnya adalah 25cm. Apabila panjang salah satu jari-jari lingkaranya adalah 3 cm, maka berapakah panjang jari-jari lingkaran lainnya ... .
Soal 5
Empat buah pipa dengan diameter 20 cm akan diikat dengan sebuah tali. temukan berapakah yali terpendek yang dapat digunakan mengngat pipa tersebut adalah ... .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar