Dilatasi atau pembesaran dan pengecilan objek, hal ini sudah sering kamu lakukan saat melihat atau membaca tulisan yang kecil di HPmu. Memperbesar dan memperkecil tulisan dilayar sangat tergantung dari dimana kamu mencubit HPmu untuk melakukannya, Cubitan itu, dalam hal ini akan disebut dengan pusat dilatasi. Sehingga dalam proses dilastasi ini akan dipengaruhi oleh dua hal yaitu besar dilatasi dan besar dilatasi yang akan dilakukan. Untuk lebih jelasnya, silahkan simak penjelasan berikut.
Dilatasi
Jika objek yang akan di dilatasi sebesar $k$ dengan titik pusat di titik $(a,b)$ maka bayanganya $(x',y')$ diperoleh dengan cara.
$ \begin{pmatrix} {x'} \\ {y'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x-a} \\ {y-b} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}$
Jika objek yang akan di dilatasi sebesar $k$ dengan titik pusat di titik $(a,b)$ maka bayanganya $(x',y')$ diperoleh dengan cara.
$ \begin{pmatrix} {x'} \\ {y'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x-a} \\ {y-b} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{a} \\ {b}\end{pmatrix}$
Untuk memahami lebih jauh mengenai dilatasi objek, berikut disakijan beberapa conoth soal yang dilengkapi pembahasan dan latihan soal yang bisa digunakan untuk menguji pemahamanmu.
Contoh Soal >
Soal No 1
Temukanlah bayangan titik $A(2,-3)$ jika titik didilatasi sebesar $2$ dengan pusatnya di titik $(3,4)$ ... .
dengan rumus yang sudah diberikan diatas, maka bayangan titiknya diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\binom{2-3}{-3-4}+\binom{3}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{2(2-3)}{2(-3-4)}+\binom{3}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{2(-1)+3}{2(-7)+4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{1}{10} \\ \end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah adalah $A'(1,10)$
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\binom{2-3}{-3-4}+\binom{3}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{2(2-3)}{2(-3-4)}+\binom{3}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{2(-1)+3}{2(-7)+4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{1}{10} \\ \end{align*}$
maka bayangan titiknya adalah adalah $A'(1,10)$
Soal No 2
Jika bayangan titik $A$ setelah di dilatasi sebesar $3$ dengan pusatnya di titik $(0,0)$ adalah $A'(1,2)$ , maka titik kordinat titik $A$ yang dimaksud adalah ... .
dengan rumus yang sudah diberikan diatas, maka titik awalnya diperoleh dengan cara
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{1}{2} &= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\binom{x-0}{y-0}+\binom{0}{0} \\ \binom{1}{2} &= \binom{3x}{3y} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$1=3x$ maka $x=\frac{1}{3}$
$2=3y$ maka $y=\frac{2}{3}$
maka koordinat titik $A$ yang dimaksud adalah $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{1}{2} &= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\binom{x-0}{y-0}+\binom{0}{0} \\ \binom{1}{2} &= \binom{3x}{3y} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$1=3x$ maka $x=\frac{1}{3}$
$2=3y$ maka $y=\frac{2}{3}$
maka koordinat titik $A$ yang dimaksud adalah $(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$
Soal No 3
Bayangan garis $3x-7y+18=0$ jika di dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan pusat di titik $(1,1)$ adalah ... .
dengan rumus yang sudah diberikan diatas, maka temukan dulu nilai $x$ dan $y$ dalam $x'$ dan $y'$ dengan cara.
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}+\binom{1}{1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2(x-1)}{-2(y-1)} +\binom{1}{1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2x+2+1}{-2y+2+1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2x+3}{-2y+3} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$x'=-2x+3$ maka $x=\frac{3-x'}{2}$
$y'=-2y+3$ maka $y=\frac{3-y'}{2}$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke objek yang didilatasi yaitu $3x-7y+18=0$ maka
$ \begin{align*} 3 \left ( \frac{3-x'}{2} \right )-7 \left ( \frac{3-y'}{2} \right )+18 &= 0 \\ \left ( \frac{9-3x'}{2} \right )- \left ( \frac{21-7y'}{2} \right )+18 &= 0 \\ 9 - 3x' -21 + 7y' + 36 &= 0 \\ 7y' - 3x' + 15 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $7y - 3x +6=0 $
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix}\binom{x-1}{y-1}+\binom{1}{1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2(x-1)}{-2(y-1)} +\binom{1}{1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2x+2+1}{-2y+2+1} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{-2x+3}{-2y+3} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$x'=-2x+3$ maka $x=\frac{3-x'}{2}$
$y'=-2y+3$ maka $y=\frac{3-y'}{2}$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke objek yang didilatasi yaitu $3x-7y+18=0$ maka
$ \begin{align*} 3 \left ( \frac{3-x'}{2} \right )-7 \left ( \frac{3-y'}{2} \right )+18 &= 0 \\ \left ( \frac{9-3x'}{2} \right )- \left ( \frac{21-7y'}{2} \right )+18 &= 0 \\ 9 - 3x' -21 + 7y' + 36 &= 0 \\ 7y' - 3x' + 15 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $7y - 3x +6=0 $
Soal No 4
Bayangan garis $x-y=0$ jika di dilatasi dengan faktor skala $\frac{1}{2}$ dan pusat di titik $(2,4)$ adalah ... .
dengan rumus yang sudah diberikan diatas, maka temukan dulu nilai $x$ dan $y$ dalam $x'$ dan $y'$ dengan cara.
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}\binom{x-2}{y-4}+\binom{2}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}(x-2)}{\frac{1}{2}(y-4)} +\binom{2}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}x-1+2)}{\frac{1}{2}y-2+4)} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}x+1)}{\frac{1}{2}y+2)} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$x'=\frac{1}{2}x+1$ maka $x=2x'-2$
$y'=\frac{1}{2}y+2$ maka $y=2y'-4$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke objek yang didilatasi yaitu $x-y=0$ maka
$ \begin{align*} (2x'-2)-(2y'-4) &= 0 \\ 2x' - 2y'-2+4 &= 0 \\ 2x'-2y'+2 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $2x'-2y'+2=0 $
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}\binom{x-2}{y-4}+\binom{2}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}(x-2)}{\frac{1}{2}(y-4)} +\binom{2}{4} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}x-1+2)}{\frac{1}{2}y-2+4)} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{\frac{1}{2}x+1)}{\frac{1}{2}y+2)} \\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$x'=\frac{1}{2}x+1$ maka $x=2x'-2$
$y'=\frac{1}{2}y+2$ maka $y=2y'-4$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke objek yang didilatasi yaitu $x-y=0$ maka
$ \begin{align*} (2x'-2)-(2y'-4) &= 0 \\ 2x' - 2y'-2+4 &= 0 \\ 2x'-2y'+2 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $2x'-2y'+2=0 $
Soal No 5
Jika sebuah titik $A(2,4)$ di dilatasi sebesar $k$ dengan menghasilkan bayangan di titik $A'(4,8)$ maka nilai dari $k^2+1$ adalah ... .
dengan rumus yang sudah diberikan diatas, maka
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{4}{8} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{2-0}{4-0}+\binom{0}{0} \\ \binom{4}{8} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{2}{4}\\ \binom{4}{8} &= \binom{2k}{4k}\\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$4=2k$ maka $k=2$
$8=4k$ maka $k=2$
maka molai dari $k^2+1=2^2+1=5$
$ \begin{align*} \binom{x'}{y'} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{x-a}{y-b}+\binom{a}{b} \\ \binom{4}{8} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{2-0}{4-0}+\binom{0}{0} \\ \binom{4}{8} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{pmatrix}\binom{2}{4}\\ \binom{4}{8} &= \binom{2k}{4k}\\ \end{align*}$
Sehingga dengan kesamaan matriks diperoleh
$4=2k$ maka $k=2$
$8=4k$ maka $k=2$
maka molai dari $k^2+1=2^2+1=5$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar