Pada Bab transformasi geometri Rotasi dan refleksi merupakan dua hal yang sangat berkaitan, dimana refleksi merukapan rotasi ganda dari suatu objek. Sehingga untuk membuktikan rumus refleksi bisa dimulai dari merotasikan suatu objek sebanyak dua kali secara berurutan. Sehingga dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan refleksi juga akan berkaitan dengan bentuk trigonometri walaupun sering dijumpai beberpa sumber yang langsung memberikan matriks atau perubahan titik awal dan akhirnya. Namun untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasan berikut
Refleksi Objek Geometri
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos 2\alpha & sin 2\alpha \\ sin 2\alpha & -cos2\alpha \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Dengan $x$ dan $x$ adalah titik yang digeser$x'$ dan $y'$ adalah bayanganya serta $ \alpha$ adalah sudut yang dibentuk antara objek dengan sumbu x.
Rotasi Objek Dengan Garis
1. Jika objek atau titik $(x,y)$ direfleksikan dengan garis $x=a$, maka apabila bayanganya adalah $(2a-x,y)$
2. Jika objek atau titik $(x,y)$ direfleksikan dengan garis $y=a$, maka apabila bayanganya adalah $(x,2a-y)$
Matriks Pencerminan
berikut disajikan beberpa matriks Pencerminan yang sering digunakan dalam merefleksikan suatu objek dengan .
$\begin{align*} \text {Sumbu} x&= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Sumbu} y&= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "y=x" &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\\ \text {Garis} "y=-x" &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Titik Asal} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "x=a" &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "y=a" &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2a \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos 2\alpha & sin 2\alpha \\ sin 2\alpha & -cos2\alpha \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
Dengan $x$ dan $x$ adalah titik yang digeser$x'$ dan $y'$ adalah bayanganya serta $ \alpha$ adalah sudut yang dibentuk antara objek dengan sumbu x.
Rotasi Objek Dengan Garis
1. Jika objek atau titik $(x,y)$ direfleksikan dengan garis $x=a$, maka apabila bayanganya adalah $(2a-x,y)$
2. Jika objek atau titik $(x,y)$ direfleksikan dengan garis $y=a$, maka apabila bayanganya adalah $(x,2a-y)$
Matriks Pencerminan
berikut disajikan beberpa matriks Pencerminan yang sering digunakan dalam merefleksikan suatu objek dengan .
$\begin{align*} \text {Sumbu} x&= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Sumbu} y&= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "y=x" &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}\\ \text {Garis} "y=-x" &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Titik Asal} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "x=a" &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2a \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \text {Garis} "y=a" &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2a \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
Dalam penyelesaikan masalah transformasi geometri dapat dilakukan secara langsung atau bisa juga dengan mengalikan matriks transformasinya. Kedua teknik tersebut memiliki kelebihan dan kelemahan masing-masing, namun pada postingan kali ini sangat disarankan untuk menggunakan teknik dengan mengalikan matriks, karena hal ini akan sangat berguna untuk menemukan hasil dari komposisi beberapa transformasi. Untuk lebih jelasnya silahkan simak penjelasan berikut ini.
Contoh Soal
Soal No 1
Jika $A'$ adalah bayangan dari titik $A=(-2,3)$, maka nilai dari $A'$ apabila titik A direfleksikan dengan sumbu x ... .
Secara sederhana apabila titik direfleksikan dengan sumbu x, maka nilai y hanya perlu dikalikan negatif. Sehingga bayangan $A$ bisa langsung diperoleh adalah $(-2,-3)$, namun apabila diselesaikan dengan cara mengalikan matriksnya maka diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-2 \\-3\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-2,-3)$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-2 \\-3\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-2,-3)$
Soal No 2
Jika $B'$ adalah bayangan dari titik $B=(-2,3)$, maka nilai dari $B'$ apabila titik A direfleksikan dengan sumbu y adalah ... .
Secara sederhana apabila titik direfleksikan dengan sumbu y, maka nilai x hanya perlu dikalikan negatif. Sehingga bayangan $B$ bisa langsung diperoleh adalah $(2,3)$, namun apabila diselesaikan dengan cara mengalikan matriksnya maka diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \\3\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka kordinat titik $B'$ adalah $(2,3)$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \\3\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka kordinat titik $B'$ adalah $(2,3)$
Soal No 3
Jika bayangan dari garis $2x - 5y + 8 =0$ adalah $ax+by+c=0$ setelah direfleksikan dengan garis $y=x$, maka nilai dari $a+b+c$ adalah ... .
Secara sederhana apabila titik direfleksikan dengan garis $x=y$, maka nilai $x$ dan $y$ hanya perlu dibalik saja, namun apabila diselesaikan dengan cara mengalikan matriksnya maka diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ x \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=y$ dan $y'=x$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} 2x - 5y + 8 &= 0 \\ 2(y') - 5(x') + 8 &= 0 \\ 2y'-5x'+8 &= 0 \end{align*}$
Kemudian dengan persamaan polinomial nilai $a,b,c$ diperoleh sebagai berikut.
$=a+b+c$
$=-5+2+8$
$=5$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ x \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=y$ dan $y'=x$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} 2x - 5y + 8 &= 0 \\ 2(y') - 5(x') + 8 &= 0 \\ 2y'-5x'+8 &= 0 \end{align*}$
Kemudian dengan persamaan polinomial nilai $a,b,c$ diperoleh sebagai berikut.
$=a+b+c$
$=-5+2+8$
$=5$
Soal No 4
Sebuah garis $3x+7y-19=0$ akan direfleksikan dengan garis $x=3$, maka bayangan garis tersebut adalah ... .
Dalam soal jelas bahwa, garis akan direfleksikan dengan garis $x=a$, maka sesuai rumus yang diberikan diatas maka diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2a-x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2.3-x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}6-x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=6-x$ maka $x=6-x'$
$y'=y$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} 3(6-x')+7y'-19 &= 0 \\ 12-2x'-7y'-19 &= 0 \\ -2x'-7y'-7 &= 0 \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $-2x-7y-7=0$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2a-x \\y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2.3-x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}6-x \\ y \end{pmatrix} \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=6-x$ maka $x=6-x'$
$y'=y$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} 3(6-x')+7y'-19 &= 0 \\ 12-2x'-7y'-19 &= 0 \\ -2x'-7y'-7 &= 0 \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $-2x-7y-7=0$
Soal No 5
Diketahui sebuah garis $x+y-2=0$ akan direfleksikan dengan garis $y=-2$, maka bayangan garis tersebut adalah ... .
Dalam soal jelas bahwa, garis akan direfleksikan dengan garis $y=a$, maka sesuai rumus yang diberikan diatas maka diperoleh.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\2a-y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\ 2(-2)-y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\ -4-y \end{pmatrix} \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=x$
$y'=-4-y$ maka $y=-4-y'$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} x'+(-4-y)-2&= 0 \\ x'-y'-6 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $x-y-6=0$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\2a-y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\ 2(-2)-y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}x \\ -4-y \end{pmatrix} \end{align*}$
maka dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$x'=x$
$y'=-4-y$ maka $y=-4-y'$
Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang direfleksikan, sehingga
$\begin{align*} x'+(-4-y)-2&= 0 \\ x'-y'-6 &= 0 \\ \end{align*}$
maka bayangan garisnya adalah $x-y-6=0$
Agar lebih paham secara konsep, silahkan selesaikan beberapa soal berikut !
Latihan Soal
Soal 1
Temukanlah bayangan titik $(2,3)$ jika dicerminkan dengan sumbu x ... .
Soal 2
Temukanlah bayangan titik $(-3,5)$ jika titik dicerminkan dengan garis $x =5$ ... .
Soal 3
Jika titik $A(a,b)$ dicerminkan dengan sumbu x, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan dengan garis $x=2$ menghasilkan bayangan $(5,4)$ maka nilai dari $a+b$ adalah ... .
Soal 4
Temukanlah bayangan garis $-3x+6y-8=0$ jika dicerminkan dengan garis $y=-x$ ... .
Soal 5
Apabila objek geometri dengan persamaan $x^2+y^2-6x+8y=0$ akan dicerminkan dengan garis $y=-x$, maka banyanganya adalah ... .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar