Dalam pembelajaran matematika tidak terlepas dari materi persamaan, hampir di setiap materi yang berkaitan dengan aljabar akan selalu dijumpai materi persamaan, tidak terkecuali pada materi matriks. Dalam persamaan matriks, yang perlu diperhatikan adalah posisi matriksnya, karena setiap entri di posisi yang sama akan memiliki nilai yang sama pula. Untuk lebih jelasnya, silahkan simak penjelasan berikut ini.
Kesamaan Matriks
matriks dikatakan sama apabila matriks memiliki orde yang sama, dan setiap entry di posisi yang sama memiliki nilai yang sama. Secara matematis apabila diketahui bentuk matriks sebagai berikut
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & n \\ o & p \\ \end{pmatrix}$
maka berlaku
$a=m$
$b=n$
$c=o$
$d=p$
matriks dikatakan sama apabila matriks memiliki orde yang sama, dan setiap entry di posisi yang sama memiliki nilai yang sama. Secara matematis apabila diketahui bentuk matriks sebagai berikut
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & n \\ o & p \\ \end{pmatrix}$
maka berlaku
$a=m$
$b=n$
$c=o$
$d=p$
Dalam belajar persamaan matriks, ingat pula materi Sistem persamaan linier dua/tiga variabel $($ SPLDV & SPLTV $)$, karena materi tersebut sangat diperlukan dalam menemukan nilai variabel di suatu persamaan matriks. Oleh sebab itu pahamilah beberapa soal berikut agar pemahamanmu lebih meningkat mengenai konsep kesamaan matriks.
Contoh Soal
Soal No 1
Apabila diketahui matriks $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -2 \\ \end{pmatrix}$ maka nilai dari $a + b+ c+ d$ adalah ... .
Sesuai konsep persamaan matriks, maka diperoleh, nilai $a=1, b=2, c=-1$ dan $d=2$
maka nilai dari $ \begin{align} a +b+c+d &= 1+2+(-1)+(-2) &= 0 \end{align}$
maka nilai dari $ \begin{align} a +b+c+d &= 1+2+(-1)+(-2) &= 0 \end{align}$
Soal No 2
Apabila diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 3 & y \\ \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{pmatrix}$. Jika $B-A=C^T$ dengan $C^T$ adalah tranpose matriks C, maka nilai dari $x.y$ adalah ... .
Ingat makna cari tranpose matriks adalah membalik setiap entri kolom pada matriks menjadi baris, dan setiap entri baris menjadi kolom. Sehingga diperoleh.
$\begin{align*} B-A &= C^T \\ \begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 3 & y \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+y-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & y-4 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*} y-4 &= 1 \\ y &= 5 \end{align*}$
dan
$\begin{align*} x+y-2 &= 7 \\ x+5-2 &= 7 \\ y &= 4 \end{align*}$
Sehingga nilai dari $x.y=4.5=20$
$\begin{align*} B-A &= C^T \\ \begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 3 & y \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x+y-2 & 2-(-1) \\ 3-1 & y-4 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai kesamaan matriks diperoleh
$\begin{align*} y-4 &= 1 \\ y &= 5 \end{align*}$
dan
$\begin{align*} x+y-2 &= 7 \\ x+5-2 &= 7 \\ y &= 4 \end{align*}$
Sehingga nilai dari $x.y=4.5=20$
Soal No 3
Diketahui Persamaan matriks $\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 9 & -4 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ x & x+y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$. maka nilai dari $x$ adalah ... .
Untuk menemukan nilai $x$ maka operasikan lebih dulu perkalian matriks di sebelah kiri, sehingga
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 9 & -4 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ x & x+y \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 10-2x & (-5-2x-2y) \\ 18-4x & (-9-4x-4y) \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
Maka sesuai konsep persamaan matriks diperoleh
$\begin{align*} 10-2x &= 1 \\ 2x &= 9 \\ x &= \frac{9}{2} \end{align*}$
dan
$\begin{align*} -5-2x-2y &= 0 \\ -2.\frac{9}{2}-2y &= 5 \\ -2y &=5+9 \\ y &=7 \end{align*}$
maka nilai dari $\begin{align*} x+y=\frac{9}{2}+(-7)=\frac{23}{2}\end{align*}$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 9 & -4 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ x & x+y \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 10-2x & (-5-2x-2y) \\ 18-4x & (-9-4x-4y) \\ \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}$
Maka sesuai konsep persamaan matriks diperoleh
$\begin{align*} 10-2x &= 1 \\ 2x &= 9 \\ x &= \frac{9}{2} \end{align*}$
dan
$\begin{align*} -5-2x-2y &= 0 \\ -2.\frac{9}{2}-2y &= 5 \\ -2y &=5+9 \\ y &=7 \end{align*}$
maka nilai dari $\begin{align*} x+y=\frac{9}{2}+(-7)=\frac{23}{2}\end{align*}$
Soal No 4
Diketahui dua buah matriks $A=\begin{pmatrix} 5 & k \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 9 & m \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix}$. jika berlaku $A.B=B.A$ maka nilai dari $\frac{k}{m}$ adalah ... .
Untuk menemukan nilai $x$ maka operasikan lebih dulu perkalian matriks di sebelah kiri dan kanan, sehingga
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & k \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 9 & m \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 9 & m \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 5 & k \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 45 & 5m+5k \\ 0 & 10 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 45 & 9k+2m \\ 0 & 10 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$\begin{align*} 5m+5k &= 9k+2m \\ 3m &= 4k \\ \frac{k}{m} &= \frac{3}{4} \end{align*}$
Maka nilai dari $\frac{k}{m} &= \frac{3}{4}$.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & k \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 9 & m \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 9 & m \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 5 & k \\ 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 45 & 5m+5k \\ 0 & 10 \\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 45 & 9k+2m \\ 0 & 10 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan matriks akan diperoleh.
$\begin{align*} 5m+5k &= 9k+2m \\ 3m &= 4k \\ \frac{k}{m} &= \frac{3}{4} \end{align*}$
Maka nilai dari $\frac{k}{m} &= \frac{3}{4}$.
Soal No 5
Diketahui Persamaan matriks $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 \\5\end{pmatrix}$, maka nilai dari $x+y$ adalah ... .
Untuk menemukan nilai $x$ maka operasikan lebih dulu perkalian matriks di sebelah kiri, sehingga
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}x+y \\x-2y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\5\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan matriks akan diperoleh, $x+y=4$ dan $x-2y=5$.
Jika diperhatikan kembali apa yang ditanya, maka yang ditanya sudah langsung ada nilainya yaitu $x+y=4$
NB. Apabila diminta menemukan nilai $x$ dan $y$ secara terpisah, maka silahkan eliminasi atau substitusi persamaan diatas.
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}x+y \\x-2y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 4 \\5\end{pmatrix} \\ \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan matriks akan diperoleh, $x+y=4$ dan $x-2y=5$.
Jika diperhatikan kembali apa yang ditanya, maka yang ditanya sudah langsung ada nilainya yaitu $x+y=4$
NB. Apabila diminta menemukan nilai $x$ dan $y$ secara terpisah, maka silahkan eliminasi atau substitusi persamaan diatas.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar