Pada Bab transformasi geometri Rotasi merupakan salah satu sub bab yang akan membahas mengenai perpotaran suatu titik atau objek geometri lain, sehingga dalam memtutar objek ada beberpa hal yang harus diperhatikan yaitu besar sudut perputaran dan dimana pusat perputaran objek tersebut. Sehingga untuk menemukan bayangan dari rotasinya dapat dilakukan dengan cara mengikuti lankag berikut ini
Rotasi titik
Untuk memutar titik sejauh $\alpha$ di pusat $(a,b)$ dapat dilakukan dengan cara mengubah nilai $x,y,a,b$ dan $\alpha$ pada rumus berikut.
$\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}$
dengan $x'$ dan $y'$ merupakan bayangan titik yang digeser, $x$ dan $y$ adalah posisi titik awal, serta $a$ dan $b$ adalah besar pergeseran titiknya.
Rotasi kurva
Untuk merotasi kurva ikuti langkah-langkah berikut.
Teliti dalam menghitung adalah kunci dalam penyelesaian masalah transformasi geometri
Untuk memutar titik sejauh $\alpha$ di pusat $(a,b)$ dapat dilakukan dengan cara mengubah nilai $x,y,a,b$ dan $\alpha$ pada rumus berikut.
$\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}$
dengan $x'$ dan $y'$ merupakan bayangan titik yang digeser, $x$ dan $y$ adalah posisi titik awal, serta $a$ dan $b$ adalah besar pergeseran titiknya.
Rotasi kurva
Untuk merotasi kurva ikuti langkah-langkah berikut.
- Misalkan objek yang akan dirotasi adalah $3x+y=4$ sebesaer $\alpha$ dan pusat $(a,b)$
- Ganti nilai $a,b$ dan $\alpha$ pada rumus $\begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}$ kemudian dengan konsep persamaan matriks, temukan persamaan dalam bentuk $x=...$ dan $y=...$
- Ganti nilai $x$ dan $y$ pada objek yang digeser dengan persamaan pada point kedua, sehinga jika semua variabel $x$ dan $y$ berubah menjadi $x'$ dan $y'$ maka langkah sudah benar, jika belum maka ada langkah yang keliru
Teliti dalam menghitung adalah kunci dalam penyelesaian masalah transformasi geometri
Jika sudah memahami langkah diatas, coba pikirkan apabila sebuah titik yang diputar maka apakah hasilnya sebuah titik ?, kemudian jika sebuah garis atau lingkaran diputar apakah hasilnya tetap garis atau lingkaran ? dan apakah ukuranya sama ? coba pikirkan dan temukan jawabanya dengan berlatih beberapa soal berikut ini.
Contoh Soal
Soal No 1
Diketahui sebuah titik $A=(-2,3)$, jika $A'$ adalah bayangan titik $A$ setelah titik tersebut akan dirotasi sebesar $90^o$, dengan pusat $(0,0)$ maka kordinat tititk $A'$ adalah ... .
Ambil rumus rotasi yang sudah dijelaskan diatas, kemudian ganti nilai-nilai yang perlu, maka diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 90^o & -sin 90^o \\ sin 90^o & cos cos 90^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}(-2)-0 \\(3)-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-3,-2)$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 90^o & -sin 90^o \\ sin 90^o & cos cos 90^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}(-2)-0 \\(3)-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 \\3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-3,-2)$
Soal No 2
Diketahui sebuah titik $A=(4,8)$, jika $A'$ adalah bayangan titik $A$ setelah titik tersebut akan dirotasi sebesar $90^o$, dengan pusat $(2,5)$ maka kordinat tititk $A'$ adalah ... .
Ambil rumus rotasi yang sudah dijelaskan diatas, kemudian ganti nilai-nilai yang perlu, maka diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 90^o & -sin 90^o \\ sin 90^o & cos 90^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4-2 \\8-5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2+2 \\3+5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\8 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-8\\4 \end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-8,4)$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 90^o & -sin 90^o \\ sin 90^o & cos 90^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4-2 \\8-5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\5\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2+2 \\3+5 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\8 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-8\\4 \end{pmatrix} \end{align*}$
maka kordinat titik $A'$ adalah $(-8,4)$
Soal No 3
Diketahui sebuah garis $2x+y-8=0$, jika garis akan dirotasi sebesar $180^o$, dengan pusat $(1,2)$ maka bayangan dari garis tersebut adalah ... .
Ambil rumus rotasi yang sudah dijelaskan diatas, kemudian ganti nilai-nilai yang perlu, maka diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 180^o & -sin 180^o \\ sin 180^o & cos 180^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-1 \\y-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\y-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-x+1 \\ -y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -x+2 \\-y+4 \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= -x + 2 \rightarrow x = 2 - x'$
$y'= -y + 4 \rightarrow y = 4 - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} 2x+y-8 &= 0 \\ 2(2-x')+(4-y')-8 &= 0 \\ 4-2x'+4-y'-8 &= 0 \\ -2x'-y' &= 0 \end{align*}$
maka bayangan garis yang dimaksud adalah $-2x-y=0$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 180^o & -sin 180^o \\ sin 180^o & cos 180^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-1 \\y-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\y-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}-x+1 \\ -y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -x+2 \\-y+4 \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= -x + 2 \rightarrow x = 2 - x'$
$y'= -y + 4 \rightarrow y = 4 - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} 2x+y-8 &= 0 \\ 2(2-x')+(4-y')-8 &= 0 \\ 4-2x'+4-y'-8 &= 0 \\ -2x'-y' &= 0 \end{align*}$
maka bayangan garis yang dimaksud adalah $-2x-y=0$
Soal No 4
Diketahui sebuah kurva $2x^2+3y-10=0$, jika garis akan dirotasi sebesar $270^o$, dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan dari garis tersebut adalah $mx^2+nx+oy+p=0$ maka nilai dari $m+n+o+p$ adalah ... .
Ambil rumus rotasi yang sudah dijelaskan diatas, kemudian ganti nilai-nilai yang perlu, maka diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 270^o & -sin 270^o \\ sin 270^o & cos 270^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-0 \\y-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= y \rightarrow y = x' $
$y'= -x \rightarrow x = - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} 2x^2+3y-10 &= 0 \\ 2(-y')^2+3(x')-10 &= 0 \\ 2y'^2+3x'-10 &= 0 \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan polinomial diperoleh
$=m+n+o+p$
$=2+3+0+(-10)$
$=-5$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos 270^o & -sin 270^o \\ sin 270^o & cos 270^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-0 \\y-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= y \rightarrow y = x' $
$y'= -x \rightarrow x = - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} 2x^2+3y-10 &= 0 \\ 2(-y')^2+3(x')-10 &= 0 \\ 2y'^2+3x'-10 &= 0 \end{align*}$
maka sesuai dengan kesamaan polinomial diperoleh
$=m+n+o+p$
$=2+3+0+(-10)$
$=-5$
Soal No 5
Diketahui sebuah kurva $x+y-10=0$, jika garis akan dirotasi sebesar $-90^o$, dengan pusat $(0,0)$ maka bayangan dari garis tersebut adalah ... .
Ambil rumus rotasi yang sudah dijelaskan diatas, kemudian ganti nilai-nilai yang perlu, maka diperoleh
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos (-90)^o & -sin (-90)^o \\ sin (-90)^o & cos (-90)^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-0 \\y-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= y \rightarrow y = x' $
$y'= -x \rightarrow x = - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} x+3-10 &= 0 \\ (-y')+(x')-10 &= 0 \\ -y'+x'-10 &= 0 \end{align*}$
maka sesuai bayagan garisnya adalah $-y+x-10 = 0$
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} cos (-90)^o & -sin (-90)^o \\ sin (-90)^o & cos (-90)^o \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x-0 \\y-0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y'\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}y \\ -x \end{pmatrix} \end{align*}$
maka sesuai dengan persamaan matriks akan diperoleh.
$x'= y \rightarrow y = x' $
$y'= -x \rightarrow x = - y'$
Subtitusikan persamaan dalam $x$ dan $y$ diatas ke objek yang akan diputar, yaitu
$\begin{align*} x+3-10 &= 0 \\ (-y')+(x')-10 &= 0 \\ -y'+x'-10 &= 0 \end{align*}$
maka sesuai bayagan garisnya adalah $-y+x-10 = 0$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar